Chuyên đề dấu hiệu chia hết

 CHUYÊN ĐỀ DẤU HIỆU CHIA HẾT

Dạng 1: Dạng toán điền vào * để được số chia hết cho một số.

Bài toán 1: Điền vào * để số \(\overline {{\bf{35}}*} \)

a)    chia hết cho 2

b)    chia hết cho 5

c)    chia hết cho cả 2 và 5

Đây là dạng toán hết sức cơ bản. Khi gặp dạng toán này thì đương nhiên giáo viên phải cho học sinh tái hiện lại dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 và số như thế nào chia hết cho cả 2 và 5.

          a)  \(\overline {{\bf{35}}*}  \vdots 2\) \( \Leftrightarrow \) \(* \in \{ 0;2;4;6;8\} \)

          b) \(\overline {{\bf{35}}*}  \vdots 5\) \( \Leftrightarrow \)\(* \in \{ 0;5\} \)

          c) \(\overline {{\bf{35}}*}  \vdots 2;5\)\( \Leftrightarrow \)* = 0

Bài toán 2: Điền vào * để

          a) \(\overline {3*5}  \vdots 3\)

          b) \(\overline {7*2}  \vdots 9\)

Tương tự như bài toán 1 học sinh có thể vận dụng trực tiếp dấu hiệu chia hết cho 3 và cho 9 để làm

          a) \(\overline {3*5}  \vdots 3 \Leftrightarrow 8 + * \vdots 3\)

                       \( \Leftrightarrow * \in \left\{ {1;4;7} \right\}\)

          b) \(\overline {7*2}  \vdots 9 \Leftrightarrow 7 + * + 2 \vdots 9\)

                        \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9 + * \vdots 9\\ \Leftrightarrow * \in \left\{ {0;9} \right\}\end{array}\)

b) Dạng 2: Tìm các chữ số chưa biết của một số:

Bài toán 3: Tìm chữ số a, b sao cho \(\overline {a63b} \) chia hết cho đồng thời cho 2,3,5,9

Lập luận: Đầu tiên phải đề cập đến chia hết cho 2 và 5 vì nó liên quan đến chữ số tận cùng. Sau đó, khi đã có chữ số tận cùng, ta xét tổng các chữ số vì nó liên quan đến chia hết cho 9. Ở đây ta không cần quan tâm đến chia hết cho 3, vì số chia hết cho 9 thì  đương nhiên chia hết cho 3.

          \(\begin{array}{l}\overline {a63b}  \vdots 2,5 \Leftrightarrow b = 0\\\overline {a630}  \vdots 3,9 \Leftrightarrow a + 6 + 3 + 0 \vdots 9\end{array}\)

                        \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9 + a \vdots 9\\ \Leftrightarrow a \vdots 9\\ \Leftrightarrow a \in \left\{ {0;9} \right\}\\ \Leftrightarrow a = 9\end{array}\)          

(Vì a là chữ số hàng nghìn nên số 0 không có nghĩa)

Vậy a= 9; b= 0 thì \(\overline {a63b} \) chia hết cho đồng thời 2,3,5,9

Bài toán 4: Tìm chữ số a, b sao cho \(\overline {87ab}  \vdots 9\) và a – b  = 4

Lập luận      \(\overline {87ab}  \vdots 9 \Leftrightarrow 8 + 7 + a + b \vdots 9\)

                              \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 15 + a + b\\ \Leftrightarrow a + b \in \left\{ {3;12} \right\}\end{array}\)

Mà điều kiện a – b = 4 nên ta loại a + b = 3. Từ a –b = 4 và a + b = 12 ta tìm được a = 8; b = 4

Bài toán 5: cho số \(\overline {76a23} \)

          a) Tìm a để \(\overline {76a23}  \vdots 9\)

          b) Trong các số vừa tìm được của a  có giá trị nào làm cho số  \(\overline {76a23}  \vdots 11\) không?

