Ôn tập dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

 ÔN TẬP DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2, 3, 5, 9

Bài 1:

Tìm số tự nhiên có bốn chữ số chia hết cho 5 và cho 27 biết rằng hai chữ số giữa của số đó là 97.

Bài 2:

Hai số tự nhiên a và 2a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng minh rằng a chia hết cho 9.

Bài 3:

Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27

Bài 4:

Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154 có chia hết cho 2 hay không ? Có chia hết cho 5 hay không ?

Bài 5.

Cho A = 119 + 118 + 117 + … + 11 + 1. Chứng minh rằng A chia hết cho 5

Bài 6:

Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000, có bao nhiêu số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5.

Bài 7:

Tìm các số tự nhiên chia cho 4 thì dư 1, còn chia cho 25 thì dư 3.

Bài 8:

Tìm các số tự nhiên chia cho 8 thì dư 3, chia cho 125 thì dư 12.

Bài 9: Xét các tổng ( hiệu) sau có chia hết cho 3 không? Có chia hết cho 9 không?

 \(\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{ }}\\{A = 24 + 36\;E = 124 - 48}\\{B = 120 - 48\;F = 2.3.4.5 + 75}\\{C = 72 - 45 + 99\;G = 255 + 120 + 15}\\{D = 723 - 123 + 100\;H = 143 + 98 + 12}\end{array}\)

Bài 10: Từ 4 chữ số 3; 4; 5; 0. Hãy ghép thành các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau thỏa mãn:

a) Chia hết cho 3

b) Chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

Bài 11: Điền chữ số thích hợp vào dấu * để được số \(M = \overline {58*} \) thỏa mãn điều kiện:

a) M chia hết cho 3

b) M chia hết cho 9

c) M chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

Bài 12: Tìm các số a, b để :

a) \(A = \overline {3ab} \) chia hết cho cả 2;3;5;9

b) \(B = \overline {a27b} \) chia hết cho cả 2;3;5;9

c) \(C = \overline {10a5b} \) chia hết cho 45

d) \(D = \overline {26a3b} \) chia hết cho 5 và 18.

Bài 13: Tìm các số a, b để :

a) \(A = \overline {4ab} \) chia hết cho cả 2;3;5;9

b) \(B = \overline {a36b} \) chia hết cho cả 2;3;5;9

c) \(C = \overline {20a4b} \) chia hết cho 45

d) \(D = \overline {15a5b} \) chia hết cho 5 và 18.

Bài 14: Tìm các chữ số a, b sao cho:

a) \(a - b = 5\) và \(\overline {a785b} \) chia hết cho 9.

b) \(b - a = 2\) và \(\overline {20ab} \) chia hết cho 9.

Bài 15: Tìm các số a, b để :
a) \(A = \overline {56a3b} \) chia hết cho 18
b) \(B = \overline {71a1b} \) chia hết cho 45
c) \(C = \overline {6a14b} \) chia hết cho 2;3;5;9
d) \(D = \overline {25a1b} \) chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 2.

Bài 16: Từ 2 đến 2020 có bao nhiêu số :

a) Chia hết cho 3

b) Chia hết cho 9

Bài 17 : Thay a, b trong số 2003ab bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho 2, 5 và 9.
Phân tích : Tìm chữ số nào trước, muốn tìm chữ số ấy dựa vào dấu hiệu nào ?
b là chữ số tận cùng nên tìm b dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và 5. Vậy tìm a sẽ dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9. Một số chia hết cho 2 và 5 khi số đó có tận cùng là 0. Từ đó ta có cách giải sau.
Giải : Số 2003ab đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên b = 0. Thay b = 0 vào số 2003ab ta được 200a0. Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Vậy (2 +0 +0 +3 +0) chia hết cho 9 hay (5 +a) chia hết cho 9. Vì 5 chia cho 9 dư 5 nên a chỉ có thể là 4.
Ta biết rằng: A chia cho B dư r tức là :
A - r chia hết cho B (1)
A + (B - r) chia hết cho B (2)
Từ đó các bạn có thể giải quyết bài toán :
Bài 18 : Cho A = x459y. Hãy thay x, y bởi chữ số thích hợp để A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1.
Nhận xét : A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1 nên A - 1 đồng thời chia hết cho 2 ; 5 và 9. Vậy ta có thể giải bài toán dựa vào điều kiện (1) A - r chia hết cho B để giải.
Giải : Vì A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1 nên A - 1 chia hết cho 2 ; 5 và 9. Vậy chữ số tận cùng của A - 1 phải bằng 0, suy ra y = 1. Vì A - 1 chia hết cho 9 nên x + 4 + 5 + 9 + 0 chia hết cho 9 hay x + 18 chia hết cho 9. Do 18 chia hết cho 9 nên x chia hết cho 9, nhưng x là chữ số hàng cao nhất nên x khác 0. Từ đó x chỉ có thể bằng 9. Thay x = 9 ; y = 1 vào A ta được số 94591.
ở bài toán trên A chia cho các số có cùng số dư. Bây giờ ta xét :
Bài 19 : Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2 ; chia cho 4 dư 3 và chia cho 5 dư 4.
Tuy các số dư khác nhau nhưng : 2 - 1 = 1 ; 3 - 2 = 1 ; 4 - 3 = 1 ; 5 - 4 = 1. Như vậy ta có thể sử dụng điều kiện (2) A + (B - r) chia hết cho B để giải bài toán này.
Giải : Gọi số cần tìm là A. Vì A chia cho 2 dư 1 và A chia cho 5 dư 4 nên A + 1 đồng thời chia hết cho 2 và 5. Vậy chữ số tận cùng của A + 1 là 0. Hiển nhiên A +1 không thể có 1 chữ số. Nếu A + 1 có 2 chữ số thì có dạng x0. Vì x0 chia hết cho 3 nên x chỉ có thể là 3 ; 6 ; 9 ta có số 30 ; 60 ; 90. Trong 3 số đó chỉ có 60 là chia hết cho 4.
Vậy A +1 = 60
A = 60 - 1
A = 59
Do đó số cần tìm là 59.
Bài viết này mới chỉ đề cập tới một phương pháp để vận dụng tiêu chuẩn chia hết cho các số.
Bài 20 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 sao cho khi chia cho 2 ; 3 ; 4 ; 5 và 7 đều dư 1.
Bài 21 : Cho số a765b ; tìm a ; b để khi thay vào số đã cho ta được số có 5 chữ số chia cho 2 dư 1 ; chia cho 5 dư 3 và chia cho 9 dư 7.
Bài 22 : Hãy viết thêm 3 chữ số vào bên phải số 567 để được số lẻ có 6 chữ số khác nhau, khi chia số đó cho 5 và 9 đều dư 1.
Bài 23 : Tìm số có 4 chữ số chia hết cho 2 ; 3 và 5, biết rằng khi đổi chõ các chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hoặc hàng chục với hàng nghìn thì số đó không thay đổi.