Lý thuyết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

Đường thẳng trong mặt phẳng Oxy là dạng toán gần như không thể thiếu trong mọi đề thi đại học. Đây là dạng toán khá hay và các bạn học sinh cũng rất yêu thích phần này. Tuy nhiên khi làm những bài tập cơ bản trong sách thì cũng không khó khăn nhưng đối với những bài trong đề thi đại học thì cũng hơi khó nhằn đó.

Để học tốt được nội dung kiến thức trong phần này thì trước tiên các bạn cần hiểu rõ về lý thuyết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy. Trong bài giảng này thầy sẽ trình bày với các bạn toàn bộ những kiến thức liên quan tới đường thẳng và sẽ phân tích cụ thể giúp các bạn hiểu xâu sắc hơn.

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Vectơ pháp tuyến: Vectơ $// <![CDATA[ \vec{n} // ]]>$ khác $// <![CDATA[ \vec{0} // ]]>$ có giá vuông góc với đường thẳng $// <![CDATA[ \Delta // ]]>$ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $// <![CDATA[ \Delta // ]]>$

Phương trình tổng quát: Trong mặt phẳng tọa độ mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng: $// <![CDATA[ ax+by+c=0 // ]]>$ , với $// <![CDATA[ a^2+b^2\neq 0 // ]]>$

Ngược lại: Mọi phương trình dạng $// <![CDATA[ ax+by+c=0 // ]]>$ , với $// <![CDATA[ a^2+b^2\neq 0 // ]]>$ đều là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định, nhận $// <![CDATA[ \vec{n}=(a;b) // ]]>$ làm vectơ pháp tuyến.

Với mỗi đường thẳng d bất kì luôn có rất nhiều vectơ có giá vuông góc với đường thẳng. Vì vậy mà một đường thẳng d cho trước luôn có rất nhiều vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 1:

Giả sử cho đường thẳng d có phương trình: $// <![CDATA[ 2x+4y-1=0 // ]]>$ , các hệ số $// <![CDATA[ a=2; b=4 // ]]>$ . Khi đó ta có các vectơ pháp tuyến của d là: $// <![CDATA[ \vec{n_1}=(2;4) // ]]>$ hoặc $// <![CDATA[ \vec{n_2}=(1;2) // ]]>$ hoặc $// <![CDATA[ \vec{n_3}=(-2;-4) // ]]>$ hoặc $// <![CDATA[ \vec{n_4}=(\dfrac{1}{2};1) // ]]>$ ...

Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Như vậy để viết được phương trình tổng quát của đường thẳng d ta cần xác định được vectơ pháp tuyến $// <![CDATA[ \vec{n}=(a;b) // ]]>$ và một điểm bất kì $// <![CDATA[ M(x_0;y_0) // ]]>$ thuộc đường thẳng d. Khi đó phương trình đường thẳng d có dạng:

$// <![CDATA[ a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 // ]]>$

Ví dụ 2:

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $// <![CDATA[ d // ]]>$ biết đường thẳng đi qua điểm $// <![CDATA[ A(2;-3) // ]]>$ và nhận vectơ $// <![CDATA[ \vec{n}=(-2;5) // ]]>$ làm vectơ pháp tuyến.

Theo lý thuyết ở trên thì phương trình đường thẳng $// <![CDATA[ d // ]]>$ sẽ có dạng như sau: $// <![CDATA[ -2(x-2)+5(y+3)=0 \Leftrightarrow -2x+5y+19=0 // ]]>$

Ví dụ 3:

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $// <![CDATA[ d // ]]>$ biết $// <![CDATA[ d // ]]>$ song song với đường thẳng $// <![CDATA[ d' // ]]>$ có phương trình $// <![CDATA[ -x+2y-3=0 // ]]>$ và điểm $// <![CDATA[ B(2;-3) // ]]>$ thuộc $// <![CDATA[ d // ]]>$

Giải:

