Cập nhật lúc: 09:25 28-06-2018 Mục tin: LỚP 11
Xem thêm:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Chúng ta thực chất đã làm quen với phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác trong các chủ đề:
- Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình đẳng cấp bậc hai và bậc cao đối với sin và cos.
- Phương trình đối xứng
Trong bài toàn này chúng ta xét thêm các trường hợp khác, bao gồm:
\(\begin{array}{l}\cot x = \frac{1}{t}\\\sin 2x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}};\,\,\cos 2x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}};\,\,\tan 2x = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\end{array}\)
Ví dụ 1: Giải phương trình \(\sin 4x = \tan x\)
Giải
ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt \(t = \tan x\), suy ra phương trình có dạng:
\(\begin{array}{l}2\sin 2x.\cos 2x = \tan x \Leftrightarrow 2\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}.\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = t \Leftrightarrow 4t\left( {1 - {t^2}} \right) = t{\left( {1 + {t^3}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow t\left( {{t^4} + 6{t^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\{t^2} = - 3 \pm \sqrt {12} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 0\\{\tan ^2}x = \sqrt {12} - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 0\\\tan x = \pm \sqrt {\sqrt {12} - 3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \alpha + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.
Cách 2: Sử dụng phương pháp phân tích.
Biến đổi phương trình về dạng:
\(\begin{array}{l}\sin 4x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x\cos x = \sin x\\ \Leftrightarrow 4\sin x\cos x\cos 2x\cos x = \sin x \Leftrightarrow \left( {4{{\cos }^2}x\cos 2x - 1} \right)\sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {2\left( {1 + \cos 2x} \right)\cos 2x - 1} \right]\sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos 2x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos 2x = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} = \cos 2\alpha \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\2x = \pm 2\alpha + 2k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \alpha + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình \(\cot x = \tan x + 2\tan 2x\)
Giải
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin 2x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 4x \ne 0 \Leftrightarrow 4x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{4}\)
Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt \(t = \tan x \Rightarrow \cot x = \frac{1}{t}\) và \(\tan 2x = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\)
Khi đó phương trình có dạng:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{t} = t + \frac{{4t}}{{1 - {t^2}}} \Leftrightarrow 1 - {t^2} = {t^2}\left( {1 - {t^2}} \right) + 4{t^2}\\ \Leftrightarrow {t^4} - 6{t^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{t^2} - 1} \right)^2} = 4{t^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} - 1 = 2t\\{t^2} - 1 = - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} - 2t - 1 = 0\\{t^2} + 2t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \pm \sqrt 2 \\t = - 1 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1 - \sqrt 2 = \tan {\alpha _1}\\\tan x = 1 + \sqrt 2 = \tan {\alpha _2}\\\tan x = - 1 - \sqrt 2 = \tan {\alpha _3}\\\tan x = - 1 + \sqrt 2 = \tan {\alpha _4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha _1} + k\pi \\x = {\alpha _2} + k\pi \\x = {\alpha _3} + k\pi \\x = {\alpha _4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có 4 họ nghiệm.
Cách 2: Sử dụng phương pháp luận hệ số để phân tích.
Biến đổi phương trình về dạng:
\(\begin{array}{l}\cot x - \tan 2x = \tan x + \tan 2x \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \frac{{\sin 3x}}{{\cos x\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x\cos x - \sin 2x\sin x} \right)\cos x = \sin 3x\sin x\\ \Leftrightarrow \cos 3x\cos x - \sin 3x\sin x = 0 \Leftrightarrow \cos 4x = 0\\ \Leftrightarrow 4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 3: Cho phương trình \(4{\tan ^2}x + \frac{{4m}}{{\cos x}} + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
a) Giải phương trình với \(m = - 1\).
