HỆ THỨC VI-ET VÀ CÁC BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NGHIỆM CHO TRƯỚC

HỆ THỨC VI-ET VÀ CÁC BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NGHIỆM CHO TRƯỚC

A. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm \(\left( {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};x_1^2 + x_2^2;...} \right)\)

Phương pháp: Sử dụng hệ thức Vi-et, biến dổi biểu thức đã cho xuất hiện tổng và tích từ đó tính được giá trị biểu thức.

Các hệ thức thường gặp:

\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {S^2} - 2P\\{x_1} - {x_2} =  \pm \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  =  \pm \sqrt {{S^2} - 4P} \\{x_2} - {x_1} =  \pm \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  =  \pm \sqrt {{S^2} - 4P} \\x_1^2 - x_2^2 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) =  \pm \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  =  \pm S\sqrt {{S^2} - 4P} \\x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = S\left( {{S^2} - 3P} \right)\\x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2} \right)^2} + {\left( {x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2 = {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2x_1^2x_2^2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}\\\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{S}{P}\\\frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ \pm \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} }}{{{x_1}{x_2}}} =  \pm \frac{{\sqrt {{S^2} - 4P} }}{P}\\\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} - \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{x_1^2 - x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} =  \pm \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} }}{{{x_1}{x_2}}} =  \pm \frac{{S\sqrt {{S^2} - 4P} }}{P}\\x_1^3 - x_2^3 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( { \pm \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} } \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right] =  \pm \left( {\sqrt {{S^2} - 4P} } \right)\left[ {{S^2} - P} \right]\\x_1^4 - x_2^4 = {\left( {x_1^2} \right)^2} - {\left( {x_2^2} \right)^2} = \left( {x_1^2 + x_2^2} \right)\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) =  \pm \left( {{S^2} - 2P} \right)\left( {S\sqrt {{S^2} - 4P} } \right)\end{array}\)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2  = 0\). Không giải phương trình, tích các giá trị của các biểu thức sau:

\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\\B = x_1^2 + x_2^2\\C = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\\D = x_1^3 + x_2^3\end{array}\)

Giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} =  - 1\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} =  - 2 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - 1}}{{ - 2 + \sqrt 2 }}\\B = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 1 - \left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) = 3 - \sqrt 2 \\C = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {1 - 4\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right)}  = 2\sqrt 2  - 1\\D = x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) =  - 1 + 3\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) =  - 7 + 3\sqrt 2 \end{array}\)  

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x - 7 = 0\). Không giải phương trình. Tính các giá trị của các biểu thức sau:

\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{{x_1} - 1}} + \frac{1}{{{x_2} - 1}}\\B = x_1^2 + x_2^2\\C = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\\D = x_1^3 + x_2^3\\E = x_1^4 + x_2^4\\F = \left( {3{x_1} + {x_2}} \right)\left( {3{x_2} + {x_1}} \right)\end{array}\)

Bài 2: Cho phương trình \({x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) không giải phương trình tính \(Q = \frac{{6x_1^2 + 10{x_1}{x_2} + 6x_2^2}}{{5{x_1}x_2^3 + 5x_1^3{x_2}}}\)

Bài 3: Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 5x - 6 = 0\). Không giải phương trình, tính các giá trị của biểu thức sau:

\(\begin{array}{l}A = \left( {3{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {3{x_2} - 2{x_1}} \right)\\B = \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 1}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 1}}\\C = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\\D = \frac{{{x_1} + 2}}{{{x_1}}} + \frac{{{x_2} + 2}}{{{x_2}}}\end{array}\)

B. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích hai nghiệm

Phương pháp: Áp dụng nếu \({x_1} + {x_2} = S,\,\,{x_1}{x_2} = P\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\).

Ví dụ minh họa

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là \(\frac{1}{{10 - \sqrt {72} }}\) và \(\frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }}\)

Giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}S = \frac{1}{{10 - \sqrt {72} }} + \frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }} = \frac{5}{7}\\P = \frac{1}{{10 - \sqrt {72} }}.\frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }} = \frac{1}{{28}}\end{array} \right.\)  

Vậy phương trình có hai nghiệm \(\frac{1}{{10 - \sqrt {72} }}\) và \(\frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }}\) là \({X^2} - \frac{5}{7}X + \frac{1}{{28}} = 0\)

Bài 2: Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x - 7 = 0\). Không giải phương trình. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{1}{{{x_1} - 1}}\) và \(\frac{1}{{{x_2} - 1}}\)

Giải

Ta có \(ac < 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

\(\left\{ \begin{array}{l}S = \frac{1}{{{x_1} - 1}} + \frac{1}{{{x_2} - 1}} = \frac{{{x_2} + {x_1} - 2}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} = \frac{1}{{ - 9}}\\P = \frac{1}{{{x_1} - 1}}.\frac{1}{{{x_2} - 1}} = \frac{1}{{ - 9}}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình bậc hai có 2 nghiệm \(\frac{1}{{{x_1} - 1}}\) và \(\frac{1}{{{x_2} - 1}}\) là \({X^2} + \frac{1}{9}X - \frac{1}{9} = 0\)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 7x + 4 = 0\). Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{p}{{q - 1}}\) và \(\frac{q}{{p - 1}}\).

Bài 2: Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 5x - 6 = 0\). Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm \({y_1};{y_2}\) thỏa mãn \({y_1} = 2{x_1} - {x_2}\) và \({y_2} = 2{x_2} - {x_1}\).

Bài 3: Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 3x - 1 = 0\). Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm \({y_1};{y_2}\) thỏa mãn

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = {x_1} + 2\\{y_2} = {x_2} + 2\end{array} \right.\\b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = \frac{{x_1^2}}{{{x_2}}}\\{y_2} = \frac{{x_2^2}}{{{x_1}}}\end{array} \right.\end{array}\)

Bài 4: Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + x - 1 = 0\). Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm \({y_1};{y_2}\) thỏa mãn:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\\\frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} + \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}} = 3{x_1} + 3{x_2}\end{array} \right.\\b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = x_1^2 + x_2^2\\y_1^2 + y_2^2 + 5{x_2} + 5{x_1} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Bài 5: Cho phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thỏa mãn: \({y_1} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}};\,\,{y_2} = {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}\) .