ÔN TẬP SỐ TỰ NHIÊN

ÔN TẬP SỐ TỰ NHIÊN

Bài 1.  Viết tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp đó:

a) H = {12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20}

b) K = {11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 ; 21 ; 23}

c) I = {0 ; 2 ; 4 ;...; 58 ; 60}

HD:

a) H = {x ∈ N | 11 < x < 21 và x là số chẵn}

b) K = {x ∈ N | 11 ≤ x < 24 và x là số lẻ}

c) I = {x ∈ N | x < 61 và x là số chẵn}

Bài 2. Thực hiện phép tính:

a) 31 . {330 : [178 – 4 . ( 35 – 21 : 3 )]}

b) (5¹⁹. 5¹⁴) : 5³²

HD:

a) 31 . {330 : [178 – 4 . (35 – 21 : 3 )]} = 31 . { 330 : [178 – 4 . ( 35 – 7)]}

= 31 . {330 : [178 – 4 . 28]} = 31 . { 330 : [178 – 112]}

= 31 . {330 : 66 } = 31 . 5 = 155

b) (5¹⁹. 5¹⁴) : 5³²= 5³³ : 5³² = 5¹ = 5

Bài 3. 

a) Trong một phép chia số tự nhiên với số chia là 68, thương là 19, số dư là số lớn nhất có thể có được của phép chia đó. Tìm số bị chia.

b) Tìm x ∈ N, biết x⁷⁰ = x.

HD:

a) Vì số dư luôn bé hơn số chia nên số dư lớn nhất là 67.

Vậy số bị chia là: 68 . 19 + 67 = 1359

b) x⁷⁰= x

x⁷⁰ – x = 0

x . (x⁶⁹ – 1) = 0

x = 0 hoặc x⁶⁹ – 1 = 0

x = 0 hoặc x⁶⁹ = 1

x = 0 hoặc x = 1

Bài 4. Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:

a) Tập hợp D các số tự nhiên chẵn bé hơn 14.

b) Tập hợp E các số tự nhiên lẻ không lớn hơn 15.

c) Tập hợp F các số tự nhiên lớn hơn 22 bé hơn 38 và chia hết cho 6.

HD:

a) D = { 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12 }

b) E = { 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15 }

c) F = { 24; 30 ; 36 }

Bài 5.  Tìm x ∈ N, biết:

a) (x - 3) : 2 = 514 : 512

b) 4x + 3x = 30 – 20 : 10

HD:

a)

(x - 3) : 2 = 514 : 512

(x - 3) : 2 = 52

(x - 3) : 2 = 25

(x - 3) = 25.2

x = 50 + 3

x = 53

b)

4x + 3x = 30 – 20 : 10

7x = 30 - 2

7x = 28

x = 28 : 7

x = 4

Bài 6. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 5 chữ số?

HD:

- Số tự nhiên lẻ nhỏ nhất có 5 chữ số là 10001

- Số tự nhiên lẻ lớn nhất có 5 chữ số là 99999

- Khoảng cách giữa hai số lẻ liên tiếp là 2

- Vậy các số lẻ liên tiếp có 5 chữ số là: (99999 – 10001) : 2 + 1 = 45000 (số)

Bài 7. Trong các số 40232, 1245, 52110

a) Số nào chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5?

b) Số nào chia hết cho 5 mà không chia hết cho 2?

c) Số nào chia hết cho cả 2 và 5?

d) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?

e) Số nào chia hết cho cả 2 ; 3 ; 5 và 9?

HD:

a) 40232 ;

b) 1245 ;

c) 52110 ;

d) 1245 ;

e) 52110

Bài 8 Tìm các số tự nhiên a sao cho:

a) 21 ⋮ (a – 2)

b) 55 ⋮ (2a + 1)

