Chuyên đề ước và bội

 CHUYÊN ĐỀ ƯỚC VÀ BỘI

I. Tóm tắt lý thuyết:

1. Định nghĩa ước và bội

• Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b, còn b là ước của a.

Ví dụ : \(18\; \vdots \;6\; \Rightarrow \;18\) là bội của 6. Còn 6 được gọi là ước của 18.

1. Cách tìm ước và bội

• Ta có thể tìm các bội của một số bằng cách nhân số đó lần lượt với 0, 1, 2, 3,...

Ví dụ : B(6) = {0 ; 6 ; 12 ; 18 ; ...}

• Ta có thể tìm các ước của a bằng cách lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xét xem a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của a

Ví dụ : Ư(16) = {16 ; 8 ; 4 ; 2 ; 1}

II. Bài tập

Dạng 1: Tìm ước và bội của các số tự nhiên đã biết

Ví dụ 1:

a, Viết tập hợp các bội nhỏ hơn 40 của 9.

b, Viết dạng tổng quát các số là bội của 9.

Giải:

a, Nhân 9 lần lựot với các số: 0; 1; 2; ...ta được các bội của 9. Khi đó ta có tập hợp các bội nhỏ hơn 40 của 9 là: {0; 9; 18; 27; 36}.

b, Do trong tập hợp các bội của 9, mỗi phần tử là tích của 9 với một số tự nhiên. Nên dạng tổng quát các số là bội của 9 là:    9.k  với  \(k \in N.\)

Cách khác

 Do các bội của 9 có dạng \(9.k{\rm{ }}(k \in N)\), các bội của 9 cần tìm là những số nhỏ hơn 40 nên ta có:     \(\begin{array}{l}9.k{\rm{ }} < {\rm{ }}40\;\;\;(k \in N)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ \Rightarrow k{\rm{ }} < {\rm{ }}40:9\;\;(k \in N)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ \Rightarrow k \in \{ {\rm{ }}0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4\} \end{array}\)

Vậy tập hợp các bội nhỏ hơn 40 của 9 là: {0; 9; 18; 27; 36}.

Ví dụ 2:

a, Tìm tập hợp các ước của 30.

b, Tính tổng các ước thực sự của 30.

 Giải:

a, Xét tính chia hết của 30 cho các số tự nhiên lần lượt từ 1 đến 30. Ta được tập hợp các ước của 30 là:   {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30.}

b, Do 30 có các ước thực sự là: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15.

Vậy tổng cá ước thực sự của 30 là: 1+2+3+5+6+10+15 = 42

 Dạng 2: Xác định các số tự nhiên theo hệ thức cho trước.

 Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n để 5 chia hết cho n-1

 Giải:

 Để 5 chia hết cho n-1 \((n \in N)\) thì  \(n - 1 \in U\left( 5 \right)\;\) 

 Ta có: Ư(5)={1; 5}

- Với  n-1=1\( \Rightarrow \) n= 2

- Với  n-1=5\( \Rightarrow \) n= 6

 Vậy với n= 2 và n= 6 thì 5 chia hết cho n-1.

Ví dụ 2: Tìm n để n+10 chia hết cho n+5.

 Giải:   Ta có:

\(\begin{array}{l}n + 10\; \vdots n + 5\;\;\;\;\;\;\;\\ =  > \left( {n + 10} \right) - \left( {n + 5} \right)\;\; \vdots n + 5\;\;\;\;\;\;\;\\ =  > \;5\; \vdots n + 5\;\;\;\;\\ =  > \;n + 5 \in U\left( 5 \right).\end{array}\) 

 Do Ư(5)={1; 5}

- Với  n+5=1 (điều này không xảy ra)

- Với  n+5=5\( \Rightarrow \) n= 0

 Vậy với n= 0 thì n+10 chia hết cho n+5.

  Ví dụ 3 : Tìm n để biểu thức \(\frac{{2n + 10}}{{n + 3}}\) có giá trị là một số tự nhiên.

Giải:

 Ta có: \(\frac{{2n + 10}}{{n + 3}} = \frac{{2n + 6 + 4}}{{n + 3}} = \frac{{2(n + 3) + 4}}{{n + 3}} = 2 + \frac{4}{{n + 3}}\)

Biểu thức \(\frac{{2n + 10}}{{n + 3}}\) có giá trị là một số tự nhiên khi \(\frac{4}{{n + 3}}\) là một số tự nhiên, điều này chỉ xảy ra khi: 4 \( \vdots \)  n+3

                    \( \Rightarrow \) n+3\( \in \)Ư(4).

 Do Ư(4)= {1; 2; 4}

  Vì  \(n + 3{\rm{ }} \ge {\rm{ }}3\) nên chỉ xảy ra trường hợp:  n+3= 4 

                                                                \( \Rightarrow \) n=1

 Vậy với n=1 thì Tìm n để biểu thức \(\frac{{2n + 10}}{{n + 3}}\) có giá trị là một số tự nhiên.

Dạng 3: Xác định yếu tố chưa biết trong một biểu thức để biểu thức đã cho có giá trị là một số tự nhiên.

