TỔNG HỢP DẤU HIỆU CHIA HẾT

 TỔNG HỢP DẤU HIỆU CHIA HẾT

I. Lý thuyết

1/. Dấu hiệu chia hết cho 2:

Các chữ số tận cùng là : 0;2;4;6;8 thì chia hết cho 2.

Hoặc : Các số chẵn thì chia hết cho 2

Chú ý : Các số tận cùng là 1;3;5;7;9 thì không chia hết cho 2.Hoặc các số lẻ thì không chia hết cho 2.

2/. Dấu hiệu chia hết cho 3 :

Là các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3.

Ví dụ : 726 chia hết cho 3 vì 7 + 2 + 6 = 15 chia hết cho 3

Chú ý : Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia hết cho 3 đồng thời tổng này chia cho 3 dư bao nhiêu thì số đó chia cho 3 dư bấy nhiêu.Ví dụ : Số 5213 không chia hết cho 3 vì 5+2+1+3=11 mà 11:3 = 3 dư 2 nên số 5213 : 3 = 1737 dư 2.

3/. Dấu hiệu chia hết cho 4 :

NHỮNG SỐ CÓ HAI CHỮ SỐ CUỐI TẠO THÀNH MỘT SỐ CHIA HẾT CHO 4 THÌ SỐ ĐÓ CHIA HẾT CHO 4.

4/. Dấu hiệu chia hết cho 5 : Các số có tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.

5/. Dấu hiệu chia hết cho 6 : Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.

Hoặc : Những số chẵn chia hết cho 3 thì chia hết cho 6 và chỉ những số đó mới chia hết cho 6.

6/. Dấu hiệu chia hết cho 7 :

a. CÁCH THỨ NHẤT

Quy tắc chung:  Để nhận biết một số có thể chia hết cho 7, ta cắt giảm chữ số cuối cùng đi 1 số, nhân đôi số đó và lấy số cắt giảm trừ đi số đã nhân đôi. Điều này cần được thực hiện lặp đi lặp lại một vài lần, đến khi thu được một số có thể chia hết cho 7 (như: 14, 7, 0, -7, v.v…), thì số đã cho chia hết cho 7.
Sơ đồ tóm tắt:
Giả sử có số  M = \(M = \overline {{a_1}\;{a_2}\;{a_3}\; \ldots a{\;_{\left( {n - 1} \right)\;\;}}{a_n}} \) cắt \({a_n}\) còn \(\overline {{a_1}\;{a_2}\;{a_3}\; \ldots a{\;_{\left( {n - 1} \right)\;\;}}} \)  
 \(\overline {{a_1}\;{a_2}\;{a_3}\; \ldots a{\;_{\left( {n - 1} \right)\;\;}}}  - 2{a_n}\)  lặp lai cho đến khi  còn \(\overline {{a_x}{b_x}} \)
Nếu \(\overline {{a_x}{b_x}} \)  chia hết cho 7 → Số M chia hết cho 7
Thí dụ: Số 3101 có chia hết cho 7 hay không?
Các bước thực hiên:

• Giảm chữ số cuối cùng của số 3101 đi chữ số 1 còn 310
• Nhân đôi chữ số cắt giảm (2 x 1=2) và lấy số còn lại sau cắt giảm trừ đi nó: 310 – 2 = 308
• Lặp lại quy trình bằng cách giảm đi 8 của 308 còn 30
• Nhân đôi số 8 cho (2 x 8 = 16) và trừ đi số đó: 30 – 16 = 14
• Nhận được Số là 14 là số chia hết cho 7
• → Kết luận: Số 3101 chia hết cho 7

b. CÁCH THỨ HAI

Quy tắc ( cách này dơn giản dễ nhớ hơn)
Lấy chữ số đầu tiên nhân với 3 rồi cộng thêm chữ số tiếp theo, được bao nhiêu lại nhân với 3 rồi cộng thêm chữ số tiếp theo… cứ như vậy cho đến chữ số cuối cùng của số cần nhận biết. Nếu kết quả cuối cùng này chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.
Để nhanh gọn, cứ mỗi lần nhân với 3 và cộng thêm chữ số tiếp theo nếu có số \( \ge \) 7 thì ta lấy kết quả trừ đi 7 hoặc trừ đi các số là bội số của 7 (14,21…) rồi tiếp tục như trên.
Thí dụ :  Số cần nhận biết là 203:
Lấy 2 x 3 = 6 → 6 + 0 = 6 → 3 x 6 = 18 → 18 + 3 = 21 → 203 chia hết cho 7

