Các dạng toán giới hạn của hàm số

GIỚI HẠN HÀM SỐ

A. LÝ THUYẾT

I. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm

1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm

Định nghĩa 1

Cho \(\left( {a;b} \right)\) là một khoảng chứa điểm \({x_0}\) và hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a;b} \right)\) hoặc trên \(\left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \) với mọi dãy số \(\left\{ {{x_n}} \right\}\) mà \({x_n} \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\};\,\,{x_n} \to {x_0}\) ta có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = L\).

Nhận xét:

- Giới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số.

- Hàm số không nhất thiết phải xác định tại \({x_0}\).

Định nghĩa 2 (Giới hạn một bên)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right).\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \) với mọi dãy số \(\left\{ {{x_n}} \right\}\) mà \({x_0} < {x_n} < b;\,\,{x_n} \to {x_0}\) ta có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = L\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right).\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \) với mọi dãy số \(\left\{ {{x_n}} \right\}\) mà \(a < {x_n} < {x_0};\,\,{x_n} \to {x_0}\) ta có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = L\)