Các dạng toán giới hạn của dãy số

GIỚI HẠN DÃY SỐ

A. LÝ THUYẾT

I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0

1. Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu \(\lim {u_n} = 0\)

Nói một cách ngắn gọn, \(\lim {u_n} = 0\) nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Từ định nghĩa ta suy ra rằng:

a) \(\lim {u_n} = 0 \Leftrightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0\)

b) Dãy số không đổi \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = 0\) có giới hạn là 0.

c) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn 0 nếu \({u_n}\) có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn.

2. Một số dãy số có giới hạn 0

Định lí 4.1

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\)

Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\)

Định lí 4.2

Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\)

Người ta chứng minh được rằng

a) \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0\)

b) \(\lim \frac{1}{{\sqrt[3]{n}}} = 0\)

c) \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với mọi số nguyên dương k cho trước

Trường hợp đặc biệt: \(\lim \frac{1}{n} = 0\)

d) \(\lim \frac{{{n^k}}}{{{a^n}}} = 0\) với mọi \(k \in {N^*}\) và mọi \(a > 1\) cho trước.

II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN

1. Định nghĩa