BÀI TẬP VỀ SỐ TỰ NHIÊN – PHẦN II

 BÀI TẬP VỀ SỐ TỰ NHIÊN – PHẦN II

Bài 1: Thực hiện các phép tính rồi phân tích các kết quả ra thừa số nguyên tố.

a, 160 – ( 2³ . 5² – 6 . 25 )                               b, 4 . 5² – 32 : 2⁴

c, 5871 : [ 928 – ( 247 – 82 . 5 )                       d, 777 : 7 +1331 : 11³

Bài 2: Thực hiện phép tính rồi phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố:

a, 6² : 4 . 3 + 2 .5²                                  b, 5 . 4² – 18 : 3²

Bài 3: Thực hiện phép tính:

a, 80 - (4 . 5² – 3 .2³)                              b, 23 . 75 + 25. 23 + 180

c, 2⁴ . 5 - [131 – ( 13 – 4 )²]                     d, 100 : { 250 : [ 450 – ( 4 . 5³- 2². 25)]}

Dạng 2: Tìm x.

Bài 4: Tìm số tự nhiên x, biết:

a, 128 – 3( x + 4 ) = 23                           b, [( 4x + 28 ).3 + 55] : 5 = 35

c, (12x – 4³).8³ = 4.8⁴                            d, 720 : [ 41 – ( 2x – 5 )] = 2³.5

Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết:

a, 123 – 5.( x + 4 ) = 38                          b, (3x – 2⁴) .7³ = 2.7⁴

Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết rằng nếu nhân nó với 5 rồi cộng thêm 16, sau đó chia cho 3 thì được 7.

Bài 7: Tìm số tự nhiên x, biết rằng nếu chia nó với 3 rồi trừ đi 4, sau đó nhân với 5 thì được 15.

Bài 8: Tìm số tự nhiên x, biết rằng:

a, 70 chia hết cho x , 84 chia hết cho x và x > 8.

b, x chia hết cho 12, x chia hết cho 25, x chia hết cho 30 và 0 < x < 500

Bài 9: Tìm số tự nhiên x sao cho:

a, 6 chia hết cho (x – 1)                            b, 14 chia hết cho (2x +3).

Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴ là số chính phương.

Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴

= (x² + 5xy + 4y²)( x² + 5xy + 6y²) + y⁴

Đặt x² + 5xy + 5y² = t (t ∈ Z) thì

A = (t - y²)( t + y²) + y⁴ = t² –y⁴ + y⁴ = t² = (x² + 5xy + 5y²)²

Vì x, y, z ∈ Z nên x² ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y² ∈Z → x² + 5xy + 5y² ∈ Z

Vậy A là số chính phương.

Bài 11: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈ N). Ta có

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1

= (n² + 3n)( n² + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n² + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)² = (n² + 3n + 1)²

Vì n ∈ N nên n² + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Bài 12: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)

Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .

Ta có k(k+1)(k+2) = 1/4 k(k+1)(k+2).4 = 1/4 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]

= 1/4 k(k+1)(k+2)(k+3) - 1/4 k(k+1)(k+2)(k-1)

→ S = 1/4.1.2.3.4 - 1/4.0.1.2.3 + 1/4.2.3.4.5 - 1/4.1.2.3.4 +...+ 1/4k(k+1)(k+2)(k+3) - 1/4k(k+1)(k+2)(k-1) = 1/4k(k+1)(k+2)(k+3)

4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1

Theo kết quả bài 11 → k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính phương.

Bài 13. Hãy chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của các tập hợp sau đây:

a) A = {0; 5; 10; 15;....; 100}

b) B = {111; 222; 333;...; 999}

c) C = {1; 4; 7; 10;13;...; 49}

Bài 14. Cho A là tập hợp các số tự nhiên chẵn không nhỏ hơn 20 và không lớn hơn 30; B là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 26 và nhỏ hơn 33.

a. Viết các tập hợp A; B và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử.

b. Viết tập hợp C các phần tử thuộc A mà không thuộc B.

c. Viết tập hợp D các phần tử thuộc B mà không thuộc A.