Vì đường thẳng $// <![CDATA[ d // ]]>$ song song với đường thẳng $// <![CDATA[ d' // ]]>$ nên vectơ pháp tuyến của $// <![CDATA[ d' // ]]>$ cũng chính là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $// <![CDATA[ d // ]]>$ . Vectơ pháp tuyến của $// <![CDATA[ d' // ]]>$ là $// <![CDATA[ \vec{n'}=(-1;2) // ]]>$

Ta có vectơ pháp tuyến của đường thẳng $// <![CDATA[ d // ]]>$ là: $// <![CDATA[ \vec{n} // ]]>$ = $// <![CDATA[ \vec{n'}=(-1;2) // ]]>$

Phương trình đường thẳng $// <![CDATA[ d // ]]>$ cần tìm là: $// <![CDATA[ -1(x-2)+2(y+3)=0 \Leftrightarrow -x+2y+8=0 // ]]>$

Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát:

Cho đường thẳng d: $// <![CDATA[ ax+by+c=0 // ]]>$ . Có các trường hợp sau sảy ra, phụ thuộc vào hệ số a, b, c

• Nếu $// <![CDATA[ a=0 // ]]>$ thì d có dạng $// <![CDATA[ by+c=0 // ]]>$ (khuyết ẩn x). Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox
• Nếu $// <![CDATA[ b=0 // ]]>$ thì d có dạng $// <![CDATA[ ax+c=0 // ]]>$ (khuyết ẩn y). Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy
• Nếu $// <![CDATA[ c=0 // ]]>$ thì d có dạng $// <![CDATA[ ax+by=0 // ]]>$ . Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ $// <![CDATA[ \vec{u} // ]]>$ khác $// <![CDATA[ \vec{0} // ]]>$ có giá song song với đường thẳng $// <![CDATA[ \Delta // ]]>$ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $// <![CDATA[ \Delta // ]]>$

Phương trình tham số: của đường thẳng $// <![CDATA[ \Delta // ]]>$ có dạng $// <![CDATA[ \left\{\begin{array}{ll}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{array}\right. (a^2+b^2\neq 0) // ]]>$

Trong đó $// <![CDATA[ M(x_0;y_0) // ]]>$ là điểm bất kì thuộc đường thẳng và $// <![CDATA[ \vec{u}=(a;b) // ]]>$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $// <![CDATA[ \Delta // ]]>$

Chú ý: Để xác định những điểm thuộc đường thẳng thì ta chỉ cần cho t một giá trị cụ thể. Với mỗi giá trị của t sẽ cho ta một điểm cố định thuộc đường thẳng đó.

Cách viết phương trình tham số của đường thẳng

Để viết được phương trình đường thẳng d dạng tham số các bạn cần xác định được vectơ chỉ phương $// <![CDATA[ \vec{u}=(a;b) // ]]>$ và một điểm $// <![CDATA[ M(x_0;y_0) // ]]>$ thuộc đường thẳng.

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong phương trình tham số $// <![CDATA[ \left\{\begin{array}{ll}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{array}\right. // ]]>$ của đường thẳng, nếu $// <![CDATA[ a\neq 0; b\neq 0 // ]]>$ thì bằng cách khử tham số t từ hai phương trình trên, ta đi đến phương trình:

$// <![CDATA[ (a\neq 0, b\neq 0) // ]]>$

Phương trình này gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng.

Trong trường hợp $// <![CDATA[ a=0 // ]]>$ hoặc $// <![CDATA[ b=0 // ]]>$ thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.

Ví dụ 4:

Giả sử đường thẳng d đi qua điểm $// <![CDATA[ A(5;3) // ]]>$ và nhận $// <![CDATA[ \vec{u}=(-2;4) // ]]>$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó đường thẳng d sẽ có phương trình chính tắc là: \(\dfrac{x-5}{-2}=\dfrac{y-3}{4}\) $// <![CDATA[ \dfrac{x-5}{-2}=\dfrac{y-3}{4} // ]]>$

Ví dụ 5:

Viết phương trình đường thẳng $// <![CDATA[ d // ]]>$ dạng chính tắc biết $// <![CDATA[ d // ]]>$ đi qua điểm $// <![CDATA[ A(2;0) // ]]>$ và $// <![CDATA[ B(2;3) // ]]>$ .

