Cập nhật lúc: 10:07 04-07-2018 Mục tin: LỚP 11
Xem thêm: Hệ phương trình lượng giác cơ bản
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Với các hệ phương trình
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sin x \pm \sin y = m\\x \pm y = \alpha \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\cos x \pm \cos y = m\\x \pm y = \alpha \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\tan x \pm \tan y = m\\x \pm y = \alpha \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\cot x \pm \cot y = m\\x \pm y = \alpha \end{array} \right.\end{array}\)
Ta chuyển tổng \(f\left( x \right) \pm f\left( y \right) = m\) thành tích bằng một trong các công thức
\(\begin{array}{l}\sin x + \sin y = 2\sin \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2}\\\sin x - \sin y = 2\cos \frac{{x + y}}{2}\sin \frac{{x - y}}{2}\\\cos x + \cos y = 2\cos \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2}\\\cos x - \cos y = - 2\sin \frac{{x + y}}{2}\sin \frac{{x - y}}{2}\\\tan x \pm \tan y = \frac{{\sin \left( {x \pm y} \right)}}{{\cos x\cos y}}\end{array}\)
Chú ý: Phương pháp chung là nếu biết tổng \(x + y\) thì tìm hiệu \(x - y\) thay ngược lại, bằng các công thức biến đổi, tức là:
- Ta đi biến đổi phương trình \(f\left( x \right) \pm f\left( y \right) = m \Leftrightarrow {g_1}\left( {x + y} \right).{g_2}\left( {x - y} \right) = {m_1}\,\,\,\left( * \right)\)
- Từ đó thay phương trình \(x \pm y = \alpha \) vào (*) để tìm biểu thức còn lại.
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x + \cos y = m\,\,\,\left( 1 \right)\\x - y = \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)
a) Giải hệ phương trình với \(m = - \frac{1}{2}\)
b) Tìm m để hệ có nghiệm.
Giải:
Biến đổi (1) về dạng:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,2\cos \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2} = m\\ \Leftrightarrow 2\cos \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{\pi }{3} = m\\ \Leftrightarrow \cos \frac{{x + y}}{2} = m\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)
a) Với \(m = - \frac{1}{2}\), ta được: \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow \cos \frac{{x + y}}{2} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{2} = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \Leftrightarrow x + y = \pm \frac{{4\pi }}{3} + 4k\pi \)
Do đó hệ phương trình tương đương với
\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{{4\pi }}{3} + 4k\pi \\x - y = \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y = - \frac{{4\pi }}{3} + 4k\pi \\x - y = \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \pi + 2k\pi \\y = \frac{\pi }{3} + 2k\pi \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + 2k\pi \\y = - \pi + 2k\pi \end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
b) Hệ có nghiệm \( \Leftrightarrow \left( 3 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left| m \right| \le 1\).
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x + \cos y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - y = - \frac{\pi }{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Giải
Biến đổi (1) về dạng
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sin x + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sin \left( {\frac{{x - y}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right).\cos \left( {\frac{{x + y}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{8}.\cos \left( {\frac{{x + y}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \frac{\pi }{4} = 1 - 2{\sin ^2}\frac{\pi }{8} \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{\cos ^2}\frac{\pi }{8} - 1 \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}\end{array}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{x + y}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 \sqrt {2 - \sqrt 2 } }} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2} = \cos \frac{\pi }{8}\\ \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{2} - \frac{\pi }{4} = \pm \frac{\pi }{8} + 2k\pi \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = \frac{{3\pi }}{4} + 4k\pi \\x + y = \frac{\pi }{4} + 4k\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Do đó hệ phương trình tương đương với
\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{{3\pi }}{4} + 4k\pi \\x - y = - \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{\pi }{4} + 4k\pi \\x - y = - \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi \\y = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2k\pi \\y = \frac{\pi }{4} + 2k\pi \end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\tan x - \tan y = m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + y = \frac{{3\pi }}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
a) Giải hệ phương trình với \(m = 2\)
b) Tìm m để hệ có nghiệm.
