Chữ số tận cùng của lũy thừa

 CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA LŨY THỪA.

I. Chữ số tận cùng của lũy thừa

1. Lý thuyết

- Tích các số lẻ là một số lẻ.

Đặc biệt tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ số tận cùng là 5.

 - Tích của một số chẵn với bất kì một số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.

Đặc biệt, tích của một số chẵn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng có chữ số tận cùng là 0.

* Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa: chú ý đến những số đặc biệt.

 a,Tìm một chữ số tận cùng.

 - Các số có tận cùng là 0;1;5;6 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) cũng tận cùng bằng : 0 ; 1 ; 5 ; 6.

 - Các số có tận cùng bằng 2 ; 4 ; 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì được có số tận cùng bằng 6.

 - Các số có tận cùng bằng 3 ; 7; 9 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 1.

  b. Tìm hai chữ số tận cùng.

 - Các số có tận cùng là 01 ; 25 ; 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01 ; 25 ; 76 .

  c. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên.

 - Các số có tận cùng 001 ; 376 ; 625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận cùng bằng 001 ; 376 ; 625.

 - Số có chữ số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận cùng bằng 0625.

 d) Một số chính phương thì không có tận cùng bằng 2 ; 3 ; 7 ; 8.

2. Bài tập

Bài 1: Chứng tỏ rằng các tổng sau chia hết cho 10.

        \(\begin{array}{*{20}{l}}{\;\;\;\;\;\;\;a)\;\;{{17}^5}\; + \;{{24}^4}\; - \;{{13}^{21}}.}\\{\;\;\;\;\;\;\;b)\;\;{{51}^{n\;\;\;}} + {{47}^{102}}\;.}\end{array}\)

Hướng dẫn: Chứng tỏ chữ số tận cùng của tổng bằng 0.

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

\(\begin{array}{l}a){234^{{5^{{6^7}}}}}\\b){579^{{6^{{7^5}}}}}\end{array}\)

Hướng dẫn:       

\({5^{{6^7}}}\)là một số lẻ đều có dạng 2n + 1 \((n \in {N^*})\)

\({6^{{7^5}}}\)là một số chẵn có dạng 2n \((n \in {N^*})\)

 Bài5 : Tìm hai chữ số tận cùng của:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;a)\;{51^{51}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b)\;{99^{99}}^{^{99}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c)\;{6^{666}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;d)\;{14^{101}}.\;{16^{101}}\\\end{array}\)

Hướng dẫn : đưa về dạng (aⁿ)^m , trong đó aⁿ  có hai chữ số tận cùng là 01 hoặc 76 .

Bài 3: Tích của các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số ?

 * Hướng dẫn : Dùng phương pháp loại trừ.

  - Nếu tích là 5 thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cũng có một thừa số có chữ số tận cùng là 5 do đó tích phải có tận cùng là 5 , trái đề bài ,vậy thừa số của tích nhỏ hơn 5.

  - Nếu tích có 4 thừa số lẻ liên tiếp thì hoặc tích có tận cùng bằng 5 hoặc tận cùng bằng 9 , trái đề bài.

  - Nếu tích có 2 thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng là 3 hoặc 5 hoặc 9 trái đề bài.

  Vậy tích đó chỉ có 3 thừa số ví dụ: (...9 ). ( ...1 ). (...3 ) = 7.

 Bài 4: Tích \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}{2.2^2}.{\rm{ }}{2^3}.{\rm{ }}...{\rm{ }}.{\rm{ }}{2^{10}} \times {\rm{ }}{5^2}.{\rm{ }}{5^4}.\;{5^6}.{\rm{ }}...{\rm{ }}{.5^{14}}\) tận cùng là bao nhiêu chữ số 0.

    Hướng dẫn: Tích của 1 thừa số 2 và 1 thừa số 5 có tận cùng là 1 chữ số 0.

 Bài 5: Cho \(S{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}{3^1} + {3^2} + {\rm{ }}{3^3} + ... + {\rm{ }}{3^{30}}.\)

 Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương.

    Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}2S{\rm{ }} = {\rm{ }}3S{\rm{ }} - {\rm{ }}S{\rm{ }} = {3^{31}} - 1{\rm{ }} = {3^{28}}.{\rm{ }}{3^3} - 1.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\; = {\rm{ }}{\left( {{\rm{ }}{3^4}} \right)^7}.{\rm{ }}27{\rm{ }} - 1{\rm{ }} = {\rm{ }}...1.{\rm{ }}27{\rm{ }} - 1{\rm{ }} = {\rm{ }}...6.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ =  > 2S{\rm{ }} = {\rm{ }}...6S{\rm{ }} = {\rm{ }}...3.\end{array}\)    

Số chính phương không có tận cùng là 3 đpcm.

Bài 6: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 10 000, có bao nhiêu chữ số tận cùng bằng 1 mà viết được dưới dạng \({8^m} + {5^n}(m,n \in {N^*})?\)

    Hướng dẫn: \({5^n}\) có tận là 5 với nN^*.

                    \({8^m}\) có tận cùng là 6  \(m{\rm{ }} = {\rm{ }}4k{\rm{ }}(k \in {N^*}).\)

                      Vì \({8^5} > {\rm{ }}10{\rm{ }}000 =  > m{\rm{ }} = {\rm{ }}4.\)                

 các số phải đếm có dạng \({8^4} + {\rm{ }}{5^n}\) với n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có 5 số.

Bài 17:  Tìm 4 chữ số tận cùng của số:   \(A{\rm{ }} = \;{5^{1994}}.\)

 Hướng dẫn:    \({5^4} = {\rm{ }}0625\;\;\;\)tận cùng là 0625

                         \({5^5} = {\rm{ }}3125\;\;\;\)tận cùng là 3125                                                                                                                                                                         \({5^6}\)                 tận cùng là 5625

                         \({5^7}\)                     tận cùng là 8125

                         5⁸                 tận cùng là 0625

                         \({5^9}\)                 tận cùng là 3125

                         \({5^{10}}\)                      tận cùng là 5625

                         \({5^{11}}\)                      tận cùng là 8125

                         \({5^{12}}\)                tận cùng là 0625

                         ................................................

                  Chu kì của hiện tượng lặp lại là 4

                  Suy ra   \({5^{4m}}\)  tận cùng là 0625   \({5^{4m + 2}}\) tận cùnglà 5625

                   Mà 1994 có dạng 4m+2           \({5^{1994}}\) tận cùng là 5625