Giải:

Vì hai điểm $// <![CDATA[ A, B // ]]>$ đều thuộc đường thẳng $// <![CDATA[ d // ]]>$ nên $// <![CDATA[ d // ]]>$ nhận vectơ $// <![CDATA[ \vec{AB}(0;3) // ]]>$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó ta có đường thẳng $// <![CDATA[ d // ]]>$ đi qua điểm $// <![CDATA[ B(2;3) // ]]>$ nhận vectơ $// <![CDATA[ \vec{AB}(0;3) // ]]>$ làm chỉ phương sẽ có phương trình là: \(\dfrac{x-2}{0}=\dfrac{y-3}{3}\).

Kết luận như trên có đúng không?

Nếu không chú ý thì các bạn sẽ kết luận phương trình trên là phương trình đường thẳng dạng chính tắc của $// <![CDATA[ d // ]]>$ .

Thực chất thì không tồn tại phương trình trên vì vectơ chỉ phương $// <![CDATA[ \vec{AB}=(0;3)=(a;b) // ]]>$ có $// <![CDATA[ a=0 // ]]>$ . Do đó không thỏa mãn điều kiện để tồn tại phương trình chính tắc.

4. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Đường thẳng có phương trình \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\) $// <![CDATA[ (a\neq 0, b\neq 0) // ]]>$ đi qua hai điểm $// <![CDATA[ A(a;0) // ]]>$ và $// <![CDATA[ B(0;b) // ]]>$ . Phương trình có dạng như vậy được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn luôn cắt 2 trục tọa độ tại hai điểm A và B và tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông tại O.

Chú ý:

Chúng ta chỉ có thể viết được phương trình đường thẳng theo đoạn chắn khi đường thẳng đó đi qua hai điểm phân biệt A và B với điều kiện A và B không cùng thuộc một trục tọa độ Ox hoặc Oy.

Ví dụ 6:

Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm $// <![CDATA[ M(2;0) // ]]>$ và điểm $// <![CDATA[ N(0;5) // ]]>$ thì đường thẳng d sẽ có phương trình là: \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{5}=1\) $// <![CDATA[ \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{5}=1 // ]]>$

Trên đây là những lý thuyết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy mà các bạn cần phải nắm được. Đó là những lý thuyết rất cơ bản giúp chúng ta nghiên cứu sâu hơn về phần này. Bên cạnh đó là những ví dụ hết sức đơn giản, mục đích chỉ là để minh họa cho phần lý thuyết khô cứng trở nên mềm dẻo hơn và tiếp thu dễ hơn. Giờ chúng ta cùng đi làm một vài bài tập áp dụng.

5. Bài tập áp dụng

Bài tập 1:

Cho tam giác ABC biết tọa độ đỉnh là $// <![CDATA[ A(1;2) // ]]>$ ; $// <![CDATA[ B(3;2) // ]]>$ và $// <![CDATA[ C(2;-3) // ]]>$

a. Viết phương trình đường thẳng trung trực của cạnh AB.

b. Viết phương trình đường trung tuyến đi qua đỉnh C.

c. Viết phương trình đường cao ứng với cạnh BC.

d. Viết phương trình đường trung bình của tam giác ABC cắt hai cạnh AB và AC.

Hướng dẫn giải:

Trong tất cả các ý của bài toán không yêu cầu cụ thể viết phương trình đường thẳng theo dạng nào: Tổng quát, tham số hay chính tắc. Do đó thuận lợi theo cách nào thì viết theo cách đó.

a. Viết phương trình đường thẳng trung trực của cạnh AB.

Gọi $// <![CDATA[ d // ]]>$ là đường trung trực của cạnh AB. Đường trung trực của cạnh AB đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với đoạn AB. Do đó $// <![CDATA[ d // ]]>$ sẽ nhận $// <![CDATA[ \vec{AB}(2;0) // ]]>$ làm vectơ pháp tuyến.