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)
Giải
ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Viết lại phương trình dưới dạng:
\(4\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right) + \frac{{4m}}{{\cos x}} + 5 = 0 \Leftrightarrow \frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{4m}}{{\cos x}} + 1 = 0\)
Đặt \(t = \frac{2}{{\cos x}}\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right)\), khi đó phương trình có dạng:
\(f\left( t \right) = {t^2} + 2mt + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
a) Với \(m = - 1\), ta được: \({t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\,\,\left( {ktm} \right)\)
Vậy với \(m = - 1\) phương trình vô nghiệm.
b) Phương trình (1) có nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \) Phương trình (2) có nghiệm \(t \ge 2\)
TH1: (2) có nghiệm \({t_1} \le 2 \le {t_2}\)
TH2: (2) có nghiệm \(2 \le {t_1} \le {t_2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}af\left( 2 \right) \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\af\left( 2 \right) \ge 0\\\frac{S}{2} \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 5 \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 \ge 0\\4m + 5 \ge 0\\ - m \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - \frac{5}{4}\)
Vậy với \(m \le - \frac{5}{3}\) thì phương trình đã cho có nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
Ví dụ 4: Cho phương trình \(\left( {m + 1} \right){\tan ^4}x - 3m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){\tan ^2}x + \frac{{4m}}{{{{\cos }^4}x}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
a) Giải phương trình với \(m = - \frac{9}{{37}}\)
b) Tìm m để phương trình có nghiệm khác \(k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Giải
ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Viết lại phương trình dưới dạng:
\(\left( {m + 1} \right){\tan ^4}x - 3m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){\tan ^2}x + 4m{\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)^2} = 0\)
Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)^2} \ne 0\) , ta được:
\(\left( {m + 1} \right){\left( {\frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}} \right)^2} - 3m\frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} + 4m = 0\)
Đặt \(t = \frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}\,\,\left( {0 \le t < 1} \right)\), khi đó phương trình có dạng:
\(\left( {m + 1} \right){t^2} - 3mt + 4m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
a) Với \(m = - \frac{9}{{37}}\) ta được:
\(\begin{array}{l}28{t^2} + 27t - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{3}{4}\\t = \frac{{ - 12}}{7}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 3 \Leftrightarrow \tan x = \pm \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
b) Xét hai trường hợp
TH1: Nếu \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\) ta được:
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{3}\,\,\left( {ktm} \right) \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
TH2: Nếu \(m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\)
Phương trình (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có nghiệm \(t \in \left( {0;1} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( 2 \right)\,{\mathop{\rm co}\nolimits} \,1\,nghiem\, \in \left( {0;1} \right)\\\left( 2 \right)\,{\mathop{\rm co}\nolimits} \,2\,nghiem\, \in \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\af\left( 0 \right) > 0\\af\left( 1 \right) > 1\\0 < \frac{S}{2} < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{{ - 1}}{2}\)
Vậy với \(m > - \frac{1}{2}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải các phương trình:
a) \(1 + 3\sin 2x = 2\tan x\) c) \(6\tan x = \tan 2x\)
b) \(1 + 3\tan x = 2\sin 2x\) d) \(\sin 2x + 2\tan x = 3\)
Bài 2: Giải các phương trình:
a) \(\cos x + \tan \frac{x}{2} = 1\) b) \(2 + \cos x = 2\tan \frac{x}{2}\)
Bài 3: Giải các phương trình:
a) \(\left( {1 - \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x\)
b) \(4{\sin ^2}x + 3{\tan ^2}x = 1\)
c) \(3\sin x + \cos x - 4\cot \frac{x}{2} + 1 = 0\)
d) \(\left( {\cos x - \sin x} \right)\cos x\sin x = \cos x\cos 2x\)
Bài 4: Cho phương trình \({\cot ^2}x + \frac{m}{{\sin x}} + 2m - 1 = 0\)
a) Giải phương trình với \(m = 1\).
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}} \right)\).
Bài 5: Cho phương trình \(4{\tan ^2}x - 2m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\tan x + \frac{4}{{{{\cos }^4}x}} = 0\)
a) Giải phương trình với \(m = - 5\)
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 6: Cho phương trình: \(\left( {1 - a} \right){\tan ^2}x - \frac{2}{{\cos x}} + 1 + 3a = 0\)
a) Giải phương trình khi \(a = \frac{1}{2}\)
b) Xác định a để phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Bài 7: Cho phương trình \(\frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + {\cos ^2}x + m\left( {\frac{2}{{\cos x}} + \cos x} \right) - 3 = 0\)
a) Giải phương trình với \(m = - \frac{2}{3}\)
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Bài 8: Cho phương trình \(3\cos x + 4\sin x + \frac{6}{{3\cos x + 4\sin x + 1}} = m\)
a) Giải phương trình với \(m = 6.\)
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\)
Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Các bài khác cùng chuyên mục
Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT 2025