Bảng công thức lượng giác đầy đủ

BẢNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐẦY ĐỦ

1. Các cung liên quan đặc biệt

1.1. Hai cung đối nhau (\(\alpha \) và \( - \alpha \))

\(\begin{array}{l}\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \\\sin \left( { - \alpha } \right) =  - \sin \alpha \\\tan \left( { - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\cot \left( { - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array}\)

1.2. Hai cung bù nhau (\(\alpha \) và \(\pi  - \alpha \))

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\pi  - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \\\tan \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\cot \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array}\)

1.3. Hai góc phụ nhau (\(\alpha \) và \(\dfrac{\pi }{2} - \alpha \))

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \\\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \\\cot \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha \end{array}\)

1.4. Hai góc hơn, kém nhau \(\pi \) (\(\alpha \) và \(\pi  + \alpha \))

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\pi  + \alpha } \right) =  - \sin \alpha \\\cos \left( {\pi  + \alpha } \right) =  - \cos \alpha \\\tan \left( {\pi  + \alpha } \right) = \tan \alpha \\\cot \left( {\pi  + \alpha } \right) = \cot \alpha \end{array}\)

1.5. Cung hơn kém \(\dfrac{\pi }{2}\)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \alpha } \right) =  - \sin \alpha \\\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \cos \alpha \end{array}\)

Ghi nhớ : cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém nhau \(\pi \) tan và cot.

II. Công thức lượng giác cơ bản và công thức rộng

2. Các công thức lượng giác cơ bản

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\\\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\\\tan x.\cot x = 1\\\tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\\\cot x = \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\end{array}\)

3. Công thức cộng

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\\\cos \left( {a \pm b} \right) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\\\tan \left( {a \pm b} \right) = \dfrac{{\tan a \pm \tan b}}{{1 \mp \tan a\tan b}}\end{array}\)

III. Công thức nhân đôi, nhân ba và công thức hạ bậc

4. Công thức nhân đôi

4.1. Công thức nhân đôi

\(\begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\\\tan 2a = \dfrac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\end{array}\)

4.2. Công thức nhân ba

\(\begin{array}{l}\sin 3a = 3\sin a - 4{\sin ^3}a\\\cos 3a = 4{\cos ^3}a - 3\cos a\\\tan 3a = \dfrac{{3\tan a - {{\tan }^3}a}}{{1 - 3{{\tan }^2}a}}\end{array}\)

5. Công thức hạ bậc

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}a = \dfrac{{1 - \cos 2a}}{2}\\{\cos ^2}a = \dfrac{{1 + \cos 2a}}{2}\\{\sin ^3}a = \dfrac{{3\sin a - \sin 3a}}{4}\\{\cos ^3}a = \dfrac{{3\cos a + \cos 3a}}{4}\end{array}\)

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\\\cos a - \cos b =  - 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\\\sin a - \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\end{array}\)

7. Công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\\\sin a\sin b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right]\\\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\end{array}\)

V. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Kiến thức cơ bản

\(\begin{array}{l}\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\u = \pi  - v + k2\pi \end{array} \right.\\\cos u = \cos v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\u =  - v + k2\pi \end{array} \right.\\\tan u = \tan v \Leftrightarrow u = v + k\pi \\\cot u = \cot v \Leftrightarrow u = v + k\pi \end{array}\)

Trường hợp đặc biệt

\(\begin{array}{l}\sin u = 0 \Leftrightarrow u = k\pi \\\sin u = 1 \Leftrightarrow u = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\\sin u =  - 1 \Leftrightarrow u =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\\cos u = 0 \Leftrightarrow u = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\cos u = 1 \Leftrightarrow u = k2\pi \\\cos u =  - 1 \Leftrightarrow u = \pi  + k2\pi \end{array}\)