Các dạng toán về số phần tử của một tập hợp. Tập hợp con

CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA MỘT TẬP HỢP. TẬP HỢP CON

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.

1. Số phần tử của một tập hợp :

Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có thể không có

phần tử nào.

Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập hợp rỗng (kí hiệu \(\emptyset \)).

2. Tập hợp con :

Nếu mọi phần tử của tập  hợp A đều thuộc tập  hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp

B.

Kí hiệu A \( \subset \) B, đọc là : A là tập hợp con của tập hợp B, hoặc A được chứa trong B, hoặc B chứa A.

Chú ý : Nếu A \( \subset \)  B và B \( \subset \)  A thì ta nói A và B là hai tập hợp bằng nhau, kí hiệu A = B.

B. CÁC DẠNG TOÁN.

Dạng 1. VIẾT MỘT TẬP HỢP BẰNG CÁCH LIỆT KÊ CÁC PHẦN TỬ THEO TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CHO CÁC PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ẤY

Phương pháp giải

Căn cứ vào tính chất đặc trưng cho trước, ta liệt kê tất cả các phần tử thỏa mãn tính chất ấy.

Ví dụ 1. (Bài 22 trang 14 SGK)

Số chẵn là số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 ; số lẻ là số tự nhiên có chữ số tận

cùng là 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9.

Hai số chẵn hoặc lẻ liên tiếp thì hơn kém nhau 2 đơn vị.

a) Viết tập hợp c các số chẵn nhỏ hơn 10.

b) Viết tập hợp L các số lẻ lớn hơn 10 nhưng nhỏ hơn 20.

c) Viết tập hợp A ba số chẵn liên tiếp, trong đó số nhỏ nhất là 18.

d) Viết tập hợp B bốn số lẻ liên tiếp, trong đó số lớn nhất là 31.

Giải

a) Các phần tử của tập hợp c là các số chẵn nhỏ hơn 10. Do đó, tập hợp C được viết như sau :

C = {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8}.

b) Các phần tử của tập hợp L là các số lẻ lớn hơn 10 nhưng nhỏ hơn 20. Vậy tập hợp L là :

L = {11; 13 ; 15 ; 17 ; 19}.

c) Trong tập hợp A số nhỏ nhất là 18 nên hai số chẵn liên tiếp của nó lần lượt là :

18 + 2 = 20, 20 + 2 = 22.

Ta có : A = {18 ; 20 ; 22).

d) Trong tập hợp B, số lớn nhất là 31 nên ba số lẻ liên tiếp của nó lần lượt là 31 – 2 = 29, 29 – 2 = 27, 27 – 2 = 25.

Ta có : B = {25 ; 27 ; 29 ; 31}.

Ví dụ 2. (Bài 25 trang 14 SGK)

Cho bảng sau (theo Niên giám năm 1999) :

Viết tập hợp A bốn nước có diện tích lớn nhất, viết tập hợp B ba nước có diện tích nhỏ nhất.

Giải

A = {In-đô-nê-xi-a, Mi-an-ma, Thái Lan, Việt Nam}.

B = {Xin-ga-po, Bru-nây, Cam-pu-chia}.

Dạng 2. SỬ DỤNG ĐÚNG CÁC KÍ HIỆU \( \in \)  VÀ \( \subset \)

Phương pháp giải

Cần nắm vững : Kí hiệu \( \in \)  diễn tả quan hệ giữa một phần tử với một tập hợp ; kí hiệu \( \subset \) diễn tả

một quan hệ giữa hai tập hợp.

A \( \in \)  M : A là phần tử của M ;

A \( \subset \) M: A là tập hợp con của M.

Ví dụ 3 . (Bài 19 trang 13 SGK)

Viết tập hợp A các số tự nhiên nhỏ hơn 10, tập hợp B các số tự nhiên nhỏ hơn 5, rồi dùng kí hiệu

\( \subset \)  để thể hiện quan hệ giữa hai tập hợp trên.

Giải

A = {0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9},

B = {0 ; 1; 2 ; 3 ; 4).

Ta thấy mọi phần tử của tập hợp B đều thuộc A, do đó ta có B \( \subset \)  A.

Ví dụ 4. (Bài 20 trang 13 SGK)

Cho tập hợp A = {15 ; 24}. Điền kí hiệu  \( \in \) , \( \subset \)  hoặc = vào chỗ … cho đúng:

a) 15 … A;               b){15} … A;              c){15;24} … A.

Giải

a) 15 là một phần tử của tập hợp A nên ta viết 15 \( \in \) A.

b) {15} là một tập hợp con của tập hợp A nên ta viết: {15}  \( \subset \)  A.

c) {15; 24} chính là tập hợp A, do đó : {15 ; 24} = A.

Ví dụ 5. (Bài 24 trang 14 SGK)

Cho A là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 10, B  là tập  hợp các số chẵn, N* là tập hợp các số tự

nhiên khác 0. Dùng kí hiệu c để thể hiện quan hệ của mỗi tập hợp trên với tập hợp N các số tự

nhiên.

Giải

Các tập hợp A, B, N * đều là các tập hợp con của tập hợp N nên ta có:A  \( \subset \)  N, B \( \subset \)   N, N* \( \subset \)  N.

Dạng 3. TÌM SỐ PHẦN TỬ CỦA MỘT TẬP HỢP CHO TRƯỚC.

Phương pháp giải

– Căn cứ vào các phần tử đã được liệt kê hoặc căn cứ vào tính chất đặc

trưng cho các phần tử của tập hợp cho trước, ta có thể tìm được số

phần tử của tập hợp đó.

