CHUYÊN ĐỀ CỘNG – TRỪ SỐ NGUYÊN

CHUYÊN ĐỀ CỘNG – TRỪ SỐ NGUYÊN

I. LÝ THUYẾT:

1. Cộng hai số nguyên:
2. Phép trừ hai số nguyên: a - b = a + (-b)
3. Quy tắc dấu ngoặc:
4. Tổng đại số: là một dãy các phép tính cộng, trừ các số nguyên.
5. Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu "+" thành dấu "-" và dấu "-" thành dấu "+".

• Cộng hai số nguyên cùng dấu: ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu chung trước kết quả.
• Cộng hai số nguyên khác dấu: ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số nhỏ) rồi đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
• Tính chất của phép cộng các số nguyên:         

• Giao hoán: a + b = b + a
• Kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c)
• Cộng với số 0: a + 0 = 0 + a = a
• Cộng với số đối: a + (-a) = 0
• Hai số có tổng bằng 0 là hai số đối nhau.

• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "-" đằng trước, ta phải đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc: dấu "+" thành dấu "-" và dấu "-" thành dấu "+".
• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+" đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

• Tính chất: trong một tổng đại số, ta có thể:

• Thay đổi tùy ý vị trí các số hạng kèm theo dấu của chúng.
• Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý với chú ý rằng nếu trước dấu ngoặc là dấu "-" thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc.

II. BÀI TẬP VÍ DỤ:

Dạng 1: cộng trừ số nguyên:

Bài 1:  Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai? Hãy chưũa câu sai thành câu đúng.

a/ Tổng hai số nguyên dương là một số nguyên dương.

b/ Tổng hai số nguyên âm là một số nguyên âm.

c/ Tổng của một số nguyên âm và một số nguyên dương là một số nguyên dương.

d/ Tổng của một số nguyên dương và một số nguyên âm là một số nguyên âm.

e/ Tổng của hai số đối nhau bằng 0.

Hướng dẫn

a/ b/ e/ đúng

c/ sai, VD (-5) + 2 = -3 là số âm.

Sửa câu c/ như sau:

Tổng của một số nguyên âm và một số nguyên dương là một số nguyên dương khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của số dương lớn hơn giá trị tuyệt đối của số âm.

d/ sai, sửa lại như sau:

Tổng của một số dương và một số âm là một số âm khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của số âm lớn hơn giá trị tuyệt đối của số dương.

Bài 2: Tính nhanh:

a/ 234 - 117 + (-100) + (-234)

b/ -927 + 1421 + 930 + (-1421)

ĐS: a/ 17                    b/ 3

Bài 3 : Tính:

a/ 11 - 12 + 13 – 14 + 15 – 16 + 17 – 18 + 19 – 20

b/ 101 – 102 – (-103) – 104 – (-105) – 106 – (-107) – 108 – (-109) – 110

Hướng dẫn

a/ 11 - 12 + 13 – 14 + 15 – 16 + 17 – 18 + 19 – 20

= [11 + (-12)] + [13 + (-14)] + [15 + (-16)] + [17 + (-18)] + [19 + (-20)]

= (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -5

b/ 101 – 102 – (-103) – 104 – (-105) – 106 – (-107) – 108 – (-109) – 110

= 101 – 102 + 103 – 104 + 105 – 106 + 107 – 108 + 109 – 110

= (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -5

Bài 4: Thực hiện phép trừ

a/ (a – 1) – (a – 3)

b/ (2 + b) – (b + 1) Với a, b \( \in Z\)

Hướng dẫn

a/ (a – 1) – (a – 3) = (a – 1) + (3 - a) = [a + (-a)] +  [(-1) + 3] = 2

b/ Thực hiện tương tự ta được kết quả bằng 1.

Bài 5:   Tính tổng các số nguyên âm lớn nhất có 1 chữ số, có 2 chữ số và có 3 chữ số.

Hướng dẫn

 (-1) + (-10) + (-100) = -111

Bài 6: Tính các tổng đại số sau:

a/ S1 = 2 -4 + 6 – 8 + … + 1998 - 2000

b/ S2  = 2 – 4 – 6 + 8 + 10- 12 – 14 + 16 + … + 1994 – 1996 – 1998 + 2000

Hướng dẫn

a/ S1 = 2 + (-4 + 6) + ( – 8 + 10) +  … + (-1996 + 1998) – 2000

= (2 + 2 + … + 2) – 2000 = -1000

Cách 2:

S1 = ( 2 + 4 + 6 + … + 1998) – (4 + 8 + … + 2000)

= (1998 + 2).50 : 2 – (2000 + 4).500 : 2 = -1000

b/ S2 =  (2 – 4 – 6 + 8) + (10- 12 – 14 + 16) + … + (1994 – 1996 – 1998 + 2000)

= 0 + 0 + … + 0 = 0

Dạng 2: BT áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, chuyển vế

Bài 1: Rút gọn biểu thức

a/ x + (-30) – [95 + (-40) + (-30)]

b/ a + (273 – 120) – (270 – 120)

c/ b – (294 +130) + (94 + 130)

Hướng dẫn

a/ x + (-30) – 95 – (-40) – 5 – (-30)

= x + (-30) – 95 + 40 – 5 + 30

= x + (-30) + (-30) + (- 100) + 70 = x + (- 60).

b/ a + 273 + (- 120) – 270 – (-120)

= a + 273 + (-270) + (-120) + 120 = a + 3

c/ b – 294 – 130 + 94 +130

= b – 200 = b + (-200)

Bài 2:  Đơn giản biểu thức sau khi bỏ ngoặc:

a/ -a – (b – a – c)

b/ - (a – c) – (a – b + c)

c/ b – ( b+a – c)

d/ - (a – b + c) – (a + b + c)

Hướng dẫn

1. a/ - a – b + a + c = c – b

b/ - a + c –a + b – c = b – 2a.

c/ b – b – a + c = c – a

d/ -a + b – c – a – b – c = - 2a -2c.