          Hướng dẫn

          a) Tính tổng các chữ số của \(\overline {76a23} \) ta được

                              \(a + 18 \vdots 9\) do đó \(a \in \left\{ {0;9} \right\}\)

          b) với a = 0 thì số 76023 có

                                        (7 + 0 + 3) – (6 + 2 ) = 2 \(\not{ \vdots }\)11

          Tương tự  với a = 9 ta có

                                        (7 + 9 + 3) – ( 6 + 2) = 11 \( \vdots \) 11

Vậy a= 9 thì \(\overline {76a23}  \vdots 11\)

Bài toán 6: Tìm a, b sao cho \(\overline {b851a} \) chia hết 3 và 4

          Hướng dẫn

          Lập luận chia hết cho 4 trước ta được a = 2 và a = 6

          + Thay a = 2 vào \(\overline {b851a} \) ta được \(\overline {b8512} \). Xét tiếp dấu hiệu chia hết cho 3 bằng cách tính tổng các chữ số.

                    \(\overline {b851a}  \vdots 3 \Leftrightarrow b + 8 + 5 + 1 + 2 \vdots 3\)

                                \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow b + 16 \vdots 3\\ \Leftrightarrow b \in \left\{ {2;5;8} \right\}\end{array}\)

          Lập luận tương tự với a = 6 ta được \(b \in \left\{ {1;4;7} \right\}\)

Bài toán 7: Thay các chữ số x, y bằng chữ số thích hợp để cho

          a) Số \(\overline {275x} \) chia hết cho 5, cho 25, cho 125

          b) Số \(\overline {9xy4} \) chia hết cho 2, cho 4, cho 8

          Hướng dẫn

          b) \(\overline {9xy4}  \vdots 2 \Leftrightarrow x,y \in \left\{ {0;1;2;3;.....;9} \right\}\) vì chữ số tận cùng là số chẵn

              \(\overline {9xy4}  \vdots 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left\{ {0;1;2...;9} \right\}\\y \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}\end{array} \right.\)

              \(\overline {9xy4}  \vdots 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}\\y \in \left\{ {2;6} \right\}\end{array} \right.\) 

            Hoặc    \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\\y \in \left\{ {0;4;8} \right\}\end{array} \right.\)

Bài toán 8:Tìm các chữ số a và b sao cho \(\overline {19ab} \) chia hết cho 5 và 8

"Để tìm được a và b ta phải thấy được hai dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết cho 5 và 8

Vì \(\overline {19ab} \) chia hết cho 5 nên b=0 hoặc b=5 và \(\overline {19ab} \)chia hết cho 8 nên suy ra b=0

Mặt khác , \(\overline {19a0} \) chia hết cho 8 nên \(\overline {19a0} \)chia hết cho 4 khi \(\overline {a0} \)chia hết cho 4 suy ra \(a \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}\). Ta có \(\overline {19a0} \) chia hết cho 8 khi \(\overline {9a0} \)chia hết cho 8 nên a=2 hoặc a=6. Vậy nếu a=2 thì b=0 và nếu a=6 thì b=0 nên số cần tìm là 1920 và 1960

Bài toán 9: Chữ số a là bao nhiêu để \(\overline {aaaaa96} \) chia hết cho cả 3 và 8

Vì \(\overline {aaaaa96} \) \( \vdots \)8 \( \leftrightarrow \)  \(\overline {a96} \)\( \vdots \)8 \( \leftrightarrow \)100a + 96 \( \vdots \)8 suy ra 100a\( \vdots \)8

Vậy a là số chẵn\( \to \)a Î{ 2, 4, 6, 8}  (1).

Vì \(\overline {aaaaa96} \) \( \vdots \)3 \( \leftrightarrow \)(a + a + a + a + a + 9 + 6 ) \( \vdots \)3 \( \leftrightarrow \)5a + 15 \( \vdots \)3

mà 15\( \vdots \)3    \( \to \)   5a\( \vdots \)3

mà (5, 3) = 1         

Suy ra a \( \vdots \) 3  vậy \(a \in \{ 3,{\rm{ }}6{\rm{ }},9\} \;\) (2).

Từ (1) và (2 ) suy ra a = 6

KL: Vậy số phải tìm là 6666696.

Bài toán 10: Tìm chữ số a để \(\overline {1aaa1} \)\( \vdots \)11

HD: tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a .Tổng các chữ số hàng chữ là  2a.

