Lý thuyết và bài tập Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

 LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

A. Tóm tắt kiến thức

1. Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.

Lưu ý: Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố là chính nó.

2. Muốn phân tích một số tự nhiên a lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố ta có thể làm như sau:

• Kiểm tra xem 2 có phải là ước của a hay không. Nếu không ta xét số nguyên tố 3 và cứ như thế đối với các số nguyên tố lớn dần.
• Giả sử p là ước nguyên tố nhỏ nhất của a, ta chia a cho p được thương b.
• Tiếp tục thực hiện quy trình trên đối với b.

Quá trình trên kéo dài cho đến khi ta được thương là một số nguyên tố.

Lưu ý: Dù phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cũng được cùng một kết quả.

B. Bài tập

Bài 1 (SGK trang 50 Toán lớp 6 tập 1)

Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:

\(\begin{array}{l}a){\rm{ }}60{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;b){\rm{ }}64;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;c){\rm{ }}285;\\d){\rm{ }}1035;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;e){\rm{ }}400;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}g){\rm{ }}1000000.\end{array}\)

Đáp án và giải bài:

\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}{a){\rm{ }}60{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3.5;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;b){\rm{ }}64{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^6};}\\{c){\rm{ }}285{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }}.5.19;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;d){\rm{ }}1035{\rm{ }} = {\rm{ }}{3^2}{{.5.2}^3};}\end{array}\\e){\rm{ }}400{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^4}{.5^2};{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;g){\rm{ }}1000000{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^6}{.5^6}.\end{array}\)

Bài 2 (SGK trang 50 Toán lớp 6 tập 1)

An phân tích các số 120, 306, 567 ra thừa số nguyên tố như sau

\(\begin{array}{*{20}{l}}{120{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.4.5;}\\{306{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.51;}\\{567{\rm{ }} = {\rm{ }}{9^2}.7.}\end{array}\)

An làm như trên có đúng không? Hãy sửa lại trong trường hợp An làm không đúng.

Đáp án và giải bài:

An làm không đúng vì chưa phân tích hết ra thừa số nguyên tố. Chẳng hạn, 4, 51, 9 không phải là các số nguyên tố.

Kết quả đúng phải là:

\(120{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}.3.5;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;306{\rm{ }} = {\rm{ }}{2.3^2}.17;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}567{\rm{ }} = {\rm{ }}{3^4}.7.\)

Bài 3 (SGK trang 50 Toán lớp 6 tập 1)

Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố rồi cho biết mỗi số đó chia hết cho các số nguyên tố nào?

a) 225;                       b) 1800;                              c) 1050;                    d) 3060.

Đáp án và giải bài:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{a){\rm{ }}225{\rm{ }} = {\rm{ }}{3^2}{{.5}^2}\; \vdots {\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}5;}\\{b){\rm{ }}1800{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}{{.3}^2}{{.5}^2}\; \vdots {\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}5;}\\{c){\rm{ }}1050{\rm{ }} = {\rm{ }}{{2.3.5}^2}.7{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}5,{\rm{ }}7;}\\{d){\rm{ }}3060{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.3}^2}.5.17{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}5,{\rm{ }}17.}\end{array}\)

Bài 4 (SGK trang 50 Toán lớp 6 tập 1)

Cho số \(a{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}{.5^2}.11\). Mỗi số 4, 8, 16, 11, 20 có là ước của a hay không?

Đáp án và giải bài:

4 là một ước của a vì 4 là một ước của \({2^3}\);

8 = \({2^3}\) là một ước của a;

16 không phải là ước của a;

11 là một ước của a;

20 cũng là ước của a vì 20 = 4.5 là ước của \({2^3}{.5^2}\)

Bài 5 (SGK trang 50 Toán lớp 6 tập 1)

a) Cho số a = 5.13. Hãy viết tất cả các ước của a.

b) Cho số \(b{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^5}\;\). Hãy viết tất cả các ước của b.

c) Cho số \(c{\rm{ }} = {\rm{ }}{3^2}.7\). Hãy viết tất cả các ước của c.

Đáp án và giải bài:

Lưu ý. Muốn tìm các ước của a.b ta tìm các ước của a, của b và tích của mỗi ước của a với một ước của b.

a) 5.13 có các ước là 1, 5, 13, 65.

b) Các ước của 25 là \(1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}{2^2},{\rm{ }}{2^3},{\rm{ }}{2^4},{\rm{ }}25\) hay 1, 2, 4, 8, 16, 32.

c) Các ước của 32.7 là \(1,{\rm{ }}3,{\rm{ }}{3^2},{\rm{ }}7,{\rm{ }}3.7,{\rm{ }}{3^2}.7\) hay 1, 3, 9, 7, 21, 63.

Bài 6 (SGK trang 50 Toán lớp 6 tập 1)

Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố rồi tìm tập hợp các ước của mỗi số: 51; 75; 42; 30.

Đáp án và giải bài:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{51{\rm{ }} = {\rm{ }}3.17,{\rm{ }}U\left( {51} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1;{\rm{ }}3;{\rm{ }}17;{\rm{ }}51} \right\};}\\{75{\rm{ }} = {\rm{ }}3.25,{\rm{ U}}\left( {75} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1;{\rm{ }}3;{\rm{ }}5;{\rm{ }}25;{\rm{ }}15;{\rm{ }}75} \right\};}\\{42{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.7,{\rm{ U}}\left( {42} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}7;{\rm{ }}6;{\rm{ }}14;{\rm{ }}21;{\rm{ }}42} \right\};}\\{30{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.5,{\rm{ U}}\left( {30} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}10;{\rm{ }}15;{\rm{ }}30} \right\}}\end{array}\)

Bài 7 (SGK trang 50 Toán lớp 6 tập 1)

a) Tích của hai số tự nhiên bằng 42. Tìm mỗi số.

b) Tích của hai số tự nhiên a và b bằng 30. Tìm a và b, biết rằng a < b.

Đáp án và giải bài:

a) Giả sử 42 = a.b = b.a. Điều này có nghĩa là a và b là những ước của 42. Vì b = 42:a nên chỉ cần tìm a. Nhưng a có thể là một ước bất kì của 42.

Nếu a = 1 thì b = 42.

Nếu a = 2 thì b = 21.

Nếu a = 3 thì b = 14.

Nếu a = 6 thì b = 7.

b) ĐS: a = 1, b = 30;

a = 2, b = 15;

a = 3, b = 10;

a = 5, b = 6.

Bài 8 (SGK trang 51 Toán lớp 6 tập 1)

Tâm có 28 viên bi. Tâm muốn xếp số bi đó vào tứi sao cho số bi ở các túi đều bằng nhau. Hỏi Tâm có thể xếp 28 viên bi đó vào mấy túi ? (kể cả trường hợp xếp vào một túi).

Đáp án:

Vì số bi ở các túi bằng nhau nên số túi phải là ước của 28. Ta có \(28{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.7\). Suy ra tập hợp các ước của 28 là {1; 2; 4; 7; 14; 28}. Vậy số túi có thể là: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

Bài 9 (SGK trang 51 Toán lớp 6 tập 1)

Phân tích số 111 ra thừa số nguyên tố rồi tìm tập hợp các ước của 111.

b) Thay dấu * bởi chữ số thích hợp: ** . * = 111.

Đáp án và giải bài:

a) 111 = 3.37. Tập hợp Ư(111) = {1; 3; 37; 111}.

b) Từ câu a suy ra phải điền các chữ số như sau 37.3 = 111.