– Sử dụng các công thức sau :

Tập hợp các số tự nhiên từ a đến b có : b – a + 1 phần tử (1)

Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có : (b – a) : 2 + 1 phần tử (2)

Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số lẻ n có : (n – m): 2 + 1 phần tử (3)

Tập hợp các số tự nhiên từ a đến b, hai số kế tiếp cách nhau d đơnơvị, có : (b – a): d +1 phần

tử     (4)

(Các công thức (1), (2), (3) là các trường hợp  riêng của công thức (4)).

Ví dụ 6. (Bài 16 trang 13 SGK)

Mỗi tập hợp sau có bao nhiêu phần tử ?

a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà x – 8 = 12 ;

b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 7 = 7 ;

c) Tập hợp c các số tự nhiên x mà x .0 = 0 ;

d) Tập hợp D các số tự nhiên x mà x . 0 = 3.

Giải

a) Từ x – 8 = 12 suy ra x = 12 + 8 = 20. Vậy ta có : A = {20}, A có một phần tử.

b) Từ x + 7 = 7 suy ra x = 7 – 7 = 0. Do đó : B = {0}, B có một phần tử.

c) Từ x . 0 = 0 và x \( \in \) N suy ra x là bất kì số tự nhiên nào. Vậy : C = N , C có vô số phần tử.

d) Không có số tự nhiên x nào mà x . 0 = 3 , nên : D =  \(\emptyset \), D không có phần tử nào.

Ví dụ 7. (Bài 17 trang 13 SGK)

Viết các tập hợp sau và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử ?

a) Tập hợp A các số tự nhiên không vượt quá 20.

b) Tập hợp B các số tự nhiên lớn hơn 5 nhưng nhỏ hơn 6.

Giải

A = {0 ; 1 ; 2 ; … ; 20}, A có 21 phần tử.

B = \(\emptyset \) , B không có phần tử nào.

Ví dụ 8. (Bài 21 trang 14 SGK)

Tập hợp A = {8 ; 9 ;… ; 20} có 20 – 8 + 1 = 13 (phần tử).

Tổng quát : Tập hợp các số tự nhiên từ a đến b có b – a + 1 phần tử.

Hãy tính số phần tử của tập hợp sau :

B = {10 ; 11 ; 12 ;… ; 99}.

Giải

Số phần tử của tập hợp B là : 99 – 10 + 1 = 90 (phần tử).

Ví dụ 9. (Bài 23 trang 14 SGK)

Tập hợp C = {8 ; 10 ; 12 ; … ; 30} có (30 – 8) : 2 + 1 = 12 (phần tử).

Tổng quát : Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có (b – a) : 2 + 1 phần tử. Tập hợp

các  số lẻ từ số lẻ m đến số lẻ n có (n – m) : 2 + 1 phần tử.

Hãy tính số phần tử của tập hợp sau :

D = {21 ; 23 ; 25 ;… ; 99} ; E = {32; 34; 36;… ; 96}.

Giải

D là tập hợp các số lẻ từ số 21 đến số lẻ 99 nên số phần tử của D là (99 – 21) : 2 + 1 = 40

(phần tử).

E là tập hợp các số chẵn từ 32 đến 96, E có 33 phần tử vì :

(96 – 32) : 2 + 1 = 33.

Ví dụ 10. Tập hợp F = {1 ; 4 ; 7 ; 10 ; … ; 298 ; 301} có bao nhiêu phần tử ?

Giải

Tập hợp F bao gồm tất cả các số chia cho 3 dư 1 trong đó số nhỏ nhất là 1, số lớn nhất là 301,

hai số kế tiếp cách nhau 3 đơn vị. Do đó số phần tử của tập hợp F là : (301 -1) : 3 + 1 = 101

(phần tử).

Dạng 4. BÀI TẬP VỀ TẬP HỢP RỖNG

Phương pháp giải

Nắm vững định nghĩa tập hợp rỗng : Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu \(\emptyset \).

Ví dụ 11. (Bài 18 trang 13 SGK)

Cho A = {0}. Có thể nói rằng A là tập hợp rỗng hay không ?

Giải

Tập hợp A có một phần tử là phần tử 0, còn tập hợp rỗng là tập hợp không có phần tử nào. Vì vậy,

không thể nói A = \(\emptyset \).

Ví dụ 12. Cho biết sự khác nhau giữa các tập hợp sau : \(\emptyset \) ; {0} ; {\(\emptyset \)}.

Giải

\(\emptyset \) là tập hợp không có phần tử nào.

{0) là tập hợp có một phần tử là 0.

{\(\emptyset \)} là tập hợp có một phần tử là tập hợp rỗng.

Dạng 5.  VIẾT TẤT CẢ CÁC TẬP HỢP CON CỦA TẬP HỢP CHO TRƯỚC

Phương pháp giải

Giả sử tập hợp A có n phần tử.

Ta viết lần lượt các tập hợp con :

– Không có phần tử nào (\(\emptyset \)) ;

– Có 1 phần tử ;

– Có 2 phần tử ;

….

– Có n phần tử.

Chú ý : Tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp : \(\emptyset \)\( \subset \)  E, Người ta chứng minh được rằng

nếu một tập hợp có n phần tử thì số tập hợp con của nó bằng 2ⁿ.

Ví dụ 13. Cho tập hợp A = {a, b, c}. Viết tất cả các tập hợp con của A.

Giải

Các tập hợp  con của A là :

\(\emptyset \), {a} , {b}.,{c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}.

(Số tập hợp con của A bằng 2³ = 8 ).