Các dạng toán nâng cao dấu hiệu chia hết

CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO DẤU HIỆU CHIA HẾT

Dạng 1: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết 

Bài 1: Tìm \(n \in \;N\) sao cho \({2^n}\;-{\rm{ }}1 \vdots 7\)
Giải:
Nếu \(n{\rm{ }} = {\rm{ }}3k{\rm{ }}({\rm{ }}k \in \;N)\) thì \({2^n}\;-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^{3k}}\;-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{8^k}\;\;-{\rm{ }}1{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}7\)
Nếu \(n{\rm{ }} = {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}({\rm{ }}k \in \;N)\) thì \({2^n}\;-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^{3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1\;}}\;-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}2\left( {{2^{3k}}\;-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}7m{\rm{ }} + {\rm{ }}1\)
Nếu \(n{\rm{ }} = {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }}({\rm{ }}k \in \;N)\) thì \({2^n}\;-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^{3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2\;}}\;-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}4\left( {{2^{3k}}\;-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}7m{\rm{ }} + {\rm{ }}3\)
Vậy: \({2^n}\;-{\rm{ }}1 \vdots 7\)khi n = BS 3
Bài 2: Tìm n ∈ N để:
\(a){\rm{ }}{3^n}\;-{\rm{ }}1{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}8\)
\(b){\rm{ }}A{\rm{ }} = {\rm{ }}{3^{2n{\rm{ }} + {\rm{ }}3}}\; + {\rm{ }}{2^{4n{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}\; \vdots {\rm{ }}25\)
\(c){\rm{ }}{5^n}\;-{\rm{ }}{2^n}\; \vdots {\rm{ }}9\)

Giải:

a) Khi n = 2k (k ∈ N) thì 3ⁿ – 1 = 3^2k – 1 = 9^k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8
Khi n = 2k + 1 (k ∈ N) thì 3ⁿ – 1 = 3^{2k + 1}  – 1 = 3. (9^k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2
Vậy : 3ⁿ – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k ∈ N)
b) A = 3^{2n + 3} + 2^{4n + 1} = 27 . 3²ⁿ + 2.2⁴ⁿ =  (25 + 2) 3²ⁿ  + 2.2⁴ⁿ = 25. 3²ⁿ  + 2.3²ⁿ  + 2.2⁴ⁿ
= BS 25 + 2(9ⁿ  + 16ⁿ)
Nếu n = 2k +1(k ∈ N) thì 9ⁿ  + 16ⁿ = 9^{2k + 1} + 16^{2k + 1} chia hết cho 9 + 16 = 25
Nếu n = 2k  (k ∈ N) thì 9ⁿ có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16ⁿ có chữ số tận cùng bằng 6
suy ra 2((9ⁿ  + 16ⁿ) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25
c) Nếu n = 3k (k ∈ N) thì 5ⁿ – 2ⁿ = 5^3k – 2^3k chia hết cho 5³ – 2³ = 117 nên chia hết cho 9
Nếu n = 3k + 1 thì 5ⁿ – 2ⁿ =  5.5^3k – 2.2^3k = 5(5^3k – 2^3k) + 3. 2^3k = BS 9 + 3. 8^k
= BS 9 + 3(BS 9 – 1)^k = BS 9 + BS 9 + 3
Tương tự:  nếu n = 3k + 2 thì 5ⁿ – 2ⁿ không chia hết cho 9

Dạng 2: Tìm điều kiện chia hết

Ví dụ 1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B:
\(A = {\rm{ }}{n^3}\; + 2{n^2}\; - 3n + 2{\rm{ }},\;\;\;{\rm{ }}B = {\rm{ }}{n^2}\; - n\)
Giải: Đặt tính chia:

Muốn chia hết, ta phải có 2 chia hết cho n(n-1),do đó 2 chia hết cho n(vì n là số nguyên)
Ta có:

Vậy n= -1; n = 2
Ví dụ 2:
Tìm số nguyên dương n để \({n^5}\; + 1{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}{n^3}\; + 1.\)
Giải: Ta có
\(\begin{array}{l}{n^5}\; + 1{\rm{ }} \vdots \;{n^3}\; + 1\\ \Leftrightarrow {n^2}\;\left( {{n^3} + 1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {{n^2}\; - 1} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2}\; - n{\rm{ }} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2}\; - n{\rm{ }} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow n{\rm{ }} - 1\;{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}{n^2}\; - n{\rm{ }} + 1{\rm{ }}\left( {{\rm{ }}n + 1 \ne 0} \right)\end{array}\)