 Ví dụ 1: Tìm các số tự nhiên x, y biết: (x-7)(y+3)=13

 Giải:

 Do x, y là những số tự nhiên, và có (x-7)(y+3)=13.

Nên hai thừa số x-7 và y+3 là hai ước của 13.

Ta có:       Ư(13)={1; 13}

 Nên xảy ra một trường hợp sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 7 = 1\\y + 3 = 13\end{array} \right. =  > \left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 10\end{array} \right.\)

(Không xảy ra trương hợp  x-7= 13 vì \(y + 3 \ge {\rm{ }}3\))

Ví dụ 2: Tìm các số tự nhiên x, y biết: (xy-2)(y+5)=6

Giải: Cách 1

\(\left\{ \begin{array}{l}y + 5 = 6\\xy - 2 = 1\end{array} \right. =  > \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 3\end{array} \right.\)            (Chỉ xảy ra trường hợp này vì  \(y + 5 \ge 5\))

 Cách 2:

 Do x, y là những số tự nhiên, và có: (xy-2)(y+5)=6

Nên hai thừa số (xy-2) và (y+5) là hai ước của 6.

 Mà  Ư(6)={1; 2; 3; 6}

 Nên ta có bảng sau:

 Vậy chỉ có một cặp số (x, y) thảo mãn đề bài:(3; 1)

Ví dụ 3: Tìm các số tự nhiên x, y biết:    \(x.y = {\rm{ }}x - {\rm{ }}y + {\rm{ }}7\)

 Giải:

\(\begin{array}{l}x.y = {\rm{ }}x - {\rm{ }}y + {\rm{ }}7\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ =  > x.y - {\rm{ }}x + y = {\rm{ }}7\;\;\;\;\\ =  > x.y - {\rm{ }}x + y + {\rm{ }}1 = {\rm{ }}7 + {\rm{ }}1\;\;\;\\ =  > \;\left( {x.y - {\rm{ }}x} \right) + \left( {y + {\rm{ }}1} \right) = 8\;\;\;\;\\ =  > x\left( {y + {\rm{ }}1} \right) + \left( {y + {\rm{ }}1} \right) = {\rm{ }}8\;\;\;\;\\ =  > \left( {y + {\rm{ }}1} \right)\left( {x + {\rm{ }}1} \right)\; = 8\end{array}\)

    \( \Rightarrow \) y+1 và x+ 1 là hai ước của 8. Ta có bảng sau:

 Vậy có 4 cặp số tự nhiên (x,y) thoả mãn điều kiện bài toán:

   (0; 7),  (1; 3),  (3; 1),  (7; 0)

Bài tập bổ sung

Bài 1: Tìm tất cả các số có hai chữ số là:

a) Bội của 32                                                       b) Bội của 41

Bài 2: Tìm tất cả các số có hai chữ số là ước của :

a) 50                                                                     b) 45

Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho

a) x \( \vdots \) 15 và  45 < x < 136                                b) 18 \( \vdots \) x và x > 7

Bài 4:  Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho

a) 6 \( \vdots \) (x-1)                                                          b) 14 \( \vdots \) (2x+3)

Bài 5: Cho n là số tự nhiên . Chứng tỏ :

a) (n + 10 ) ( n + 15) là bội của 2.

b) n ( n + 1) (n + 2) là bội của 2 và 3

c) n( n+1 )( 2n + 1) là bội của 2 là 3

Bài 6: Tìm các số tự nhiên a biết :

a) (a + 11) \( \vdots \) ( a + 3 )                                     d) ( a – 3 ) \( \vdots \) ( a – 14)

b) ( 2a + 27 ) \( \vdots \) ( 2a + 1)                                e) ( 5a + 28) \( \vdots \) ( a + 2)

c) ( 3a + 15 ) \( \vdots \) ( 3a – 1)

Bài 7: Viết các tập hợp sau.

a) Ư(6); Ư(9); Ư(12)                                     d) B(23); B(10); B(8)

b) Ư(7); Ư(18); Ư(10)                                   e) B(3); B(12); B(9)

c) Ư(15); Ư(16); Ư(250                                 g) B(18); B(20); B(14)

Bài 8: Lúc đầu, ngựa đặt ở ô số 1, đích ở ô số 18

Ngựa                                                                                                                                   Đích

Hai bạn A và B lần lượt đưa ngựa về phía đích, mỗi lần đến lượt phải đi ít nhất 1 ô, nhiều  nhất 3 ô. Người nào đưa ngựa về đích trước là người thắng cuộc.Các em hãy cùng chơi và tìm cách chơi để thắng cuộc.

Bài 9: Tìm các số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho cả 5 và 9 , biết rằng chữ số hàng chục bẳng trung bình cộng của hai chữ số còn lại.

Bài 10: Tìm các số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho cả 5 và 9 biết rằng hiệu số đó với số viết theo thứ tự ngược lại bằng 297.

Bài 11: Chứng tỏ rằng một số có ba chữ số mà chữ số hàng chục , hàng đơn vị bằng nhau và tổng ba chữ số của số đó chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.