Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

I/ Lý thuyết

1. Các kiến thức cần nhớ

Định lý 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Ví dụ: \(\Delta ABC,\,\,AC > AB \Rightarrow \angle B > \angle C.\)

Định lý 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Ví dụ: \(\Delta ABC,\,\,\angle B > \angle C \Rightarrow AC > AB.\)

2. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1: So sánh hai góc trong một tam giác

Phương pháp:       

+ Xét hai góc cần so sánh là hai góc của một tam giác

+ Tìm cạnh lớn hơn trong hai cạnh đối diện của hai góc ấy

+ Từ đó so sánh hai góc (theo định lý 1)

Ví dụ 1: So sánh các góc trong \(\Delta ABC,\) biết rằng: \(AB = 2cm,\,\,BC = 4cm,\,\,AC = 5cm.\)

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Lời giải chi tiết:

Trong \(\Delta ABC\) có: \(AB = 2cm,\,\,BC = 4cm,\,\,AC = 5cm\)

\( \Rightarrow AB < BC < CA\) nên \(\angle C < \angle A < \angle B.\)

Dạng 2: So sánh hai cạnh trong một tam giác

Phương pháp:

+ Xét hai cạnh cần so sánh là hai cạnh của một tam giác

+ Tìm góc lớn hơn trong hai góc đối diện của hai cạnh ấy

+ Từ đó so sánh hai cạnh (theo định lý 2)

Ví dụ 2: So sánh các cạnh của \(\Delta ABC,\) biết rằng: \(\angle A = {80^0},\,\,\angle B = {45^0}.\)

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Lời giải chi tiết:

Tam giác \(ABC\) có \(\angle A = {80^0},\,\,\angle B = {45^0}\)

\( \Rightarrow \angle C = {180^0} - \left( {{{80}^0} + {{45}^0}} \right) = {55^0}.\)  (theo định lý tổng 3 góc trong một tam giác)

Vì \({45^0} < {55^0} < {80^0}\) hay \(\angle B < \angle C < \angle A\,\, \Rightarrow AC < AB < BC.\)

II/ Bài tập

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho \(\Delta ABC\) có \(AC > BC > AB.\) Trong các khẳng định sau, câu nào đúng?

A. \(\angle A > \angle B > \angle C\)

B. \(\angle C > \angle A > \angle B\)

C. \(\angle C < \angle A < \angle B\)

D. \(\angle A < \angle B < \angle C\)

Câu 2: Cho \(\Delta ABC\) có \(\angle A > \angle B > \angle C.\) Điều nào sau đây đúng?

A. \(AB > AC > BC\)

B. \(AC > BC > AB\)

C. \(BC > AB > AC\)

D. \(BC > AC > AB\)

Câu 3: Ba cạnh của tam giác có độ dài là \(6cm;\,\,7cm;\,\,8cm.\) Góc lớn nhất là góc?

A. đối diện với cạnh có dố dài \(6cm\)

B. đối diện với cạnh có dố dài \(7cm\)

C. đối diện với cạnh có dố dài \(8cm\)

D. ba cạnh có độ dài bằng nhau

Câu 4: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. Trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vuông là lớn nhất.

B. Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

C. Trong một tam giác, cạnh đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn.

D. Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn nhất là góc tù.

Đáp án: 1. C  ;   2. D  ;   3. C   ;   4. D.

2. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho \(\Delta ABC\) có \(\angle B = {95^0},\,\,\angle A = {40^0}.\) Hãy so sánh các cạnh của tam giác \(ABC?\)

Phương pháp giải:

+ Tính \(\angle C\) và so sánh các góc của \(\Delta ABC.\)

+ Áp dụng định lý: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ABC\) có: \(\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\( \Rightarrow \angle C = {180^0} - \angle A - \angle B = {180^0} - {40^0} - {95^0} = {45^0}\)

\( \Rightarrow \angle A < \angle C < \angle B\,\, \Rightarrow BC < AB < AC.\)

Bài 2: Cho tam giác ABC với \(\angle A = {100^0},\,\,\angle B = {40^0}.\)

a) Tìm cạnh lớn nhất của tam giác.

b) Tam giác \(ABC\) là tam giác gì

Phương pháp giải:

+ Tính \(\angle C\) và so sánh các góc của \(\Delta ABC.\)

+ Áp dụng định lý: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Lời giải chi tiết:

a) Xét \(\Delta ABC\) có: \(\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\( \Rightarrow \angle C = {180^0} - \angle A - \angle B = {180^0} - {100^0} - {40^0} = {40^0}\)

\( \Rightarrow \angle A > \angle C = \angle B\,\, \Rightarrow \angle A\) là góc lớn nhất

\( \Rightarrow BC\) là cạnh lớn nhất.

b) \(\Delta ABC\) có \(\angle B = \angle C\left( { = {{40}^0}} \right) \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác cân tại \(A.\)

Bài 3: Cho \(\Delta ABC\) có \(AB + AC = 10cm,\,\,AC - AB = 4cm.\) So sánh \(\angle B\) và \(\angle C?\)

Phương pháp giải:

+ Tính và so sánh độ dài các cạnh của tam giác.

+ Áp dụng định lý: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Lời giải chi tiết:

Bài 4: Cho \(\Delta ABC\) có \(\angle A = {80^0},\,\,\angle B - \angle C = {20^0}.\) Hãy so sánh các cạnh của \(\Delta ABC?\)

Phương pháp giải:

+ Tính số đo góc \(\angle B\) và \(\angle C\) của \(\Delta ABC.\)

+ Áp dụng định lý: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Lời giải chi tiết:

Bài 5: Ba bạn Hạnh, Nguyên, Trang đi đến trường theo ba con đường AD, BD và CD. Biết rằng ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng và góc ACD là góc tù. Hỏi ai đi xa nhất, ai đi gần nhất? Hãy giải thích.

Lời giải chi tiết:

Trong ΔDBC có ∠C là ∠tù (gt) ⇒ DB > DC (1) và có ∠B1 nhọn.

Ta có ∠B₁ + ∠B₂ = 180⁰ (kề bù)

mà ∠B₁ 2 > 90⁰

Trong ΔDAB có ∠B₂ là ∠tù (cmt) ⇒ DA > DB (2)

Từ (1) và (2) ta có DA > DB > DC

Vậy bạn Hạnh đi xa nhất; bạn Trang đi gần nhất.

Bài 6: Cho ΔABC với AC > AB. Trên tia AC, lấy điểm B’ sao cho AB’ = AB

a) Hãy so sánh ∠ABC với ∠ABB’

b) Hãy so sánh ∠ABB’với ∠AB’B

c) Hãy so sánh ∠ABB’ với ∠ACB

Từ đó suy ra ∠ABC > ∠ACB.

Lời giải chi tiết:

a) Vì AC > AB nên B’ nằm giữa A và C , do đó :

∠ABC > ∠ABB’ (1)

b) ΔABB’ có AB = AB’ nên ΔABB’ là một Δcân

Suy ra : ∠ABB’ = ∠AB’B (2 )

c) ∠AB’B là một góc ngoài tại đỉnh B’ của BB’C nên : ∠AB’B >∠ACB

Từ (1) và (2 ) ∠ABC > ∠ACB

Bài 7:

Lời giải chi tiết:

Bài 8:

Lời giải chi tiết: