Biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố

Cập nhật lúc: 17:17 27-06-2018 Mục tin: LỚP 11


Toàn bộ lí thuyết về các loại biến cố trong chương trình THPT và mối quan hệ giữa chúng. Nguồn: Diễn đàn toán học

BIẾN CỐ VÀ MỖI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

1) Biến cố

Với mỗi sự kiện A đều có duy nhất một tập hợp  \({\Omega _A}\) là tập hợp các kết quả thuận lợi cho sự kiện A hay nói cách khác làm cho sự kiện A xảy ra. Ta đồng nhất A với \Omega_A. Khi đó Achính là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A. Ta thấyA là một tập con của không gian mẫu \Omega, và ta gọi A là một biến cố. Như vậy mỗi tập con A của không gian mẫu \Omega được gọi là một biến cố. Ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C,\ldots để ký hiệu biến cố.

Ví dụ

Gieo con xúc sắc một lần, đây là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu \Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, trong đó i là kết quả: “Xuất hiện mặt i chấm”. Xét sự kiện A: “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn”. Ta thấy rằng việc xảy ra hay không xảy ra sự kiện A tùy thuộc vào kết quả của phép thử. Sự kiện A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của phép thử là 2, hoặc 4, hoặc 6. Các kết quả này được gọi là các kết quả thuận lợi cho A. Gọi \Omega_A là tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho A, khi đó \Omega_A=\{2, 4, 6\}, đó là một tập con của \Omega.

Mỗi biến cố A được đồng nhất với tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho A là \Omega_A. Do đó ta có thể viết

A=\{2, 4, 6\}.

2) Các loại biến cố

Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây:

\bullet Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên, biến cố này trùng với không gian mẫu \Omega.
Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố: “Con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm \leqslant 6” thì A là biến cố chắc chắn.

\bullet Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên. Biến cố không thể được ký hiệu là \emptyset.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi B là biến cố: “ Xuất hiện mặt 7 chấm” thì B là biến cố không thể.

3) Quan hệ giữa các biến cố

a) Quan hệ kéo theo

Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B và ký hiệu A\subset B hoặc B\supset A nếu A xảy ra thì B xảy ra.

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm \geqslant 5”, B là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm \geqslant 3”. Ta thấy nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra. Do đó biến cố A kéo theo biến cố B.

b) Biến cố đối

Biến cố đối của biến cố A được kí hiệu là \overline{A} và được xác định như sau: A xảy ra khi và chỉ khi \overline{A} không xảy ra.

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc. Gọi A là biến cố: “Xuất hiện mặt chẵn chấm”, B là biến cố: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”. Rõ ràng A và B là hai biến cố đối nhau.

c) Tổng của các biến cố

Tổng của hai biến cố A và B là biến cố được ký hiệu A\cup B. Biến cố A\cup B xảy ra khi ít nhất có một trong hai biến cố A và B xảy ra.

Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên từ hai lớp 10A, 10B mỗi lớp một học sinh. Gọi A là biến cố: “Bạn chọn từ lớp 10A là nam” , B là biến cố: “Bạn chọn từ lớp 10B là nam” và C là biến cố: “Chọn được học sinh nam”. Rõ ràng biến cố C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Vậy C=A\cup B.

Nếu A_1, A_2,\ldots, A_n là các biến cố thì tổng của chúng là biến cố xảy ra nếu ít nhất có một biến cố nào đó trong các biến cố A_1, A_2,\ldots, A_n xảy ra. Ta kí hiệu tổng của A_1, A_2,\ldots, A_n là A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n hoặc \displaystyle\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k.

d) Tích của các biến cố

Tích của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra nếu cả hai biến cố A và B đều xảy ra. Ta kí hiệu tích của hai biến cố A và B là AB.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm \geqslant 4”, B là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm \leqslant 4” và C là biến cố: “Xuất hiện mặt 4 chấm”. Ta thấy rằng biến cố C xảy ra khi và chỉ khi hai biến cố A và Bđều xảy ra. Do đó C=AB.

Tích của các biến cố A_1, A_2,\ldots, A_n là một biến cố xảy ra nếu tất cả các biến cố A_1, A_2,\ldots, A_n đều xảy ra. Ta kí hiệu tích của A_1, A_2,\ldots, A_n là A_1A_2\ldots A_n hoặc \displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n}A_k.

e) Hai biến cố tương đương

Hai biến cố A và B gọi là tương đương nếu A\subset B và B\subset A. Khi đó ta kí hiệu A=B.

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố: “Xuất hiện mặt 5 chấm”, B là biến cố: “Xuất hiện mặt lẻ chấm lớn hơn 3”. Ta thấy nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại nếu B xảy ra thì A cũng xảy ra. Vậy A= B.

f) Biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra, nghĩa là AB là biến cố không thể, AB=\emptyset.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm \geqslant 4”, B là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm \leqslant 2”. Ta thấy hai biến cố Avà B không cùng xảy ra, do đó A và B là hai biến cố xung khắc.

4) Một số tính chất quan trọng trong quan hệ giữa các biến cố

\bullet Tính giao hoán:

A\cup B=B\cup A, AB=BA.

\bullet Tính kết hợp:

(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C),

(AB)C=A(BC).

\bullet Tính phân phối:

(A\cup B)C=(AC)\cup (BC),

(AB)\cup C=(A\cup C)(B\cup C),

(\displaystyle\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k)B=\displaystyle\bigcup\limits_{k=1}^{n}(A_kB),

(\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n}A_k)\cup B=\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n}(A_k \cup B).

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021