Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác (Phần 1)

QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC.

BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC (PHẦN 1)

I/ Kiến thức cần nhớ

1. Bất đẳng thức tam giác

Định lý: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Chứng minh: Cho tam giác \(ABC.\)  Chứng minh rằng: \(AB + AC > BC.\)

Kẻ \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\)

\( \Rightarrow AB > HB\,\,;\,\,AC > HC\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

\( \Rightarrow AB + AC > HB + HC\) hay \(AB + AC > BC.\) (đpcm).

Chứng minh tương tự ta có: \(AB + BC > AC\,\,;\,\,AC + BC > AB.\)

2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác

Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Chứng minh: Cho tam giác \(ABC.\)  Chứng minh rằng: \(AB > BC - AC.\)

Ta có: \(AB + AC > BC\) (định lý của bất đẳng thức tam giác)

\( \Rightarrow AB > BC - AC.\)

Tương tự ta có: \(AC > AB - BC\,\,;\,\,BC > AB - AC\,\,;\,\,\)

\(AB > AC - BC\,\,;\,\,AC > BC - AB\,\,;\,\,BC > AC - AB.\)

Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.

Ví dụ:

Trong \(\Delta ABC,\) ta có bất đẳng thức tam giác:

\(\left| {AC - AB} \right| < BC < AC + AB\) hay \(\left| {b - c} \right| < a < b + c.\)

II/ Bài tập vận dụng

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho tam giác \(ABC,\)  chọn đáp án sai trong các đáp án sau:

A. \(AB + BC > AC\)

B. \(BC - AB < AC\)

C. \(BC - AB < AC < BC + AB\)

D. \(AB - AC > BC\)

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác.

Lời giải:

Vì trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại nên các đáp án A, B, C đều đúng, đáp án D sai.

Chọn D.

Câu 2: Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của tam giác.

A. \(3cm,\,\,5cm,\,\,7cm\)                B. \(4cm,\,\,5cm,\,\,6cm\)

C. \(2cm,\,\,5cm,\,\,7cm\)                D. \(3cm,\,\,6cm,\,\,5cm\)

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải:

Chọn C.

Câu 3: Cho \(\Delta ABC\) có cạnh \(AB = 1cm\,\,;\,\,BC = 4cm.\) Tính độ dài cạnh \(AC\) biết độ dài cạnh \(AC\) là một số nguyên.

A. \(1cm\)             B. \(2cm\)                C. \(3cm\)              D. \(4cm\)

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác.

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh \(AC\) là \(x\,\,\left( {cm} \right)\,\,\left( {x > 0} \right).\)

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(4 - 1 < x < 4 + 1 \Leftrightarrow 3 < x < 5.\)

Vì \(x\) là số nguyên nên \(x = 4.\)

Vậy độ dài cạnh \(AC = 4cm.\)

Chọn D.

Câu 4: Cho \(\Delta ABC\) biết \(AB = 1cm\,\,;\,\,BC = 9cm\,\,;\,\,AC\) có độ dài là một số nguyên. Chu vi của tam giác \(ABC\) là:

A. \(17cm\)       B. \(18cm\)      C. \(19cm\)       D. \(16cm\)

Phương pháp giải:

+ Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác để tính cạnh \(AC.\)

+ Từ đó tính chu vi tam giác \(ABC.\)

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh \(AC\) là \(x\,\,\left( {cm} \right)\,\,\left( {x > 0} \right).\)

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(9 - 1 < x < 9 + 1 \Leftrightarrow 8 < x < 10.\)

Vì \(x\) là số nguyên nên \(x = 9.\)

Vậy độ dài cạnh \(AC = 9cm.\)

Chu vi tam giác \(ABC\) là: \(AB + AC + BC = 1 + 9 + 9 = 19cm.\)

Chọn C.

Câu 5: Cho \(\Delta ABC\) có \(BC = 1cm\,\,;\,\,AC = 8cm\,\,;\,\,AB\) có độ dài là một số nguyên. Tam giác \(ABC\) là tam giác gì?

A. Tam giác vuông tại \(A.\)

B. Tam giác cân tại \(A.\)

C. Tam giác vuông cân tại \(A.\)

D. Tam giác cân tại \(B.\)

Phương pháp giải:

+ Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác để tính cạnh \(AB.\)

+ Từ đó xác định tính chất của tam giác \(ABC.\)

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh \(AB\) là \(x\,\,\left( {cm} \right)\,\,\left( {x > 0} \right).\)

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(8 - 1 < x < 8 + 1 \Leftrightarrow 7 < x < 9.\)

Vì \(x\) là số nguyên nên \(x = 8.\)

Vậy độ dài cạnh \(AB = 8cm.\)

\( \Rightarrow AB = AC\,\,\left( { = 8cm} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A.\)

Chọn B.