Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

A. PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH CHẴN – LẺ CỦA HÀM SỐ

1. Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có tập xác định D.

• Hàm số \(f\) được gọi là hàm số chẵn nếu với \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\) .

• Hàm số \(f\)  được gọi là hàm số lẻ nếu với \(\forall x \in D\)thì \( - x \in D\) và \(f\left( x \right) =  - f\left( { - x} \right)\)

Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.

2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ

• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

3. Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(D\)

• \(f\) là hàm số chẵn \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

• \(f\) là hàm số lẻ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\end{array} \right.\)

Các bước xét tính chẵn, lẻ của hàm số:

• Bước 1. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.

• Bước 2. Kiểm tra:

+ Nếu \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\) thì chuyển qua bước 3.

+ Nếu tồn tại \({x_0} \in D\)  mà \( - {x_0} \notin D\) thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.

• Bước 3. Xác định \(f\left( { - x} \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right):\)  

+ Nếu \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) thì kết luận hàm số là chẵn.

+ Nếu \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)thì kết luận hàm số là lẻ.

B. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}\)  

b) \(f\left( x \right) = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1} \)

c) \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5}  + \sqrt {5 - x} \)

d) \(f\left( x \right) = \sqrt {2 + x}  + \frac{1}{{\sqrt {2 - x} }}\)

Giải

a) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)

Với mọi \(x \in R\) ta  có \( - x \in R\) và \(f\left( { - x} \right) = 3{\left( { - x} \right)^3} + 2\sqrt[3]{{ - x}} =  - \left( {3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}} \right) =  - f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}\)là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số:  \(D = R\)

Với mọi \(x \in R\)ta có \( - x \in R\) và \(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^4} + \sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1}  = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1}  = f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1} \) là hàm số chẵn.

c) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5 \ge 0\\5 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 5\\x \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 5 \le x \le 5\)

Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - 5;5} \right]\)

Với mọi \(x \in \left[ { - 5;5} \right]\)ta có \( - x \in \left[ { - 5;5} \right]\) và \(f\left( { - x} \right) = \sqrt { - x + 5}  + \sqrt {5 - \left( { - x} \right)}  = \sqrt {5 - x}  + \sqrt {x + 5}  = f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5}  + \sqrt {5 - x} \) là hàm số chẵn.

d) Điều kiện xác định: \[\left\{ \begin{array}{l}2 + x \ge 0\\2 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 \le x < 2\]

Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - 2;2} \right)\)

Ta có \({x_0} =  - 2 \in \left[ { - 2;2} \right)\)  nhưng  \( - {x_0} = 2 \notin \left[ { - 2;2} \right)\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2 + x}  + \frac{1}{{\sqrt {2 - x} }}\) không chẵn và không lẻ.

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^4} - 4x + 2\)

b) \(f\left( x \right) = \left| {\left| {x + 2} \right| - \left| {x - 2} \right|} \right|\)

c) \(f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}\)

d) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 1\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,khi\,\,x = 0\\1\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.\)

Giải

a) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)  

Ta có \[f\left( { - 1} \right) = 7;\,\,f\left( 1 \right) =  - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) \ne f\left( 1 \right)\\f\left( { - 1} \right) \ne  - f\left( 1 \right)\end{array} \right.\]

Vậy hàm số không chẵn và không lẻ.

b) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)

Với mọi \(x \in R\) ta có \( - x \in R\) và \(f\left( { - x} \right) = \left| {\left| { - x + 2} \right| - \left| { - x - 2} \right|} \right| = \left| {\left| {2 - x} \right| - \left| {x + 2} \right|} \right| = \left| {\left| {x - 2} \right| - \left| {x + 2} \right|} \right|\)

Suy ra \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)  

Do đó \(f\left( x \right) = \left| {\left| {x + 2} \right| - \left| {x - 2} \right|} \right|\) là hàm số chẵn.

c) Ta có \(\sqrt {{x^2} + 1}  > \sqrt {{x^2}}  = \left| x \right| \ge x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  - x \ne 0\,\,\forall x\)

Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D = R\) .