* Nếu \(2a \ge a{\rm{ }} + {\rm{ }}2\; \Leftrightarrow a \ge 2\) thì \(2a{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}a{\rm{ }} - 2 \le 9{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}7\)

mà (a - 2) \( \vdots \)11 nên a - 2 = 0 \( \Leftrightarrow \)a = 2

* Nếu \(2a \le a{\rm{ }} + {\rm{ }}2 \Leftrightarrow \;a < 2\;\)  thì (a + 2) - 2a = 2 - a  mà 2 hoặc là 1 không chia hết cho 11.Vậy a=2

Bài toán 11:Tìm x để \(\overline {x1994}  \vdots 3\) chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

          Hướng dẫn

? Những số như thế nào thì chia hết cho 3, cho 9? Một số muốn chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 thì phải thỏa mãn điều kiện nào?

          \(\overline {x1994}  \vdots 3 \Leftrightarrow x + 23 \vdots 3\)

                    Vì \(1 \le x \le 9\) nên \(24 \le x + 23 \le 32\)

Từ đó ta được x = 24; x = 30

c) Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số

Bài toán 12: Cho tổng A = 270 + 3105 + 150. Không thực hiện phép tính hãy xem A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 hay không? Tại sao?

Hướng dẫn

 (GV hướng dẫn HS ta dựa vào tính chất chia hết của một tổng)

Ta có A = 270 + 3105 + 150

Vì:            \(\left\{ \begin{array}{l}270 \vdots 2\\3105 \vdots 2\\150 \vdots 2\end{array} \right. \Rightarrow A = 270 + 3105 + 150 \vdots 2\)

Và           \(\left\{ \begin{array}{l}270 \vdots 5\\3105 \vdots 5\\150 \vdots 5\end{array} \right. \Rightarrow A = 270 + 3105 + 150 \vdots 5\)

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}270 \vdots 3\\3105 \vdots 3\\150 \vdots 3\end{array} \right. \Rightarrow A = 270 + 3105 + 150 \vdots 3\)            \(\left\{ \begin{array}{l}270 \vdots 9\\3105 \vdots 9\\150 \vdots 9\end{array} \right. \Rightarrow A = 270 + 3105 + 150 \vdots 9\)

Vậy A không chia hết cho 2, cho 9 nhưng chia hết cho 3 và cho 5.

Bài toán 13: Cho M = 7.9.11.13 + 2.3.4.7

                              N = 16 354 + 675 41

Chứng tỏ rằng: M chia hết cho 3

                            N chia hết cho 5

Ta có: 7.9.11.13 \( \vdots \) 3( vì 9 \( \vdots \)3)

                2.3.4.7 \( \vdots \) 3 (vì 3 \( \vdots \) 3)

7.9.11.13 + 2.3.4.7 \( \vdots \)3

Vậy M chia hết cho 3

Ta có giá trị của tổng 16 354 + 67 541 có chữ sô tận cùng là 5 nên chia hết cho 5

Vậy N chia hết cho 5

Bài toán 14: Cho A= 2.4.6.8.10 + 40

Chứng tỏ rằng: a) A chia hết cho 8

                        b) A chia hết cho 5

          Hướng dẫn

a) Dựa vào tính chất chia hết của một tổng ta lập luận 2.4.6.8.10 \( \vdots 8\) ( vì tích có chứa thừa số 8)

                        \(40 \vdots 8\)       

\( \Rightarrow 2.4.6.8.10 + 40 \vdots 8\)

Vậy A chia hết cho 8

b) Tương tự \(2.4.6.8.10 \vdots 5\)( vì 10 chia hết cho 5)

                              \(40 \vdots 5\)

              \( \Rightarrow 2.4.6.8.10 + 40 \vdots 5\)

Bài toán 15: Chứng minh rằng \({99^5} - {98^4} + {97^3} - {96^2} \vdots 2\)và 5

Hướng dẫn: Theo đề bài ta suy ra chữ số tận cùng (CSTC) của từng lũy thừa trong bài 99⁵ – 98⁴ + 97³ – 96² =…9 - …6 +…3 – …6 =… 0 