Bài 15. Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp là 93 024. Tìm 4 số đó.

Bài 16. Tính tổng của dãy số sau: 1; 4; 7; 10; ...; 1000

Bài 17. Tính nhanh:

a) 2.125.2002.8.5                                    b) 36.42 + 2.17.18 + 9.41.6

c) 28.47 + 28.43 + 72.29 + 72.61            d) 26.54 + 52.73

Bài 18. Kết quả dãy tính sau tận cùng bằng chữ số nào?

2001.2002.2003.2004 + 2005.2006.2007.2008.2009

Bài 19. Tìm số tự nhiên x biết:

a) 720 : (x - 17) = 12           b) (x - 28) : 12 = 8

c) 26 + 8x = 6x + 46           d) 3600 : [(5x + 335) : x] = 50

Bài 20. Tính nhanh:

(139 139 . 133 - 133 133 . 139) : (2 + 4 + 6 + ... + 2002)

Bài 21. Ngày 22-12-2002 (kỷ niệm ngày thành lập Quân đội nhân dân Việt Nam), rơi vào chủ nhật. Hỏi ngày 22-12-2012 rơi vào thứ mấy?

Bài 22. Tìm n € N, biết:

a) 3ⁿ = 243

b) 2ⁿ = 256

Bài 23. So sánh:

a) 3¹²³⁴ và 2¹⁸⁵¹ 

b) 6³⁰ và 12¹⁵ 

Bài 24. Dùng sáu chữ số 5, hãy dùng phép tính và dấu ngoặc (nếu cần) viết dãy tính có kết quả là 100.

Bài 25.

a) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 3 không?

b) Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 không?

Bài 26. Tìm tất cả các số tự nhiên n để:

a) (15 + 7n) chia hết cho n

b) (n + 28) chia hết cho (n + 4)

Bài 27. Có thể tìm được hai số tự nhiên a và b để:

66a + 55b = 111 011?

Bài 28. Có số tự nhiên nào mà chia cho 18 dư 12, còn chia cho 6 thì dư 2 không?

Bài 29. Cho số xyz chia hết cho 37. Chứng minh rằng số yzx chia hết cho 37.

Bài 30. Có hay không hai số tự nhiên x và y sao cho:

2002x + 5648y = 203 253?

Bài 31. Từ 1 đến 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 2, có bao nhiêu số chia hết cho 5?

Bài 32. Tích (n + 2002)(n + 2003) có chia hết cho 2 không? Giải thích?

Bài 33. Tìm x, y để số 30xy chia hết cho cả 2 và 3, và chia cho 5 dư 2.

Bài 34. Viết số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số, tận cùng bằng 6 và chia hết cho 9.

Bài 35. a) Có bao nhiêu số có hai chữ số chia hết cho 9?

b) Tìm tổng các số có hai chữ số chia hết cho 9.

Bài 36. Chứng minh rằng:

a) 102002 + 8 chia hết cho cả 9 và 2.

b) 102004 + 14 chia hết cho cả 3 và 2.

Bài 37. Tìm tập hợp A các số tự nhiên x là ước của 75 và là bội của 3.

Bài 38. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: (2x + 1)(y - 5) = 12.

Bài 39. Số ababab là số nguyên tố hay hợp số?

Bài 40. Chứng minh rằng số abcabc chia hết ít nhất cho 3 số nguyên tố.

Bài 41. Chứng minh rằng: 2001. 2002. 2003. 2004 + 1 là hợp số.

Bài 42. Tướng Trần Hưng Đạo đánh tan 50 vạn quân Nguyên năm abcd , biết:

a là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 b là số nguyên tố nhỏ nhất

c là hợp số chẵn lớn nhất có một chữ số

d là số tự nhiên liền sau số nguyên tố lẻ nhỏ nhất

Vậy abcd là năm nào?

