MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO VỀ SỐ TỰ NHIÊN – PHẦN II

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO VỀ SỐ TỰ NHIÊN

– PHẦN II

B. CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI  LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

1. Nhìn chữ số tận cùng

Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9. Từ đó các em có thể giải được bài toán kiểu sau đây: 

Bài toán 1:  Chứng minh số:  n = 2004² + 2003² + 2002² - 2001²  không phải là số chính phương.

Lời giải:  Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương.

Chú ý:  Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhưng vẫn không phải là số chính phương. Khi đó các bạn phải lưu ý thêm một chút nữa: 

Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p².

Bài toán 2:  Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương.

Lời giải:  Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.

Chú ý:  Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương.

Bài toán 3:  Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.

Lời giải: 

Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương.

2. Dùng tính chất của số dư

Chẳng hạn các em gặp bài toán sau đây: 

Bài toán 4:  Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương.

Chắc chắn các em sẽ dễ bị “choáng”. Vậy ở bài toán này ta sẽ phải nghĩ tới điều gì ? Vì cho giả thiết về tổng các chữ số nên chắc chắn các em phải nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9. Nhưng lại không gặp điều “kì diệu” như bài toán 3. Thế thì ta nói được điều gì về số này ? Chắc chắn số này chia cho 3 phải dư 2. Từ đó ta có lời giải.

Lời giải:  Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 mà thôi (coi như bài tập để các em tự chứng minh !). Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương.

Tương tự các em có thể tự giải quyết được 2 bài toán: 

Bài toán 5:  Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương.

Bài toán 6:  Chứng minh số:  n = 2004⁴ + 2004³ + 2004² + 23 không là số chính phương.

Bây giờ các em theo dõi bài toán sau để nghĩ tới một “tình huống” mới.

Bài toán 7:  Chứng minh số:

n = 4⁴ + 44⁴⁴ + 444⁴⁴⁴ + 4444⁴⁴⁴⁴ + 15 không là số chính phương.

Nhận xét:  Nếu xét n chia cho 3, các em sẽ thấy số dư của phép chia sẽ là 1, thế là không “bắt chước” được cách giải của các bài toán 3 ; 4 ; 5 ; 6. Nếu xét chữ số tận cùng các em sẽ thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không làm “tương tự” được như các bài toán 1 ; 2. Số dư của phép chia n cho 4 là dễ thấy nhất, đó chính là 3. Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ cho số dư như thế nào nhỉ ? Các em có thể tự chứng minh và được kết quả:  số dư đó chỉ có thể là 0 hoặc 1. Như vậy là các em đã giải xong bài toán 7.

3. “Kẹp” số giữa hai số chính phương “liên tiếp”

Các em có thể thấy rằng:  Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn n² < k < (n + 1)² thì k không là số chính phương. Từ đó các em có thể xét được các bài toán sau: 

Bài toán 8:  Chứng minh số 4014025 không là số chính phương.

Nhận xét:  Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1. Thế là tất cả các cách làm trước đều không vận dụng được. Các em có thể thấy lời giải theo một hướng khác.

Lời giải:  Ta có 2003² = 4012009 ; 2004² = 4016016 nên 2003² < 4014025 < 2004². Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương.

Bài toán 9:  Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0.

Nhận xét:  Đối với các em đã làm quen với dạng biểu thức này thì có thể nhận ra A + 1 là số chính phương (đây là bài toán quen thuộc với lớp 8). Các em lớp 6, lớp 7 cũng có thể chịu khó đọc lời giải.

Lời giải:  Ta có: 

A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1 = (n² + 3n)² + 2(n2 + 3n) +1 = (n² + 3n +1)².

Mặt khác: 
(n² + 3n)² < (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) = A.

Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1. Chứng tỏ:  (n² + 3n)² < A < A + 1 = (n² + 3n +1)². => A không là số chính phương.

Các em có thể rèn luyện bằng cách thử giải bài toán sau: 

Bài toán 10:  Hãy tìm số tự nhiên n sao cho A = n⁴ - 2n³ + 3n² - 2n là số chính phương.

Gợi ý:  Nghĩ đến (n² - n + 1)².

Bài toán 11:  Chứng minh số 23⁵ + 23¹² + 23²⁰⁰³ không là số chính phương.

Gợi ý:  Nghĩ đến phép chia cho 3 hoặc phép chia cho 4.

Bài toán 12:  Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh bìa được ghi một số trong các số từ 2 đến 1001 sao cho không có hai mảnh nào ghi số giống nhau. Chứng minh rằng:  Không thể ghép tất cả các mảnh bìa này liền nhau để được một số chính phương.

Bài toán 13:  Chứng minh rằng:  Tổng các bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương.

Gợi ý:  Nghĩ tới phép chia cho 4.

Bài toán 14:  Chứng minh rằng số 333³³³ + 555⁵⁵⁵ + 777⁷⁷⁷ không là số chính phương.

Gợi ý:  Nghĩ đến phép chia cho … một chục (?)

Bài toán 15:  Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn mảnh. Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ?

C.  CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Phương pháp 1:  Dựa vào định nghĩa.

Ta biết rằng, số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. Dựa vào định nghĩa này, ta có thể định hướng giải quyết các bài toán.

Bài toán 1:  Chứng minh:  Với mọi số tự nhiên n thì  a_n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Lời giải:  Ta có:
a_n = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1

= (n² + 3n) (n² + 3n + 2) + 1

= (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1

= (n² + 3n + 1)²

Với n là số tự nhiên thì n² + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, a_n là số chính phương.

Bài toán 2:  Chứng minh số:  là số chính phương.

Lời giải:
Ta có:  

Vậy:  là số chính phương.

Phương pháp 2:  Dựa vào tính chất đặc biệt.

Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt:  “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương”.

Bài toán 3:  Chứng minh rằng:  Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m² + m = 4n² + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.

Lời giải:

Ta có:  3m² + m = 4n2 + n
tương đương với 4(m² - n2) + (m - n) = m²
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m² (*)

Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d.

Mặt khác, từ (*) ta có:  m² chia hết cho d² => m chia hết cho d.

Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.

Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. Cuối cùng xin gửi tới các bạn một số bài toán thú vị về số chính phương:

1) Chứng minh các số sau đây là số chính phương: 

2) Cho các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn:  1/a + 1/b = 1/c. Hãy cho biết a + b có là số chính phương hay không ?

3) Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n thì 3ⁿ + 4 không là số chính phương.

4) Tìm số tự nhiên n để n² + 2n + 2004 là số chính phương.

5) Chứng minh:  Nếu: \(a = 2 + 2\sqrt {12{n^2} + 1} \) và n là hai số tự nhiên thì a là số chính phương.