Biểu thức đã cho có giá trị chứa CSTC là 0 nên chia hết cho 2 và 5

Vậy \({99^5} - {98^4} + {97^3} - {96^2} \vdots 2\) và 5

d) Dạng 4: Chứng minh tổng, tích các số liên tự nhiên liên tiếp chia hết cho một số

Để làm dạng toán này ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp. Tuy nhiên, khi dạy lớp 6 ta không cần phải nói khó hiểu mà chỉ dạy cho các em xét các trường hợp bẳng mệnh đề: “ Nếu…thì …”. Mặt khác nếu ngay lớp 6 các em được làm dạng bài tập này thì rất thuận tiện để các em làm dạng toán chia hết ở các lớp trên. Nếu không, các em sẽ cảm thấy kiến thức chia hết rất lạ, rất xa vời khi lên lớp 7,8,9 gặp bài toán mà  sử dụng kiến thức đáng lí ra phải được chứng minh ở lớp 6.

Bài toán 16: Chứng tỏ rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.

Gv cần gợi mở rằng: ở đây ta chứng minh bài toán trên đúng với mọi cặp giá trị liên tiếp trong N, chứ không phải chỉ cần chỉ ra một hoặc hai cặp giá trị là đủ mà phải đi chứng minh đúng dưới dạng tổng quát.

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1

• Nếu a \( \vdots \) 2  thì bài toán đã được giải
• Nếu a \(\not{ \vdots }\) 2 thì a chia 2 dư 1

Ta có a = 2k + 1.

       a + 1 = 2k + 1 + 1

                = 2k + 2 \( \vdots \) 2

Vậy trong hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 2.Cho nên tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

Bài toán 17: Chứng minh tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a, a+1, a+2

• Nếu a \( \vdots \) 3 thì bài toán đã được giải
• Nếu a = 3k+1(nghĩa là a chia 3 dư 1) thì lúc đó

Ta có a+2= 3k+1+2 = 3k+3 \( \vdots \) 3

• Nếu a= 3k+2 (nghĩa là a chia 3 dư 2) thì lúc đó

 Ta có a+1= 3k+2+1

                = 3k+3 \( \vdots \) 3

Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 3.

Cho nên tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3

Bài toán 18: Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3 nhưng tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2

Tống của chúng là: n + n+1 + n+2 = 3n +3 \( \vdots \) 3

Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3

Tương tự tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là: 4n + 6  \(\not{ \vdots }\) 4(vì 6\(\not{ \vdots }\)4)

 Vậy tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4                                                                          

Bài toán 19: Chứng minh rằng tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n+2 (n\( \in \)N)

Tích 2n.(2n+2) = 2.n.2.(n+1)

                         = 4.n.(n+1)

  Ta có n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 (theo bài toán 16)

Vì thế 4.n.(n+1) \( \vdots \) 8

Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

Bài toán 20: Chứng minh rằng tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48

Gọi ba số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2, 2n +4 ((n\( \in \)N)

Tích 2n.(2n+2).(2n+4) = 2.n.2(n+1).2(n+2)

                                       = 8.n.(n+1).(n+2)

Ta có n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2( theo bài toán 16)

Ta có n.(n+1).(n+2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3(theo bài toán 17)

Mà (2,3) = 1 nên n.(n+1).(n+2) chia hết cho 6

Vì thế  8.n.(n+1).(n+2) \( \vdots \) 48

Vậy tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48.

Trò chơi: “Tìm nhanh số chia hết”.

Ví dụ: Cho số 21780; 325; 1980; 176. Hãy cho biết các số trên chia hết cho những số nào trong các số sau 2; 3; 5; 9?

Hướng dẫn học sinh.

a) Số 21780 chia hết cho 2 và 5 vì có chữ số tận cùng là 0. Chia hết cho 3 và 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9.

b) 325 chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng là 5.

c) 176 chia hết cho 2 vì có cữ số tận cùng là 6 (chữ số chẵn).

d) 1980 chia hết cho 2 và 5 vì có chữ số tận cùng là 0. Chia hết cho 3 và 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9.