Mặt khác \(\sqrt {{x^2} + 1}  > \sqrt {{x^2}}  = \left| x \right| \ge  - x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  + x \ne 0\,\,\forall x\) do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)}} - 2{x^2} - 1 = 2x\sqrt {{x^2} + 1} \)

Với mọi \(x \in R\) ta có  \( - x \in R\) và \(f\left( { - x} \right) = 2\left( { - x} \right)\sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1}  =  - 2x\sqrt {{x^2} + 1}  =  - f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}\)là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)  

Dễ thấy với mọi \(x \in R\) ta có  \( - x \in R\)

Với mọi \(x > 0\) ta có \( - x < 0\) suy ra \(f\left( { - x} \right) =  - 1\), \(f\left( x \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)

Với mọi \(x < 0\) ta có \( - x > 0\) suy ra \(f\left( { - x} \right) = 1;\,\,f\left( x \right) =  - 1 \Rightarrow f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)

Và \(f\left( { - 0} \right) =  - f\left( 0 \right) = 0\)

Do đó với mọi \(x \in R\)ta có \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)
Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 1\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,khi\,\,x = 0\\1\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.\)là hàm số lẻ.
Ví dụ 3. Tìm \(m\)  để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}}\) là hàm số chẵn.

Điều kiện xác định: \(\sqrt {{x^2} + 1}  \ne m\)
Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\)  là hàm số chẵn suy ra \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)với mọi xx thỏa mãn điều kiện \(\sqrt {{x^2} + 1}  \ne m\)
Ta có  \(f\left( { - x} \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}}\)
Suy ra \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}} = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}} \Leftrightarrow 2\left( {2{m^2} - 2} \right)x = 0\) với mọi \(x\) thỏa mãn điều kiện xác định \( \Leftrightarrow 2{m^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1\).

+ Với \(m = 1\)  ta có hàm số là \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}\)
Điều kiện xác định: \(\sqrt {{x^2} + 1}  \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0\)  
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\)  
Dễ thấy với mọi \(x \in R\backslash \left\{ 0 \right\}\) ta có \( - x \in R\backslash \left\{ 0 \right\}\)  và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}\) là hàm số chẵn.
+ Với \(m =  - 1\) ta có hàm số là \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}}\)
Tập xác định của hàm số \(D = R\)
Dễ thấy với mọi \(x \in R\)  ta có \( - x \in R\)  và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)  
Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}}\) là hàm số chẵn.
Vậy \(m =  \pm 1\)  là giá trị cần tìm.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Đề bài
Bài toán 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^3} + 5{x^2} + 4\)
b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 5}}{{{x^2} + 1}}\)
c) \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1}  - \sqrt {1 - x} \)
d) \(f\left( x \right) = \frac{{x - 5}}{{x - 1}}\)
e) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 1\)
f) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{\left| x \right| - 1}}\)
g) \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right| + \left| {x + 1} \right|}}{{\left| {2x - 1} \right| + \left| {2x + 1} \right|}}\)
h) \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x + 2} \right| + \left| {x - 2} \right|}}{{\left| {x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right|}}\)

Bài toán 2. Tìm \(m\)  để hàm số: \(y = f\left( x \right) = \frac{{x\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2m - 1} \right)}}{{x - 2m + 1}}\)  là hàm số chẵn.

Bài toán 3. Cho hàm số \(y = f\left( x \right);\,\,y = g\left( x \right)\) có cùng tập xác định \(D\). Chứng minh rằng:
a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\)là hàm số lẻ.
b) Nếu hai hàm số trên một chẵn, một lẻ thì hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\)là hàm số lẻ.