c. CÁCH THỨ BA

Lấy chữ số đầu tiên bên phải nhân với 5 rồi cộng với chữ số thứ hai sau đó trừ cho bội của 7; được bao nhiêu nhân với 5 cộng với chữ số thứ 3 rồi trừ cho bội của 7; được bao nhiêu nhân với 5 cộng với chữ số thứ 4 rồi trừ cho bội của 7; …. Nếu kết quả cuối cùng là một số chia hết cho 7 thì số đã cho chia hết cho 7.
Ví dụ:
a) Số 2275 có chia hết cho 7 không?
- Có (5 x 5 + 7) – 7 x 4 = 4 → có (4 x 5 + 2) – 7 x 3 = 1 → có (1 x 5 + 2) – 7 = 0
Vậy 2275 chia hết cho 7. Kiểm tra thấy: 2275 = 7 x 325
b) số 35742 có chia hết cho 7 không?
có (2 x 5 + 4) – 7 x 2 = 0 → có (0 x 5 + 7) – 7 = 0 → có (0 x 5 + 5) – 7 x 0 = 5
→ có (5 x 5 + 3) – 7 x 4 = 0
Vậy 35742 chia hết cho 7. Kiểm tra thấy: 35742 = 7 x 5106

d. CÁCH THỨ TƯ ( với số có 6 chữ số )

Biết rằng: Các số có 6 chữ số khác nhau \(\overline {abc\deg } \) chia hết cho 7 nếu \((\overline {abc}  - \overline {\deg } )\) chia hết cho 7 (*). ( \(a,b,c,d,e,g{\rm{ }} \in {\rm{ }}N\) và khác nhau) → Chỉ việc lấy 3 số đầu trừ đi  3 số cuối, nếu hiệu này chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.
Chứng minh:
Ta có : 

\(\begin{array}{l}\overline {abc\deg }  = \overline {abc} .1000 + \overline {\deg } \\ =  > \overline {abc\deg }  = \overline {abc} .1001 - \overline {abc}  + \overline {\deg } \\ =  > \overline {abc\deg }  = \overline {abc} .1001 - (\overline {abc}  - \overline {\deg } )\\ =  > \overline {abc\deg }  = \overline {abc} .7.143 - (\overline {abc}  - \overline {\deg } ) \vdots 7\end{array}\)
→ Vậy \(\overline {abc\deg } \) chia hết cho 7
Lưu ý rằng tính chất (*) còn có thể tổng quát hơn:
Các số có 6 chữ số \(\overline {abc\deg } \) chia hết cho 7 nếu hiệu của 3 số liền nhau trừ cho 3 số liền nhau còn lại chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7 (**)

Nếu (abc – deg ) Chia hết cho 7 ⇒ abcdeg chia hết cho 7
(bcd – ega ) Chia hết cho 7 ⇒ abcdeg chia hết cho 7
(gab – cde ) Chia hết cho 7 ⇒ abcdeg chia hết cho 7
(cde – gab) Chia hết cho 7 ⇒ abcdeg chia hết cho 7
(deg – abc) Chia hết cho 7 ⇒ abcdeg chia hết cho 7
(ega – bcd ) Chia hết cho 7 ⇒ abcdeg chia hết cho 7
Như vậy, để xác định số có 6 chữ số có chia hết cho 7 hay không ta lấy hiệu của 3 số liền nhau trừ 3 số liền nhau còn lại mà hiệu này nhỏ nhất để dễ so với 1 bội số của 7.
Thí dụ 1: có số  523152, ta lấy 315 – 252 = 63 → dễ thấy 63 là bội của 7
Nếu theo (*) ta lấy 523 – 152 = 371 → Để xác định 371 có là bội của 7
hay không ta lại phải áp dụng CÁCH THỨ HAI (phần trên) phức tạp hơn
Thí dụ 2:  với 203203 Nếu theo (*) ta lấy 203 – 203 = 000.
→ Trường hợp này ta coi 0 cũng là số chia hết cho 7
→ 203203 chia hết  cho 7

7/. Dấu hiệu chia hết cho 8 :

Những số có 3 chữ số cuối tạo thành một số chia hết cho 8 thì chia hếtcho 8.

8/. Dấu hiệu chia hết cho 9 : Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.

