CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ

 CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ

Dạng 1:

Bài 1: Tìm các ước của 4, 6, 9, 13, 1

Bài 2: Tìm các bội của 1, 7, 9, 13

Bài 3: Chứng tỏ rằng:

a/ Giá trị của biểu thức A = 5 + 5² + 5³ + … + 5⁸ là bội của 30.

b/ Giá trị của biểu thức B = 3 + 3³ + 3⁵ + 3⁷ + …+ 3²⁹ là bội của 273

Hướng dẫn

a/

\(\begin{array}{l}A{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}{5^2} + {\rm{ }}{5^3} + {\rm{ }} \ldots {\rm{ }} + {\rm{ }}{5^8}\\ = {\rm{ }}\left( {5{\rm{ }} + {\rm{ }}{5^2}} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {{5^3} + {\rm{ }}{5^4}} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {{5^5} + {\rm{ }}{5^6}} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {{5^7} + {\rm{ }}{5^8}} \right)\\ = {\rm{ }}\left( {5{\rm{ }} + {\rm{ }}{5^2}} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}{5^2}.\left( {5{\rm{ }} + {\rm{ }}{5^2}} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}{5^4}\left( {5{\rm{ }} + {\rm{ }}{5^2}} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}{5^6}\left( {5{\rm{ }} + {\rm{ }}{5^2}} \right)\\ = {\rm{ }}30{\rm{ }} + {\rm{ }}{30.5^2} + {\rm{ }}{30.5^4} + {\rm{ }}{30.5^6}\\ = {\rm{ }}30{\rm{ }}\left( {1 + {\rm{ }}{5^2} + {\rm{ }}{5^4} + {\rm{ }}{5^6}} \right)\; \vdots 3\end{array}\)

b/ Biến đổi ta được \(B{\rm{ }} = {\rm{ }}273.\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}{3^6} + {\rm{ }} \ldots {\rm{ }} + {\rm{ }}{3^{24}}} \right)\; \vdots 273\)

Bài 4: Biết số tự nhiên \(\overline {aaa} \) chỉ có 3 ước khác 1. tìm số đó.

Hướng dẫn

 \(\overline {aaa} \) = 111.a = 3.37.a chỉ có 3 ước số khác 1 là 3; 37; 3.37 khác a = 1.

Vậy số phải tìm là 111

(Nết a \( \vdots \) 2 thì 3.37.a có nhiều hơn 3 ước số khác 1).

Dạng 2:

Bài 1: Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số:

\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a/{\rm{ }}3150{\rm{ }} + {\rm{ }}2125\;\;\;\;\;\\b/{\rm{ }}5163{\rm{ }} + {\rm{ }}2532\;\;\;\;\;\\c/{\rm{ }}19.{\rm{ }}21.{\rm{ }}23{\rm{ }} + {\rm{ }}21.{\rm{ }}25{\rm{ }}.27\end{array}\\{d/{\rm{ }}15.{\rm{ }}19.{\rm{ }}37{\rm{ }}-{\rm{ }}225}\end{array}\)

Hướng dẫn

a/ Tổng lớn hơn 5 và chia hết cho 5, nên tổng là hợp số.

b/ Hiệu lớn hơn 3 và chia hết cho 3, nên hiệu là hợp số.

c/ Tổng lớn hơn 21 và chia hết cho 21 nên tổng là hợp số.

d/ Hiệu lớn hơn 15 và chia hết cho 15 nên hiệu là hợp số.

Bài 2: Chứng tỏ rằng các số sau đây là hợp số:

a/ 297; 39743; 987624     b/ 111…1 có 2001 chữ số 1 hoặc 2007 chữ số 1

c/ 8765 397 639 763

Hướng dẫn

a/ Các số trên đều chia hết cho 11

Dùng dấu hiệu chia hết cho 11 đê nhận biết: Nếu một số tự nhiên có tổng các chữ số đứng ở vị trí hàng chẵn bằng tổng các chữ số ở hàng lẻ ( số thứ tự được tính từ trái qua phải, số đầu tiên là số lẻ thì số đó chia hết cho 11. Chẳng hạn 561, 2574,…

b/ Nếu số đó có 2001 chữ số 1 thì tổng các chữ số của nó bằng 2001 chia hết cho 3. Vậy số đó chia hết cho 3. Tương tự nếu số đó có 2007 chữ số 1 thì số đó cũng chia hết cho 9.

c/ 8765 397 639 763 = 87654.100001 là hợp số.

Bài 4:

a/ Tìm số tự nhiên k để số 23.k là số nguyên tố

b/ Tại sao 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất?

Hướng dẫn

a/ Với k = 0 thì 23.k = 0 không là số nguyên tố với k = 1 thì 23.k = 23 là số nguyên tố.

Với k>1 thì 23.k \( \vdots \) 23 và 23.k > 23 nên 23.k là hợp số.

b/ 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, vì nếu có một số chẵn lớn hơn 2 thì số đó chia hết cho 2, nên ước số của nó ngoài 1 và chính nó còn có ước là 2 nên số này là hợp số.

Bài 5: Tìm một số nguyên tố, biết rằng số liền sau của nó cũng là một số nguyên tố

Hướng dẫn

Ta biết hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chẵn và một số lẻ, muốn cả hai là số nguyên tố thì phải có một số nguyên tố chẵn là số 2. Vậy số nguyên tố phải tìm là 2.

Dạng 3: Dấu hiệu để nhận biết một số nguyên tố

Ta có thể dùng dấu hiệu sau để nhận biết một số nào đó có là số nguyên tố hay không:

“ Số tự nhiên a không chia hết cho mọi số nguyên tố p mà \({p^2} < {\rm{ }}a\) thì a là số nguyên tố.’’

VD1: Ta đã biết 29 là số nguyên tố.

Ta có thể nhận biết theo dấu hiệu trên như sau:

-   Tìm các số nguyên tố p mà \({p^2} < {\rm{ }}a\): đó là các số nguyên tố 2, 3, 5 (7² =49) nên ta dừng lại ở số nguyên tố 5).

- Thử các phép chia 29 cho các số nguyên tố trên. Rõ ràng 29 không chia hết cho số nguyên tố nào trong các số 2, 3, 5. Vậy 29 là số nguyên tố.

VD2: Hãy xét xem các số tự nhiên từ 1991 đến 2005 số nào là số nguyên tố?

Hướng dẫn

-  Trước hết ta loại bỏ các số chẵn: 1992, 1994, 1996, …, 2004

-  Loại bỏ tiếp các số chia hết cho 3: 1995, 2001

-  Ta còn phải xét các số 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 ố nguyên tố p mà \({p^2} < {\rm{ 2005}}\) là 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.

-  Số 1991 chia hết cho 11 nên ta loại.

-  Các số còn lại 1993, 1997, 1999, 2003 đều không chia hết cho các số nguyên tố tên.

Vậy từ 1991 đến 2005 chỉ có 4 số nguyên tố là 1993, 1997, 1999, 2003