Bài 3: So sánh P với Q biết:

P = a {(a – 3) – [( a + 3) – (- a – 2)]}.

Q = [ a + (a + 3)] – [( a + 2) – (a – 2)].

Hướng dẫn

P = a – {(a – 3) – [(a + 3) – (- a – 2)]

   = a – {a – 3 – [a + 3 + a + 2]} = a – {a – 3 – a – 3 – a – 2}

   = a – {- a – 8} = a + a + 8 = 2a + 8.

Q = [a+ (a + 3)] – [a + 2 – (a – 2)]

    = [a + a + 3] – [a + 2 – a + 2] = 2a + 3 – 4 = 2a – 1

Xét hiệu P – Q = (2a + 8) – (2a – 1) = 2a + 8 – 2a + 1 = 9 > 0

Vậy P > Q

Dạng 3: Tìm x

Bài 1:  Tìm x biết:

a/ -x + 8 = -17

b/ 35 – x = 37

c/ -19 – x = -20

d/ x – 45 = -17

Hướng dẫn

a/ x = 25

b/ x = -2

c/ x = 1

d/ x = 28

Bài 2:  Tìm x biết

a/ |x + 3| = 15

b/ |x – 7| + 13 = 25

c/ |x – 3| - 16 = -4

d/ 26 - |x + 9| = -13

Hướng dẫn

a/ |x + 3| = 15 nên x + 3 = ±15

• x + 3 = 15 \( \Rightarrow \) x = 12

• x + 3 = - 15 \(\Rightarrow \) x = -18

b/ |x – 7| + 13 = 25 nên x – 7 = ±12

• x = 19

• x = -5

c/ |x – 3| - 16 = -4

|x – 3|  = -4 + 16

|x – 3|  = 12

x – 3 = ±12

• x - 3 = 12 \(\Rightarrow \) x = 15

• x - 3 = -12 \(\Rightarrow \) x = -9

d/ Tương tự ta tìm được x = 30 ; x = -48

Bài 3.  Cho a,b \( \in \) Z. Tìm x \(\in \) Z sao cho:

a/ x – a = 2

b/ x + b = 4

c/ a – x = 21

d/ 14 – x = b + 9.

Hướng dẫn

a/ x = 2 + a

b/ x = 4 – b

c/ x = a – 21

d/ x = 14 – (b + 9)

ó x = 14 – b – 9

ó  x =  5 – b.

III. BÀI TẬP LUYỆN THÊM:

Bài 1: Tính 

a/ (187 -23) – (20 – 180)

b/ (-50 +19 +143) – (-79 + 25 + 48)

Bài 2: Tính tổng:

a/ S1 = 1 + (-2) + 3 + (-4) + … + 2001 + ( -2002)

b/ S2  = 1 + (-3) + 5 + (-7) + … + (-1999) + 2001

c/ S3 = 1 + (-2) + (-3) + 4 + 5 + (-6) + (-7) + 8 + … + 1997 + (-1008) + (-1999) + 2000

Bài 3:  Bỏ dấu ngoặc rồi thu gọn biểu thức:

a/ A = (a + b) – (a – b) + (a – c) – (a + c)

b/ B = (a + b – c) + (a – b + c) – (b + c – a) – (a – b – c)

 Bài 4:  1/ Tìm x biết:

 a/ 5 – (10 – x) = 7

 b/ - 32 - (x – 5) = 0

 c/ - 12 + (x – 9) = 0

 d/ 11 + (15 – x) = 1

Bài 5: Tính

a. A = 1 – 3 + 5 – 7 + …. + 17 – 19

b. B = -2 + 4 – 6 + 8 - …. – 18 + 20

c. C = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 - …. +2011 – 2012 + 2013

Bài 6:Tính tổng tất cả  các số nguyên x biết:

1.  -50 < x ≤ 50
2. -100 ≤ x < 100

Bài 7: Tính nhanh:

1. 4524 – (864 – 999) – (36 + 3999)
2. 1000 – (137 + 572) + (263 – 291)
3. -329 + (15 – 101) – (25 – 440)

Bài 8: Tìm số nguyên x biết:

1. 3 – (17 – x) = 289 – (36+ 289)
2. 25 – (x +5) = -415 –(15 – 415)
3. 34 + (21 – x) = (3747 – 30) – 3746

Bài 9: Tính giá trị biểu thức a – b –c biết:

1.  a = 45, b = 175, c = -130
2. a = -350, b = -370, c = 85
3. a = -720, b = -370, c = -250

Bài 10:  Tính tổng:

1.  (-125) +100 + 80 + 125 + 20
2.  27 + 55 + (-17) + (-55)
3. (-92) +(-251) + (-8) +251
4.  (-31) + (-95) + 131 + (-5)