Bài 43. Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là một số nguyên tố, thì 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao?

Bài 44. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 19 656.

Bài 45. Tìm số tự nhiên n biết rằng: 1 + 2 + 3 + ... + n = 1275.

Bài 46.

a) Chứng minh công thức số lượng các ước của một số:

Nếu m = ax.by.cz...thì số lượng các ước của m là: (x + 1)(y + 1)(z + 1)...

b) Ap dụng: Tìm số lượng các ước của 312; 16 920.

Bài 47. Tìm số chia và thương của một phép chia, biết số bị chia là 150 và số dư là 7.

Bài 48. Tìm giao của hai tập hợp A và B:

a) A là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3.

B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 9.

b) A là tập hợp các số nguyên tố.

B là tập hợp các hợp số.

c) A là tập hợp các số nguyên tố bé hơn 10.

B là tập hợp các chữ số lẻ 2

Bài 49. Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 120 đến 200 học sinh. Khi xếp hàng 12, hàng 18 đều thiếu 1 học sinh. Tính số học sinh đó.

Bài 50. Có 126 quả bóng đỏ, 198 quả bóng xanh và 144 quả bóng vàng. Hỏi số bóng trên chia cho nhiều nhất là bao nhiêu bạn để số quả bóng đỏ, bóng xanh, bóng vàng của mỗi bạn đều như nhau?

Bài 51. Chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau.

Bài 52. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng là 168, ƯCLN của chúng bằng 12.

Bài 53. Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng là 168, ƯCLN của chúng bằng 56, các số đó trong khoảng từ 600 đến 800.

Bài 54. Chứng minh rằng: 3n + 1 và 4n + 1 (n N) là 2 nguyên tố cùng nhau.

Bài 55. Biết rằng 4n + 3 và 5n + 2 là hai số không nguyên tố cùng nhau. Tìm ƯCLN

(4n + 3, 5n + 2).

Bài 56. Một trường có khoảng 1200 đến 1400 học sinh. Lúc xếp hàng 12, 16, hàng 18 đều thừa 2 học sinh. Tính số học sinh trường đó.

Bài 57. Tìm số cam trong một sọt biết số cam đó chia cho 8 dư 7, chia cho 9 dư 8, chia cho 12 dư 11 và trong khoảng từ 200 đến 250 quả.

Bài 58. Vào thế kỷ X, Ngô Quyền đánh tan quân Nam Hán trên sông Bạch Đằng. Đó là năm nào? Biết rằng năm ấy chia hết cho 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 47 dư 45.

Bài 59. Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng là 1440, BCNN của chúng là 240.

Bài 60. Tìm hai số biết BCNN của chúng là 144, ƯCLN của chúng là 24.

Bài 61. Hai con tàu cập bến theo lịch sau: Tàu I cứ 12 ngày thì cập bến, tàu II thì 18 ngày cập bến. Lần đầu cả hai tàu cùng cập bến vào ngày thứ năm. Hỏi sau đó ít nhất bao lâu, cả hai tàu lại cùng cập bến vào ngày thứ năm?

Bai 62. Tìm x N, biết:

a) (x - 50) : 45 + 240 = 300

b) 7200 : [200 + (33 600 : x) - 500] = 4

Bài 63. Tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó chi hết cho 3 và 5. Chữ số hàng trăm là số nguyên tố lẻ lớn nhất có một chữ số.

Bài 64. Có 156 quyển vở, 184 tập giấy, 128 bút bi. Đội thanh niên tình nguyện chia thành các phần quà đều nhau, mỗi phần gồm cả 3 loại để tặng cho các trẻ em nghèo đường phố. Nhưng sau khi chia, thừa 12 quyển vở, 4 tập giấy và 20 bút bi không đủ chia vào các phần quà. Tính xem có bao nhiêu phần quà?

Bài 65. Cho A = 4 + 22 + 23 + 24 + ... + 22002. Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2.