HD:

a) 21 ⋮ (a – 2) ⇒ a – 2 là ước của 21 ⇒ a – 2 ∈ {1 ; 3 ; 7 ; 21}

⇒ a ∈ {3 ; 5 ; 9 ; 23}

b) 55 ⋮ (2a + 1) ⇒ 2a + 1 là ước của 55 ⇒ 2a + 1 ∈ {1 ; 5 ; 11 ; 55}

⇒ 2a ∈ {0 ; 4 ; 10 ; 54} ⇒ a ∈ {0 ; 2 ; 5 ; 27}

Bài 9. Thực hiện phép tính:

a) 5¹⁴ : 5¹² - 3⁶¹ : 3⁶⁰

b) 3597 . 34 + 3597 . 65 + 3597

HD:

a) 5¹⁴ : 5¹² - 3⁶¹ : 3⁶⁰ = 5² - 3¹ = 25 - 3 = 22

b) 3597 . 34 + 3597 . 65 + 3597 = 3597 . (34 + 65 + 1) = 3597 . 100 = 359700

Bài 10 Viết kết quả phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) 6²⁰¹⁰: 6¹⁰

b) (3⁸. 3¹⁶) : (3⁷ . 3¹⁴ )

c) (2²⁶: 2¹⁰) : (2¹⁸ : 2¹⁶)

d) 25³ : 125

HD:

a) 6²⁰¹⁰: 6¹⁰ = 6²⁰⁰⁰

b) (3⁸. 3¹⁶) : (3⁷ . 3¹⁴ ) = 3²⁴ : 3²¹ = 3³

c) (2²⁶: 2¹⁰ ) : (2¹⁸ : 2¹⁶) = 2¹⁶ : 2² = 2¹⁴

d) 25³ : 125= (25 . 25 . 25 ) : 5³ = 5⁶ : 5³ = 5³

Bài 11. (2 điểm) Tích của hai số là 2610. Nếu thêm 5 đơn vị vào một thừa số thì tích mới sẽ là 2900. Tìm hai số đó.

HD: Tích mới hơn tích cũ là : 2900 – 2610 = 290

Tích mới hơn tích cũ 290 vì được thêm 5 lần thừa số kia

Thừa số kia là: 290 : 5 = 58

Thừa số này là: 2610 : 58 = 45

Bài 12. (2 điểm) Trong một phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên, số bị chia là 236 và số dư là 15. Tìm số chia và thương.

HD: Gọi a, b, q, r lần lượt là số bị chia, số chia, thương, số dư

Ta có: a = bq + r (b ≠ 0 và 0 < r < b)

236 = bq + 15

bq = 236 – 15 = 221

Mà : 221 = 221.1 = 13.17. Vì b > r = 15 nên ta chọn b = 221 hoặc b = 17

- Số chia là 221 thì thương là 1

- Số chia là 17 thì thương là 13

Bài 13. (2 điểm )Tìm các thừa số và tích của các phép nhân sau :

\(\begin{array}{l}a)\overline {xy} .\overline {xyx}  = \overline {x{\rm{yx}}y} \\b)x.y.\overline {xy}  = \overline {yyy} \end{array}\)

HD:

\(\begin{array}{l}a)\overline {xy} .\overline {xyx}  = \overline {x{\rm{yx}}y} \\\overline {xy} .\overline {x{\rm{yx}}}  = \overline {xy} .100 + \overline {xy} \\\overline {xy} .\overline {x{\rm{yx}}}  = \overline {xy} (100 + 1)\\\overline {xy} .\overline {xyx}  = \overline {xy} .101\\ =  > \overline {x{\rm{yx}}}  = 101\\ =  > x = 1,y = 0\\b)x.y.\overline {xy}  = \overline {yyy} \\x.y.\overline {xy}  = y.111\\x.y.\overline {xy}  = 3.y.37\\ =  > x = 3,y = 7\end{array}\)

Bài 14. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 37 dư 1 và khi chia cho 39 dư 14.

HD: 

Gọi số cần tìm là a. Gọi thương của phép chia số a lần lượt cho 37, 39 là h, k.