Tọa độ trung điểm I của cạnh AB là: $// <![CDATA[ I(2;2) // ]]>$

Phương trình tổng quát của đường thẳng $// <![CDATA[ d // ]]>$ là: $// <![CDATA[ 2(x-2)+0(y-2)=0 \Leftrightarrow x-2=0 // ]]>$

b. Viết phương trình đường trung tuyến đi qua đỉnh C

Gọi $// <![CDATA[ d // ]]>$ là đường trung tuyến đi qua C của tam giác ABC. Đường trung tuyến đi qua đỉnh C của tam giác ABC do đó nó sẽ đi qua trung điểm của cạnh AB. Như vậy $// <![CDATA[ d // ]]>$ sẽ đi qua hai điểm là I và C

Đường thẳng $// <![CDATA[ d // ]]>$ nhận $// <![CDATA[ \vec{CI}=(0;5) // ]]>$ làm vectơ chỉ phương và đi qua $// <![CDATA[ C(2;-3) // ]]>$ .

Phương trình tham số của đường thẳng $// <![CDATA[ d // ]]>$ là: $// <![CDATA[ \left\{\begin{array}{ll}x=2+0.t\\y=-3+5t\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=2\\y=-3+5t\end{array}\right.t\in Z // ]]>$

Ở ý này các bạn có thể viết ở dạng phương trình chính tắc.

c. Viết phương trình đường cao ứng với cạnh BC.

Gọi $// <![CDATA[ d // ]]>$ là đường cao ứng với cạnh BC của tam giác ABC. Ta có $// <![CDATA[ d // ]]>$ sẽ vuông góc với BC và đi qua $// <![CDATA[ A(1;2) // ]]>$ do đó $// <![CDATA[ d // ]]>$ sẽ nhận $// <![CDATA[ \vec{BC}=(-1;-5) // ]]>$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường cao ứng với cạnh BC là:

$// <![CDATA[ -1(x-1)-5(y-2)=0\Leftrightarrow -x-5y+11=0 // ]]>$

d. Viết phương trình đường trung bình của tam giác ABC cắt hai cạnh AB và AC.

Đường trung bình của tam giác ABC sẽ đi qua trung điểm của hai cạnh AB và AC. Trước tiên các bạn xác định tọa độ trung điểm của hai điểm này.

Trung điểm của cạnh AB là $// <![CDATA[ I(2;2) // ]]>$

Gọi P là trung điểm của cạnh AC \(\Rightarrow P(\dfrac{3}{2};\dfrac{-1}{2})\) $// <![CDATA[ \Rightarrow P(\dfrac{3}{2};\dfrac{-1}{2}) // ]]>$

Ta có vectơ $// <![CDATA[ \vec{IP} // ]]>$ là: \(\vec{IP}(\dfrac{-1}{2};\dfrac{-5}{2})\) $// <![CDATA[ \vec{IP}(\dfrac{-1}{2};\dfrac{-5}{2}) // ]]>$

Đường trung bình IP của tam giác ABC có vectơ chỉ phương là: \(\vec{u}=-2\vec{IP} =-2(\dfrac{-1}{2};\dfrac{-5}{2})=(1;5)\) $// <![CDATA[ \vec{u}=-2\vec{IP} =-2(\dfrac{-1}{2};\dfrac{-5}{2})=(1;5) // ]]>$

Đường trung bình IP đi qua điểm $// <![CDATA[ I(2;2) // ]]>$ nhận $// <![CDATA[ \vec{u} // ]]>$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là:

\(\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{5}\)
$// <![CDATA[ \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{5} // ]]>$

Ở trên thầy lấy vectơ chỉ phương của đường thẳng IP như vậy là cho dễ tính và nó cũng gọn gàng hơn. Các bạn có thể lấy những vectơ chỉ phương khác miễn sao nó vẫn tỷ lệ với $// <![CDATA[ \vec{IP} // ]]>$ là được.

Ngoài ra các bạn có thể viết phương trình đường trung bình trên bằng cách cho đi qua điểm I và nhận $// <![CDATA[ \vec{BC} // ]]>$ làm vectơ chỉ phương. Như vậy sẽ nhanh hơn được một chút.