Chú ý : Các số có tổng không chia hết cho 9 thì không chia hết cho 9 đồng thời tổng này chia cho 9 dư bao nhiêu thì số đó chia cho 9 dư bấy nhiêu.

9/. Dấu hiệu chia hết cho 11 :
Từ trái sang phải ta coi các chữ số thứ nhất, thứ ba, thứ năm… là chữ số hàng lẻ, coi các chữ số thứ hai, tứ tư, thứ sáu…là chữ số hàng chẵn. Những số có tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số hàng lẻ là một số chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11 và chỉ những số đó mới chia hết cho 11.

10/. Dấu hiệu chia hết cho 12: Những số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4 thì chia hết cho 12.

11/. Dấu hiệu chia hết cho 15: Những số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 thì chia hết cho 15.

12/. Dấu hiệu chia hết cho 18: Những số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 9 thì chia hết cho 18. 
II. Bài tập

1. Lập số theo yêu cầu

1- Viết 5 số có 5 chữ số khác nhau:

a. Chia hết cho 2;

b. Chia hết cho 3;

c. Chia hết cho 5;

d. Chia hết cho 9.

g. Chia hết cho cả 5 và 9. (mỗi dạng viết 5 số).

2- Viết 5 số có 5 chữ số khác nhau:

a. Chia hết cho 6;

b. Chia hết cho 15;

c. Chia hết cho 18;

d. Chia hết cho 45.

3- Viết 5 số có 5 chữ số khác nhau:

a. Chia hết cho 12;

b. Chia hết cho 24;

c. Chia hết cho 36;

d. Chia hết cho 72.

4- Với 3 chữ số: 2; 3; 5. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số: (3, 4, 5)

a. Chia hết cho 2.

b. Chia hết cho 5.

c. Chia hết cho 3.

5 - Với 3 chữ số: 1; 2; 3; 5 (1, 3, 8, 5). Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số khác nhau:

a. Chia hết cho 2.

b. Chia hết cho 5.

c. Chia hết cho 3.

6 - Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số: 0; 5; 4; 9 và thoả mãn điều kiện:

a. Chia hết cho 2.

b. Chia hết cho 4.

c. Chia hết cho cả 2 và 5.

7 - Cho 3 chữ số: 0; 1; 2. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số vừa chia hết cho 2; vừa chia hết cho5.

- Cho 3 chữ số: 0; 1; 2. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số khác nhau vừa chia hết cho 2; vừa chia hết cho5.

- Cho 4 chữ số: 0; 1; 2; 3. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số vừa chia hết cho 2; vừa chia hết cho5 sao cho mỗi số đều có đủ 4 chữ số đã cho.

8 - Cho 5 chữ số: 8; 1; 3; 5; 0. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số vừa chia hết cho 9 (Mỗi chữ số chỉ được xuất hiện một lần trong mỗi số ).

9 - Cho 4 chữ số: 0; 1; 2; 5. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số vừa chia hết cho 5 (Mỗi chữ số chỉ được xuất hiện một lần trong mỗi số).

- Hãy ghép 4 chữ số: 3; 1; 0; 5 thành những số vừa chia hết cho 2; vừa chia hết cho 5.

2. Tìm số:

1 - Tìm x, y để số 1996xy chia hết cho cả 2; 5 và 9. (a125b)

2 - Tìm m, n để số m340n chia hết cho 45.

3 - Xác định x, y để phân số x23y/45 là một số tự nhiên.

4 - Tìm số có hai chữ số biết số đó chia cho 2 dư 1; chia cho 5 dư 2 và chia hết cho 9.

5 - Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 2 dư 1; chia 3 dư 2.

6 - Cho A = a459b. Hãy thay a, b bằng những số thích hợp để A chia cho 2, cho 5, cho 9 đều cho số dư là 1.

7 - Cho B = 5x1y. Hãy thay x, y bằng những số thích hợp để được một số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 2, cho 3, và chia cho 5 dư 4.

8 - Một số nhân với 9 thì được kết quả là 30862a3. Tìm số đó.

3. Vận dụng tính chất chia hết:

1 - Không làm tính, hãy chứng tỏ rằng:

a, Số 171717 luôn chia hết cho 17.

b, aa chia hết cho 11.

2 - Cho tổng A = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 + 71. Không thực hiện phép tính, hãy cho biết A có chia hết cho 9 không? Vì sao?