Ta có: a = 37h + 1 ; a = 39k + 14 và h ≠ k

37h + 1 = 39k + 14

37h – 37k = 2k + 13

37(h – k) = 2k + 13

Vì 2k + 13 là số tự nhiên lẻ nên 37 ( h – k ) là số tự nhiên lẻ

Do đó: h – k là số tự nhiên lẻ, suy ra h – k ≥ 1

a là số nhỏ nhất nên k nhỏ nhất, khi đó 2k nhỏ nhất

Do đó h – k nhỏ nhất nên h – k = 1

Ta có: 2k + 13 = 37 . 1 ⇒ 2k = 24 ⇒ k = 12. Khi đó: a = 39 . 12 + 14 = 482

Vậy a = 482

Bài 15. Thực hiện phép tính:

a) 110700 : 15 . [356 – ( 2110 – 2000)]

b) 62500 : {50²: [112 – ( 52 – 2³. 5)]}

c) 3³. 5³– 20 . {300 – [540 – 2³ (7⁸ : 7⁶ + 7⁰)]}

HD:

a) 110700 : 15 . [356 – ( 2110 – 2000)]

= 11070 : 15[ 356 – 110 ] = 11070 : 3690 = 3

b) 62500 : { 50²: [ 112 – ( 52 – 2³. 5)]}

= 62500 : { 2500 : [ 112 – ( 52 – 8 . 5)]}

= 62500 : { 2500 : [ 112 – ( 52 – 40)]}

= 62500 : { 2500 : [112 – 12 ]}

= 62500 : { 2500 : 100 }

= 62500 : 25

= 2500

c) 3³. 5³– 20 . {300 – [ 540 – 2³ (7⁸ : 7⁶ + 7⁰ )]}

= 33 . 53 – 20 . {300 – [ 540 – 23(72 + 1 )]

= 33 . 53 – 20 . [ 300 – (540 - 8 . 50)

= 27 . 125 – 20 . [300 – ( 540 - 400 )]

= 3375 – 20 . (300 – 140)

= 3375 – 20 . 160

= 3375 – 3200

= 175

Bài 16. Tìm x ∈ N, biết:

a) 5x – 2x = 25+ 19

b) x²⁰⁰= x

HD:

a) 5x – 2x = 25 + 19

3x = 32 + 1

3x = 33

x = 11

b) x²⁰⁰ = x

x²⁰⁰ – x = 0

x ( x¹⁹⁹ – 1) = 0

x = 0 hoặc x¹⁹⁹ – 1 = 0

x = 0 hoặc x¹⁹⁹ = 1

x = 0 hoặc x = 1

Bài 17. Trong một phép chia có số bị chia là 410. Số dư là 19. Tìm số chia và thương.

Gọi a, b, q, r lần lượt là số bị chia, số chia, thương, số dư

Ta có: a = bq + r ( b ≠ 0 và 0 < r < b)

410 = bq + 19

bq = 410 – 19 = 391

Mà : 391 = 391 . 1 = 23 . 17

Vì b > r = 19 nên ta chọn b = 391 hoặc b = 23

- Số chia là 391 thì thương là 1

- Số chia là 23 thì thương là 17

Bài 18. Một đoàn xe lửa dài 160 m chạy vào một đường hầm xuyên qua núi với vận tốc 40 km/h. Từ lúc toa đầu tiên bắt đầu chui và hầm đến lúc toa cuối cùng ra khỏi hầm mất 4 phút 30 giây. Hỏi đường hầm dài bao nhiêu km?

HD: 4 phút 30 giây = 270 giây

40 km/h = 40000 m/3600 giây

Trong 270 giây đoàn xe lửa chạy được: (40000 . 270) : 3600 = 3000 (m)

3000 m là chiều dài của đoàn tàu cộng với chiều dài của đường hầm.

Do vậy đường hầm dài: 3000 – 160 = 2840 (m)

Bài 19. Tổng của n số tự nhiên chẵn từ 2 đến 2n có thể là một số chính phương không? Vì sao? (Chú ý: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên)

HD:

Ta có: 2 + 4 + 6 +… + ( 2n ) = ( 2n + 2 ) . n : 2 = n (n+1)

Mà n . n < n ( n+1 ) < ( n + 1 )( n + 1 ) ⇒ n² < n ( n + 1 ) < (n + 1)²

n² và (n + 1)² là số chính phương liên tiếp nên n (n + 1) không thể là số chính phương. Ta có điều cần chứng minh.

Bài 20. So sánh 5²⁰⁰ và 2⁵⁰⁰

HD:

\(\begin{array}{l}{5^{200}} = {5^{2.100}} = {25^{100}}\\{2^{500}} = {2^{5.100}} = {32^{100}}\\{25^{100}} < {32^{100}} =  > {5^{200}} < {2^{500}}\end{array}\)