Nếu n =1 thì ta được 0 chia hết cho 1
Nếu n>1 thì \(n{\rm{ }} - 1 < {\rm{ }}n\left( {n - 1} \right){\rm{ }} + 1 = {n^2}\; - n{\rm{ }} + 1\), do đó không thể chia hết cho \({n^2}\;-{\rm{ }}n{\rm{ }} + 1.\)

Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1.
Ví dụ 3:
Tìm số nguyên n để \({n^5}\; + 1{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}{n^3}\; + 1.\)
Giải: Theo ví dụ trên ta có:
\(\begin{array}{l}n{\rm{ }} - 1\;{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}{n^2}\; - n{\rm{ }} + 1{\rm{ }}\\ \Rightarrow n\left( {n - 1} \right)\;\;{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}{n^2}\; - n{\rm{ }} + 1\\ \Rightarrow {n^2}\; - n\;{\rm{ }}\; \vdots {\rm{ }}{n^2}\; - n{\rm{ }} + 1\\ \Rightarrow \left( {{n^2}\; - n{\rm{ }} + 1} \right){\rm{ }} - 1\;{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}{n^2}\; - n{\rm{ }} + 1\\ \Rightarrow 1{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}\;{n^2}\; - n{\rm{ }} + 1\end{array}\)
Có hai trường hợp
\({n^2}\; - n{\rm{ }} + 1{\rm{ }} = 1\; \Leftrightarrow n\left( {{\rm{ }}n{\rm{ }} - 1} \right){\rm{ }} = 0\; \Leftrightarrow n = 0;{\rm{ }}n = 1.\) Các giá trị này thoả mãn đề bài.
\({n^2}\; - n{\rm{ }} + 1 = {\rm{ }} - 1 \Leftrightarrow {n^2}\; - n{\rm{ }} + 2{\rm{ }} = 0\)   Không tìm được giá trị của n
Vậy n= 0; n =1 là hai số phải tìm.
Ví dụ 4:
Tìm số tự nhiên n sao cho \({2^n}\; - 1{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}7.\)
Giải:
Nếu n = 3k (k ∈ N) thì 2ⁿ -1 = 2^3k -1 = 8^k -1
Chia hết cho 7
Nếu n =3k +1(k ∈ N) thì
2ⁿ -1= 2^3k+1 – 1=2(2^3k -1) +1 = Bs 7 +1
Nếu n = 3k +2 ( k ∈ N) thì
2ⁿ -1= 2^3k+2 -1 =4(2^3k – 1)+3 =Bs 7 +3
Vậy 2ⁿ -1 chia hết cho 7 n = 3k(k ∈ N).

*Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm điều kiện của số tự nhiên a để \({a^2} + 3a{\rm{ }} + 2{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}6\)
Giải:
Ta có \({a^2}\; + 3a{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)\) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2
Do đó \({a^2}\; + 3a{\rm{ }} + 2{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}3 \Leftrightarrow {a^2}\; + 2{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}3 \Leftrightarrow {a^{2\;}} = 3k + 1 \Leftrightarrow a{\rm{ }}\not  \vdots {\rm{ }}3.\)

Điều kiện phải tìm là a không chia hết cho 3.
Bài 2:
Tìm điều kiện của số tự nhiên a để \({a^4}\; - 1{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}240.\)

Bài 3:
Tìm số nguyên tố p để 4p +1 là số chính phương.
Bài 4.
Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a,b,c sao cho \({a^2}\; + {\rm{ }}{b^2}\; + {\rm{ }}{c^{2\;}}\;\)  cũng là số nguyên tố
Giải: Xét hai trường hợp
+ Trong 3 số a,b,c có một số bằng 3.
Khi đó \({2^2}\; + {\rm{ }}{3^2}\; + {\rm{ }}{5^2}\; = 38\) là hợp số (loại)
Còn \({3^2}\; + {\rm{ }}{5^2}\; + {\rm{ }}{7^2}\; = 83\) là số nguyên tố.
+ Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 3.
Khi đó \({a^2},{\rm{ }}{b^2},{\rm{ }}{c^2}\;\) đều chia cho 3 dư 1 nên
\({a^2}\; + {\rm{ }}{b^2}\; + {\rm{ }}{c^{2\;}}\;\) chia hết cho 3,là hợp số (loại)
Vây ba số phải tìm là 3,5,7.
* Các bài tập tổng hợp các dạng toán trên
Bài 1. Cho các số nguyên a,b,c đều chia hết cho 6. Chứng minh rằng
Nếu a+ b+ c chia hết cho 6 thì \({a^3}\; + {\rm{ }}{b^3}\; + {\rm{ }}{c^3} \vdots {\rm{ }}6\)

