HỆ THỨC VI-ET VÀ CÁC BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NGHIỆM CHO TRƯỚC

Cập nhật lúc: 11:36 13-09-2018 Mục tin: LỚP 10


+) Sử dụng hệ thức Vi-et, biến dổi biểu thức đã cho xuất hiện tổng và tích từ đó tính được giá trị biểu thức. +) Áp dụng nếu \({x_1} + {x_2} = S,\,\,{x_1}{x_2} = P\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\). Nguồn: Sưu Tầm

HỆ THỨC VI-ET VÀ CÁC BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NGHIỆM CHO TRƯỚC

A. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm \(\left( {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};x_1^2 + x_2^2;...} \right)\)

Phương pháp: Sử dụng hệ thức Vi-et, biến dổi biểu thức đã cho xuất hiện tổng và tích từ đó tính được giá trị biểu thức.

Các hệ thức thường gặp:

\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {S^2} - 2P\\{x_1} - {x_2} =  \pm \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  =  \pm \sqrt {{S^2} - 4P} \\{x_2} - {x_1} =  \pm \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  =  \pm \sqrt {{S^2} - 4P} \\x_1^2 - x_2^2 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) =  \pm \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  =  \pm S\sqrt {{S^2} - 4P} \\x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = S\left( {{S^2} - 3P} \right)\\x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2} \right)^2} + {\left( {x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2 = {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2x_1^2x_2^2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}\\\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{S}{P}\\\frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ \pm \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} }}{{{x_1}{x_2}}} =  \pm \frac{{\sqrt {{S^2} - 4P} }}{P}\\\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} - \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{x_1^2 - x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} =  \pm \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} }}{{{x_1}{x_2}}} =  \pm \frac{{S\sqrt {{S^2} - 4P} }}{P}\\x_1^3 - x_2^3 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( { \pm \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} } \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right] =  \pm \left( {\sqrt {{S^2} - 4P} } \right)\left[ {{S^2} - P} \right]\\x_1^4 - x_2^4 = {\left( {x_1^2} \right)^2} - {\left( {x_2^2} \right)^2} = \left( {x_1^2 + x_2^2} \right)\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) =  \pm \left( {{S^2} - 2P} \right)\left( {S\sqrt {{S^2} - 4P} } \right)\end{array}\)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2  = 0\). Không giải phương trình, tích các giá trị của các biểu thức sau:

\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\\B = x_1^2 + x_2^2\\C = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\\D = x_1^3 + x_2^3\end{array}\)

Giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} =  - 1\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} =  - 2 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - 1}}{{ - 2 + \sqrt 2 }}\\B = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 1 - \left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) = 3 - \sqrt 2 \\C = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {1 - 4\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right)}  = 2\sqrt 2  - 1\\D = x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) =  - 1 + 3\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) =  - 7 + 3\sqrt 2 \end{array}\)  

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x - 7 = 0\). Không giải phương trình. Tính các giá trị của các biểu thức sau:

\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{{x_1} - 1}} + \frac{1}{{{x_2} - 1}}\\B = x_1^2 + x_2^2\\C = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\\D = x_1^3 + x_2^3\\E = x_1^4 + x_2^4\\F = \left( {3{x_1} + {x_2}} \right)\left( {3{x_2} + {x_1}} \right)\end{array}\)

Bài 2: Cho phương trình \({x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) không giải phương trình tính \(Q = \frac{{6x_1^2 + 10{x_1}{x_2} + 6x_2^2}}{{5{x_1}x_2^3 + 5x_1^3{x_2}}}\)

Bài 3: Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 5x - 6 = 0\). Không giải phương trình, tính các giá trị của biểu thức sau:

\(\begin{array}{l}A = \left( {3{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {3{x_2} - 2{x_1}} \right)\\B = \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 1}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 1}}\\C = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\\D = \frac{{{x_1} + 2}}{{{x_1}}} + \frac{{{x_2} + 2}}{{{x_2}}}\end{array}\)

B. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích hai nghiệm

Phương pháp: Áp dụng nếu \({x_1} + {x_2} = S,\,\,{x_1}{x_2} = P\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\).

Ví dụ minh họa

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là \(\frac{1}{{10 - \sqrt {72} }}\) và \(\frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }}\)

Giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}S = \frac{1}{{10 - \sqrt {72} }} + \frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }} = \frac{5}{7}\\P = \frac{1}{{10 - \sqrt {72} }}.\frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }} = \frac{1}{{28}}\end{array} \right.\)  

Vậy phương trình có hai nghiệm \(\frac{1}{{10 - \sqrt {72} }}\) và \(\frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }}\) là \({X^2} - \frac{5}{7}X + \frac{1}{{28}} = 0\)

Bài 2: Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x - 7 = 0\). Không giải phương trình. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{1}{{{x_1} - 1}}\) và \(\frac{1}{{{x_2} - 1}}\)

Giải

Ta có \(ac < 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

\(\left\{ \begin{array}{l}S = \frac{1}{{{x_1} - 1}} + \frac{1}{{{x_2} - 1}} = \frac{{{x_2} + {x_1} - 2}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} = \frac{1}{{ - 9}}\\P = \frac{1}{{{x_1} - 1}}.\frac{1}{{{x_2} - 1}} = \frac{1}{{ - 9}}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình bậc hai có 2 nghiệm \(\frac{1}{{{x_1} - 1}}\) và \(\frac{1}{{{x_2} - 1}}\) là \({X^2} + \frac{1}{9}X - \frac{1}{9} = 0\)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 7x + 4 = 0\). Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{p}{{q - 1}}\) và \(\frac{q}{{p - 1}}\).

Bài 2: Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 5x - 6 = 0\). Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm \({y_1};{y_2}\) thỏa mãn \({y_1} = 2{x_1} - {x_2}\) và \({y_2} = 2{x_2} - {x_1}\).

Bài 3: Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 3x - 1 = 0\). Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm \({y_1};{y_2}\) thỏa mãn

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = {x_1} + 2\\{y_2} = {x_2} + 2\end{array} \right.\\b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = \frac{{x_1^2}}{{{x_2}}}\\{y_2} = \frac{{x_2^2}}{{{x_1}}}\end{array} \right.\end{array}\)

Bài 4: Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + x - 1 = 0\). Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm \({y_1};{y_2}\) thỏa mãn:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\\\frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} + \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}} = 3{x_1} + 3{x_2}\end{array} \right.\\b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = x_1^2 + x_2^2\\y_1^2 + y_2^2 + 5{x_2} + 5{x_1} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Bài 5: Cho phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thỏa mãn: \({y_1} = {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}};\,\,{y_2} = {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}}\) .

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2018