Phép thử, biến cố, xác suất của biến cố

Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó được gọi là một phép thử. Các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là biến cố.

Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm mà ta không đoán trước được kết quả, tuy nhiên ta có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử đó.

Trong "Xác suất" ở trường phổ thông, ta chỉ xét những phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả có thể có.

Ta sẽ gọi tắt "phép thử ngẫu nhiên" là phép thử.

Ví dụ:

i) Tung đồng tiền lên là một phép thử. Đồng tiền lật mặt nào đó (sấp hay ngửa) là một biến cố.

ii) Bắn một phát súng vào một cái bia là một phép thử. Viên đạn đó (trúng hay trật) bia là một biến cố.

iii) Ném một quân súc sắc. Súc sắc có thể là từ 1 đến 6 là một biến cố.

Không gian mẫu

Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử T được gọi là không gian mẫu của phép thử T và kí hiệu là Ω.

Ví dụ:

Trong một đồng xu thì Ω = {sấp; ngửa}

Ném một quân súc sắc thì \(\Omega  = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)

Biến cố

Biến cố là tập con của không gian mẫu.

Ví dụ:

Tung một đồng xu hai lần thì \(\Omega  = \left\{ {SS,SN,NS,NN} \right\}\)

A là biến cố "cả hai lần xuất hiện mặt giống nhau" \( \Rightarrow A = \left\{ {SS;NN} \right\}\)

Một số loại biến cố

• Biến cố sơ cấp: là biến cố không thể phân tích được nữa. Ví dụ, tung một đồng tiền, biến cố xuất hiện mặt sấp hoặc biến cố xuất hiện mặt ngửa gọi là các biến cố sơ cấp

• Biến cố chắc chắn (Ω): là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử. Kí hiệu là Omega. Ví dụ khi tung một con xúc xắc thì biến cố mặt con xúc xắc có số chấm nhỏ hơn 7 là một biến cố chắc chắn.

• Biến cố ngẫu nhiên: là biến có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. Phép thử mà các biến cố của nó là các biến cố ngẫu nhiên gọi là phép thử ngẫu nhiên.

• Biến cố không thể (Φ): là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử. Kí hiệu là ϕ. Như vậy "biến cố không thể" không bao hàm một biến cố sơ cấp nào, nghĩa là không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến cố không thể.

• Biến cố xung khắc: hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử. Ví dụ, khi tung một đồng tiền, biến cố xuất hiện mặt sấp (A) và biến cố xuất hiện mặt ngửa (B) là 2 biến cố xung khắc. Tích của 2 biến cố xung khắc luôn luôn bằng 0 (AB = 0)

Các phép toán trên biến cố

Phép thử có không gian mẫu là Ω; A,B là biến cố.

\(A \cup B\): Biến cố hợp (A hoặc B)

\(A \cap B\): Biến cố giao (A và B)

\(\overline A \): Biến cố đối của A

\(A \cap B = \emptyset \): A,B xung khắc

Xác suất của biến cố

Định nghĩa

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử T và phép thử T có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số \(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\) là xác suất của biến cố A.

Kí hiệu là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\)

Trong đó:

• n(A) là số phần tử của tập hợp A, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T thuận lợi cho biến cố A
• n(Ω) là số phần tử của không gian mẫu Ω, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T.

Tính chất

\(0 \le P\left( A \right) \le 1;\,\,P\left( \phi  \right) = 0;\,\,P\left( \Omega  \right) = 1\)

Quy tắc cộng xác suất:

A, B xung khắc (\(A \cap B = \emptyset \))\( \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)

Nếu \(A \cap B \ne \emptyset  \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\)

• Quy tắc nhân xác suất:

A, B độc lập \( \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right)\) hay \(P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\) (A,B gọi là độp lập nếu việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra của biến cố kia)