Xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác

1. Định nghĩa

Hàm số f(x) có tập xác định D gọi là HSTH nếu tồn tại ít nhất một số \(T \ne 0\) sao cho \(\forall x \in D\) ta có:

\(i)\,\,x \pm T \in D\)

\(ii)\,\,f\left( {x \pm T} \right) = f\left( x \right)\)

Số thực dương T thỏa mãn các điều kiện trên gọi là chu kỳ (CK) của HSTH f(x). Nếu HSTH f(x) có CK nhỏ nhất \({T_0}\) thì \({T_0}\) được gọi là chu kỳ cơ sở (CKCS) của HSTH f(x).

Ta sẽ tìm hiểu một số tính chất cơ bản của hàm số tuần hoàn

2. Một số tính chất

a. Giả sử f(x) là HSTH với CK T. Nếu \({x_o} \in D\) thì \({x_o} + nT \in D\); \({x_0} \notin D\) thì \({x_o} + nT \notin D\) với mọi \(n \in Z\)

b. Giả sử f(x) là HSTH với CK T và \(f\left( {{x_0}} \right) = a\); \({x_0} \in D\), khi đó tồn tại vô số giá trị \(n \in Z\) sao cho \(f\left( {{x_0} + nT} \right) = a\).

c. Nếu \({T_1},{T_2} > 0\) là các CK của HSTH f(x) trên tập D thì các số thực dương \($m{T_1};n{T_2};m{T_1} + n{T_2}\,\,\left( {m,n \in {Z^ + }} \right)\) đêu là các CK của f(x) trên tập D.

d. Nếu f(x) là HSTH với CKCS \({T_0}\) thì \({T=nT_0} ; n \in Z^+\) là 1 CK của HSTH f(x)

e. Nếu \({T_1;T_2}\) là các CK của HSTH f(x) ;g(x) và \({{{T_1}} \over {{T_2}}}\) là số hữu tỉ thì các hàm số \(f\left( x \right) + g\left( x \right);f\left( x \right) - g\left( x \right);f\left( x \right).g\left( x \right)\) cũng là các HSTH với CK \({T_1} + {T_2};{T_1} - {T_2};{T_1}.{T_2}\)