Bài 2: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Bài 3: Chứng minh rằng A chia hết cho B với
\(\begin{array}{l}A = {\rm{ }}{1^3}\; + {\rm{ }}{2^3}\; + {\rm{ }}{3^3}\; +  \ldots  + {\rm{ }}{99^{\;3}}\; + {\rm{ }}{100^3}\\B = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3 +  \ldots  + {\rm{ }}99{\rm{ }} + {\rm{ }}100.\end{array}\)

Bài 4. Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a,b,c thoả mãn điều kiện
\({a^2}\; + {\rm{ }}{b^2}\; = {\rm{ }}{c^2}\;\) thì abc chia hết cho 60.

Dạng 3: Tìm số dư

Ví dụ 1: Tìm số dư khi chia \({2^{100}}\)
a) cho 9;            b) cho 25;           c) cho 125.
Giải:
a) Lũy thừa của 2 sát với một bội số của 9 là 2³ = 8 = 9-1
Ta có 2¹⁰⁰ =2( 2³)³³ = 2(9-1)³³=2(B(9-1))
= B( 9) -2= B(9)+ 7
Số dư khi chia 2¹⁰⁰ cho 9 là 7.
b) Lũy thừa của 2 sát với bội số của 25 là
2¹⁰ = 1024 =B(25) -1
Ta có  2¹⁰⁰= (2¹⁰)¹⁰ =(B(25) -1)¹⁰ =B(25) +1
Số dư khi chia 2¹⁰⁰ cho 25 là 1.
c) Dùng công thức Niu-tơn:
2¹⁰⁰ = (5 – 1)⁵⁰ =5⁵⁰-50.50⁴⁹+….+-50.5+1.
Không kể phần hệ số của khai triển Niu-tơn thì 48 số hạng đầu đã chứa lũy thừa của 5 với sô mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên chia hết  cho 125, số hạng cuối là 1 .
Vậy 2¹⁰⁰ chia cho 125 dư 1.

Ví dụ 2: Tìm ba chữ số tận cùng của 2¹⁰⁰ khi viết trong hệ thập phân.
Giải: Theo ví dụ trên ta có
2¹⁰⁰ = BS 125 +1,mà 2¹⁰⁰ là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876.
Mà 2¹⁰⁰ chia hết cho8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 8.Trong 4 số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này.
Vậy ba chữ số tận cùng của 2¹⁰⁰ là 376.
Chú ý: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của n¹⁰⁰ là 376.
Ví dụ 3: Tìm 4 chữ số tận cùng của 5¹⁹⁹⁴ viết trong hệ thập phân.
Giải: 
Cách 1. Ta thấy số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng bằng 0625.Do đó
5¹⁹⁹⁴=5^4k+2 =25(5^4k)=25(0625)^k
= 25.(…0625)  = …..5625
Cách 2. Ta thấy 5^4k -1 chia hêt cho 5⁴ -1
= (5² -1)(5² +1) nên chia hết cho 16.
Ta có: 5¹⁹⁹⁴ = 5⁶( 5³³² -1) +5⁶
Do 5⁶ chia hết cho 5⁴, còn 5³³² -1 chia hết cho 16 nên 5⁶( 5³³² -1) chia hết cho 10000
Và 5⁶ = 15625.
Vậy 4 chữ số tận cùng của 5¹⁹⁹⁴ là 5
Bài tập tương tự
1.CMR với mọi số tự nhiên n thì 7ⁿ và 7ⁿ⁺⁴ có hai chữ số tận cùng như nhau.
+ Cho hs đặt câu hỏi: Khi nào hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau?
– Khi hiệu của chúng chia hết cho 100
  Giải: Xét hiệu của 7^{n +4}– 7ⁿ = 7ⁿ( 7⁴ -1)
= 7ⁿ .2400
Do đó 7ⁿ⁺¹ và 7ⁿ có chữ số tận cùng giống nhau.
2.Tìm số dư của 22²²+55⁵⁵ cho 7.
+ Xét số dư của 22 và 55 cho 7?
Giải: Ta có  22²² + 55⁵⁵ =(B(7) +1)²² +(B(7) -1)⁵⁵
                                                               = B(7) +1+ B(7) -1
= B(7)
Vậy22²² + 55⁵⁵ chia hết cho 7