Bài toán 4.
a) Tìm \(m\)  để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ \(O\)  làm tâm đối xứng: \(y = {x^3} - \left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + m - 3\)
b) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: \(y = {x^4} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^3} + {m^2} - 1\)

Bài toán 5. Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: \(y = {x^2} + \sqrt {3 - x}  + \sqrt {3 + x} \)

2. Hướng dẫn giải và đáp số
Bài toán 1.
a) Hàm số lẻ.
b) Hàm số chẵn.
c) Tập xác định của hàm số là \(D = \left[ { - 1;1} \right]\)  nên \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)
Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \sqrt {1 - x}  = \sqrt {1 + x}  =  - f\left( x \right)\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
d) Tập xác định của hàm số là: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)  
Ta có \(x =  - 1 \in D\) nhưng \( - x = 1 \notin D\)
Do đó hàm số không chẵn và không lẻ.
e) Tập xác định của hàm số là: \(D = R\)  
Ta có \(f\left( 1 \right) = 2;\,\,f\left( { - 1} \right) = 6\)
Suy ra \(f\left( { - 1} \right) \ne f\left( 1 \right);\,\,f\left( { - 1} \right) \ne  - f\left( 1 \right)\)  
Do đó hàm số không chẵn và không lẻ.
f) Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) nên \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \frac{{ - {x^3}}}{{\left| { - x} \right| - 1}} = \frac{{ - {x^3}}}{{\left| x \right| - 1}} =  - f\left( x \right)\,\,\forall x \in D\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
g) Tập xác định của hàm số là \(D = R\)nên \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)
Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \frac{{\left| { - x - 1} \right| + \left| { - x + 1} \right|}}{{\left| { - 2x - 1} \right| + \left| { - 2x + 1} \right|}} = f\left( x \right)\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
h) Điều kiện xác định: \(\left| {x - 1} \right| \ne \left| {x + 1} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne x + 1\\x - 1 \ne  - \left( {x + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 0\)
Suy ra tập xác định của hàm số là \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\), do đó \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)
Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \frac{{\left| { - x + 2} \right| + \left| { - x - 2} \right|}}{{\left| { - x - 1} \right| - \left| { - x + 1} \right|}} =  - f\left( x \right)\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài toán 2. Đáp số \(m = \frac{1}{2}\).

Bài toán 3.
a) Ta có hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) có tập xác định \(D\)
Do hàm số \(y = f\left( x \right);\,\,y = g\left( x \right)\)  lẻ nên \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)và \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right);\,\,g\left( { - x} \right) =  - g\left( x \right)\) suy ra \(y\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right) + g\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right) - g\left( x \right) =  - \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] =  - y\left( x \right)\)
Suy ra hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
b) Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right);\,\,y = g\left( x \right)\) lẻ.
Khi đó hàm số \(y = f\left( x \right)g\left( x \right)\)  có tập xác định là \(D\)  nên \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)
Ta có \(y\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right)g\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\left( { - g\left( x \right)} \right) =  - f\left( x \right)g\left( x \right) =  - y\left( x \right)\)
Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)g\left( x \right)\) lẻ.

Bài toán 4.
a) Tập xác định của hàm số: \(D = R\) , suy ra \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)
Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc tọa độ \(O\)  làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ \[ \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right) \Leftrightarrow {\left( { - x} \right)^3} - \left( {{m^2} - 9} \right){\left( { - x} \right)^2} + \left( {m + 3} \right)\left( { - x} \right) + m - 3 =  - \left[ {{x^3} - \left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + m - 3} \right]\]

\( \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right) = 0\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 9 = 0\\m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3\)
b) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)  suy ra \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)
Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn \( \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - x} \right)^4} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right){\left( { - x} \right)^3} + {m^2} - 1 = {x^4} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^3} + {m^2} - 1\\ \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^3} = 0\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Bài toán 5. Tập xác định của hàm số: \(D = R\)
\(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)
Ta có: \(y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} + \sqrt {3 - \left( { - x} \right)}  + \sqrt {3 + \left( { - x} \right)}  = {x^2} + \sqrt {3 + x}  + \sqrt {3 - x}  = y\left( x \right)\)
Do đó hàm số \(y = {x^2} + \sqrt {3 - x}  + \sqrt {3 + x} \) là hàm số chẵn, nên nhận trục tung làm trục đối xứng.