CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

Cập nhật lúc: 18:55 02-11-2018 Mục tin: LỚP 6


Trong bài viết này, các em được làm quen với một phần kiến thức nâng cao là Dãy số viết theo quy luật. BÀi viết cung cấp cho các em các phương pháp để giải quyết dạng bài toán liên quan đến phần kiến thức này là: Phương pháp dự đoán và quy nạp, Phương pháp khử liên tiếp, Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính...

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

 

I. Phương pháp dự đoán và quy nạp:

Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn

\({S_n} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\) (1)

Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được.

Ví dụ 1: Tính tổng Sn =1+3+5 +… + (2n -1)

Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1

S2 = 1 + 3 =22

S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32

…      …             …

Ta dự đoán Sn = n2

Với n = 1; 2; 3 ta thấy kết quả đúng

Giả sử với n = k (k  1) ta có  S= k 2    (2)

Ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 (3)

Thật vậy cộng 2 vế của (2) với 2k +1  ta có

1+3+5 +… + (2k – 1) + (2k +1) = k2 + (2k +1)

Vì k2 + (2k +1) = (k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1  = ( k +1) 2

Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh

Vậy Sn = 1+3 + 5 + … + ( 2n -1) = n2

Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học.

\(\begin{array}{l}1)1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\\2){1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\\3){1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {\left( {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right)^2}\\4){1^5} + {2^5} + ... + {n^5} = \frac{1}{{12}}.{n^2}{\left( {n + 1} \right)^2}\left( {2{n^2} + 2n - 1} \right)\end{array}\)

II. Phương pháp khử liên tiếp:

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn \({a_i},i = 1,2,3...,n\), qua hiệu hai số hạng liên tiếp 1 dãy số khác, chính xác hơn, giả sử:

\(\begin{array}{l}{a_1} = {b_1} - {b_2}\\{a_2} = {b_2} - {b_3}\\...\\{a_n} = {b_n} - {b_{n + 1}}\end{array}\)

Khi đó ta có ngay:

\(\begin{array}{l}{s_n} = \left( {{b_1} - {b_2}} \right) + \left( {{b_2} - {b_3}} \right) + .... + \left( {{b_n} - {b_{n + 1}}} \right)\\ = {b_1} - {b_{n + 1}}\end{array}\)

Ví dụ 2: Tính tổng:

\(S = \frac{1}{{10.11}} + \frac{1}{{11.12}} + \frac{1}{{12.13}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\)

Ta có: \(\frac{1}{{10.11}} = \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{11}},\frac{1}{{11.12}} = \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{12}},...,\frac{1}{{99.100}} = \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\)

Do đó:

\(S = \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}} = \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{100}} = \frac{9}{{100}}\)

  • Dạng tổng quát

\(\begin{array}{l}{S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\,\,\left( {n > 1} \right)\\ = 1 - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}}\end{array}\)

Ví dụ 3: Tính tổng

\({S_n} = \frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + \frac{1}{{3.4.5}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Ta có \({S_n} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}}} \right) + ... + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right)\)

\({S_n} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right)\)

\({S_n} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right) = \frac{{n\left( {n + 3} \right)}}{{4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Ví dụ 4: Tính tổng

\({S_n} = 1! + 2.2! + 3.3! + .... + n.n!\, \left( {n! = 1.2.3...n} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}1! = 2! - 1!\\2.2! = 3! - 2!\\3.3! = 4! - 3!\\...\\n.n! = \left( {n + 1} \right) - n!\end{array}\)

Vậy

\(\begin{array}{l}{S_n} = 2! - 1! + 3! - 2! + 4! - 3! + .... + \left( {n + 1} \right)! - n!\\ = \left( {n + 1} \right)! - 1! = \left( {n + 1} \right)! - 1\end{array}\)

Ví dụ 5: Tính tổng

\({S_n} = \frac{3}{{{{\left( {1.2} \right)}^2}}} + \frac{5}{{{{\left( {2.3} \right)}^2}}} + .... + \frac{{2n + 1}}{{{{\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right)}^2}}}\)

Ta có: \(\frac{{2i + 1}}{{{{\left( {i\left( {i + 1} \right)} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{i^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {i + 1} \right)}^2}}};i = 1;2;3;...;n\)

Do đó \({S_n} = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + .... + \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} \right)\)

                 \( = 1 - \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \frac{{n\left( {n + 2} \right)}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)

III. Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính:

Ví dụ 6: Tính tổng

            \(S = 1 + 2 + {2^2} + .... + {2^{100}}\) (4)

Ta viết lại S như sau:

\(\begin{array}{l}S = 1 + 2\left( {1 + 2 + {2^2} + .... + {2^{99}}} \right)\\S = 1 + 2\left( {1 + 2 + {2^2} + .... + {2^{99}} + {2^{100}} - {2^{100}}} \right)\\ \Rightarrow S = 1 + 2\left( {S - {2^{100}}} \right)\end{array}\)        (5)

Từ (5) suy ra

 \(\begin{array}{l}S = 1 + 2S - {2^{101}}\\ \Rightarrow S = {2^{101}} - 1\end{array}\)

Ví dụ 7: Tính tổng

            \({S_n} = 1 + p + {p^2} + {p^3} + .... + {p^n}\,\left( {p \ne 1} \right)\)

Ta viết lại \({S_n}\) dưới dạng sau:

\(\begin{array}{l}{S_n} = 1 + p\left( {1 + p + {p^2} + .... + {p^{n - 1}}} \right)\\{S_n} = 1 + p\left( {1 + p + {p^2} + .... + {p^{n - 1}} + {p^n} - {p^n}} \right)\\ \Rightarrow {S_n} = 1 + p\left( {{S_n} - {p_n}} \right)\\ \Rightarrow {S_n} = 1 + p.{S_n} - {p^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n}\left( {p - 1} \right) = {p^{n + 1}} - 1\\ \Rightarrow {S_n} = \frac{{{p^{n + 1}} - 1}}{{p - 1}}\end{array}\)

Ví dụ 8: Tính tổng

\({S_n} = 1 + 2p + 3{p^2} + .... + \left( {n + 1} \right){p^n},\,\left( {p \ne 1} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}p.{S_n} = p + 2{p^2} + 3{p^3} + .... + \left( {n + 1} \right){p^{n + 1}}\\ = 2p - p + 3{p^2} - {p^2} + 4{p^3} - {p^3} + .... + \left( {n + 1} \right){p^n} - {p^n} + \left( {n + 1} \right){p^n} - {p^n} + \left( {n + 1} \right){p^{n + 1}}\\ = \left( {2p + 3{p^2} + 4{p^3} + .... + \left( {n + 1} \right){p^n}} \right) - \left( {p + p + p + ...{p^n}} \right) + \left( {n + 1} \right){p^{n + 1}}\\ = \left( {1 + 2p + 3{p^2} + 4{p^3} + .... + \left( {n + 1} \right){p^n}} \right) - \left( {1 + p + {p^2} + .... + {p^n}} \right) + \left( {n + 1} \right){p^{n + 1}}\\p.{S_n} = {S_n} - \frac{{{P^{n + 1}} - 1}}{{P - 1}} + \left( {n + 1} \right){P^{n + 1}}(VD7)\end{array}\)

Lại có \(\left( {p - 1} \right){S_n} = \left( {n + 1} \right){p^{n + 1}} - \frac{{{p^{n + 1}} - 1}}{{P - 1}}\)

\( \Rightarrow {S_n} = \frac{{\left( {n + 1} \right){p^{n + 1}}}}{{p - 1}} - \frac{{{p^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {P - 1} \right)}^2}}}\)

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021