Giải
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\y \ne \frac{\pi }{2} + l\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k;l \in Z} \right)\)
Biến đổi (1) về dạng
\(\begin{array}{l}\frac{{\sin \left( {x - y} \right)}}{{\cos x\cos y}} = m \Leftrightarrow \sin \left( {x - y} \right) = \frac{m}{2}\left[ {\cos \left( {x + y} \right) + \cos \left( {x - y} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow 2\sin \left( {x - y} \right) - m\cos \left( {x - y} \right) = \frac{{ - m\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)
a) Với \(m = 2\) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow \sin \left( {x - y} \right) - \cos \left( {x - y} \right) = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - y - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - y - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{6} + 2k\pi \\x - y - \frac{\pi }{4} = \frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = \frac{\pi }{{12}} + 2k\pi \\x - y = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Do đó hệ phương trình tương đương với
\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - y = \frac{\pi }{{12}} + 2k\pi \\x + y = \frac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - y = \frac{{17\pi }}{{12}} + 2k\pi \\x + y = \frac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \\y = \frac{\pi }{3} - k\pi \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13\pi }}{{12}} + k\pi \\y = - \frac{\pi }{3} - k\pi \end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
b) Hệ có nghiệm khi (3) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2} \Leftrightarrow 4 + {m^2} \ge \frac{{{m^2}}}{2}\)
\( \Leftrightarrow 8 + {m^2} \ge 0\) luôn đúng
Vậy hệ có nghiệm với mọi m.
Ví dụ 4: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{\pi }{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2{\sin ^2}x + 2{\cos ^2}y = 2m + 1\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
a) Giải hệ với \(m = 0\)
b) Tìm m hệ có nghiệm.
Giải
Biến đổi (2) về dạng
\(\begin{array}{l}1 - \cos 2x + 1 + \cos 2y = 2m + 1\\ \Leftrightarrow \cos 2x - \cos 2y = 1 - 2m\\ \Rightarrow - 2\sin \left( {x - y} \right)\sin \left( {x + y} \right) = 1 - 2m\\ \Leftrightarrow - 2\sin \left( {x - y} \right)\sin \frac{\pi }{4} = 1 - 2m\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - y} \right) = \frac{{2m - 1}}{{\sqrt 2 }}\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)
a) Với \(m = 0\), hệ có dạng
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{\pi }{4}\\\sin \left( {x - y} \right) = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{\pi }{4}\\\left[ \begin{array}{l}x - y = - \frac{\pi }{4} + 2k\pi \\x - y = \frac{{5\pi }}{4} + 2k\pi \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = k\pi \\y = \frac{\pi }{4} - k\pi \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \\y = - \frac{\pi }{2} - k\pi \end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Vậy với \(m = 0\) hệ có hai cặp họ nghiệm.
b) Hệ có nghiệm khi:
\(\left( 3 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left| {\frac{{2m - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} \le m \le \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\)
Vậy hệ có nghiệm khi \(\frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} \le m \le \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\).
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải các hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}2\left( {\cos x + \cos y} \right) = - 1\\x + y = \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\\b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}2\left( {\sin x + \sin y} \right) = 3\\x + y = \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\\c)\,\,\left\{ \begin{array}{l}\tan x + \tan y = 1\\x + y = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\\d)\,\,\left\{ \begin{array}{l}\cot x + \cot y = 2\\x + y = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Bài 2: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x + \sin y = m\\x + y = \frac{\pi }{3}\end{array} \right.\)
a) Giải hệ với \(m = 1\)
b) Tìm m để hệ có nghiệm.
Bài 3: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = a\\\tan x + \tan y = b\end{array} \right.\)
a) Giải hệ với \(a = \frac{{5\pi }}{{12}}\) và \(b = 2\)
b) Tìm điều kiện giữa a và b để hệ có nghiệm.
Bài 4: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x - y} \right) = \pi \\{\cos ^2}x + {\cos ^2}y = 2m + 1\end{array} \right.\)
a) Giải hệ phương trình khi \(m = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\)
b) Xác định m để hệ trên có nghiệm.
Bài 5: Giải và biện luận các hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}x - {\sin ^2}y = m\\x + y = \alpha \end{array} \right.\\b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}x + {\cos ^2}y = m\\x + y = 2\pi \end{array} \right.\\c)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\sin ^2}y = 1 - \cos \alpha \\x + y = \alpha \end{array} \right.\\d)\,\left\{ \begin{array}{l}x + y = a\\2\left( {{{\sin }^2}x + {{\sin }^2}y} \right) = 2 - \sin 2a\end{array} \right.\end{array}\)
Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Các bài khác cùng chuyên mục
Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT 2025