Cập nhật lúc: 19:02 02-11-2018 Mục tin: LỚP 6
Xem thêm: Ghi số tự nhiên
CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
IV. Phương pháp tính qua các tổng đã biết
\(\begin{array}{l}1.\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{a_i} + {b_i}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} + \sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} } } \\2.\sum\limits_{i = 1}^n {a.{a_i} = a\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \end{array}\)
Ví dụ 9: Tính tổng:
\({S_n} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n\left( {n + 1} \right)\)
Ta có: \({S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {i\left( {i + 1} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{i^2} + i} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} + \sum\limits_{i = 1}^n i } } \)
Vì:
\(\sum\limits_{i = 1}^n {i = 1 + 2 + 3 + ... + n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) (Theo I)
\(\begin{array}{l}\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\\ = > {S_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\end{array}\)
Ví dụ 10: Tính tổng:
\({S_n} = {1^3} + {2^3} + {5^3} + ... + {\left( {2n + 1} \right)^3}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{s_n} = \left[ {{1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {{\left( {2n + 1} \right)}^3}} \right] - \left[ {{2^3} + {4^3} + {6^3} + ... + {{\left( {2n} \right)}^3}} \right]\\ = \left[ {{1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {{\left( {2n + 1} \right)}^3}} \right] - 8\left( {{1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {n^3}} \right)\end{array}\)
\({S_n} = \frac{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2}{{\left( {2n + 2} \right)}^2}}}{4} - \frac{{8{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\) (theo (I)-3)
\(\begin{array}{l} = {\left( {n + 1} \right)^2}{\left( {2n + 1} \right)^2} - 2{n^2}{\left( {n + 1} \right)^2}\\ = {\left( {n + 1} \right)^2}\left( {2{n^2} + 4n + 1} \right)\end{array}\)
V. Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều
* Cơ sở lý thuyết:
+ Để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị, ta dùng công thức:
Số số hạng =(số cuối – số đầu) : (khoảng cách) + 1
+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị, ta dùng công thức:
Tổng = (số đầu – số cuối).(số số hạng) : 2
Ví dụ 12:
Tính tổng A=19+20+21+...+132
Số số hạng của A là: \(\left( {132 - 19} \right):1 + 1 = 114\) (số hạng)m
\(A = 114\left( {132 + 19} \right):2 = 8607\)
Ví dụ 13: Tính tổng:
B=1+5+9+....+2005+2009
Số số hạng của B là \(\left( {2009 - 1} \right):4 + 1 = 503\)
\(B\left( {2009 + 1} \right).503:2 = 505515\)
Ví dụ 14: Chứng minh rằng: \(k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 20 - 9k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right) = 3k\left( {k + 1} \right)\)
Từ đó tính tổng \(S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n\left( {n + 1} \right)\)
Chứng minh:
* Cách 1:
\(\begin{array}{l}VT = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) - \left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\\ = k\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 2} \right) - \left( {k - 1} \right)} \right] = k\left( {k + 1} \right).3 = 3k\left( {k + 1} \right)\end{array}\)
* Cách 2:
\(\begin{array}{l}k\left( {k + 1} \right) = k\left( {k + 1} \right).\frac{{\left( {k + 2} \right) - \left( {k - 1} \right)}}{3}\\ = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3} - \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k - 1} \right)}}{3}(*)\\ \Rightarrow 3k\left( {k - 1} \right) = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) - \left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\\ \Rightarrow 1.2 = \frac{{1.2.3}}{3} - \frac{{0.1.2}}{3}\\2.3 = \frac{{2.3.4}}{3} - \frac{{1.2.3}}{3}\\...\\n\left( {n + 1} \right) = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3} - \frac{{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)}}{3}\\ = \frac{{ - 1.2.0}}{3} + \frac{{\left( {n + 2} \right)n\left( {n + 1} \right)}}{3} = \frac{{\left( {n + 1} \right)n\left( {n + 2} \right)}}{3}\end{array}\)
Ví dụ 15: Chứng minh rằng:
\(k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) - \left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = 4k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\)
Từ đó tính tổng \(S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\)
Chứng minh:
\(\begin{array}{l}VT = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left[ {\left( {k + 3} \right) - \left( {k - 1} \right)} \right]\\ = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right).4\end{array}\)
Rút ra: \(k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{4} - \frac{{\left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{4}\)
Áp dụng:
\(\begin{array}{l}1.2.3 = \frac{{1.2.3.4}}{4} - \frac{{0.1.2.3}}{4}\\2.3.4 = \frac{{2.3.4.5}}{4} - \frac{{1.2.3.4}}{4}\\...\\\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{4} - \frac{{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{4}\end{array}\)
Cộng vế với vế ta được \(S = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{4}\)
Bài tập đề nghị:
Tính các tổng sau
\(\begin{array}{l}1)B = 2 + 6 + 10 + 14 + ... + 202\\2)\\a.A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{6.2}} + {2^{6.3}}\\b.S = 5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{99}} + {5^{100}}\\c.C = 7 + 10 + 13 + ... + 76\\3)D = 49 + 64 + 81 + ... + 169\\4)S = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + ... + n\left( {n + 3} \right)(n = 1,2,3,...)\\5)S = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}6)S = \frac{4}{{5.7}} + \frac{4}{{7.9}} + ... + \frac{4}{{59.61}}\\7)A = \frac{5}{{11.16}} + \frac{5}{{16.21}} + \frac{5}{{21.26}} + ... + \frac{5}{{61.66}}\\8)M = \frac{1}{{{3^0}}} + \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^{2005}}}}\\9){S_n} = \frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\10){S_n} = \frac{2}{{1.2.3}} + \frac{2}{{2.3.4}} + ... + \frac{2}{{98.99.100}}\\11){S_n} = \frac{1}{{1.2.3.4}} + \frac{1}{{2.3.4.5}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}\end{array}\)
12) \(M = 9 + 99 + 999 + ... + 99.....9\) (+50 chữ số 9)
13) Cho:
\(\begin{array}{l}{S_1} = 1 + 2\\{S_3} = 6 + 7 + 8 + 9\\{S_2} = 3 + 4 + 5\\{S_4} = 10 + 11 + 12 + 13 + 14\end{array}\)
Tính \({S_{100}} = ?\)
* Các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng, chẳng hạn dạng toán tìm x:
\(\begin{array}{l}14)\\a,\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 2} \right) + \left( {x + 3} \right) + .... + \left( {x + 100} \right) = 5070\\b,1 + 2 + 3 + 4 + ... + x = 820\\c,1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + ... + \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 1 + \frac{{2013}}{{2015}}\end{array}\)
Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan
15) Chứng minh:
\(a, A = 4 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{20}}\) là lũy thừa của 3
\(\begin{array}{l}b,B = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{60}} \vdots 3;7;15\\c,C = 3 + {3^3} + {3^5} + ... + {3^{2015}} \vdots 13;41\\d,D = {11^9} + {11^8} + {11^7} + ... + 11 + 1 \vdots 5\end{array}\)
Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:
>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Các bài khác cùng chuyên mục
Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021