GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Dạng 1: Phương trình đối xứng (hay phương trình quy hồi):

\(a{x^4} \pm b{x^3} \pm c{x^2} \pm kbx + {k^2}a = 0\,\,\left( {k > 0} \right)\)

Với dạng này ta chia hai vế cho \({x^2}\,\,\left( {x \ne 0} \right)\) ta được:

\(a\left( {{x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}}} \right) \pm b\left( {x + \frac{k}{x}} \right) + c = 0\)

Đặt \(t = x + \frac{k}{x}\) với \(\left| t \right| \ge 2\sqrt k \) ta có : \({x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{k}{x}} \right)^2} - 2k = {t^2} - 2k\), thay vào ta được phương trình : \(a\left( {{t^2} - 2k} \right) \pm t + c = 0\)

Dạng 2 : Phương trình \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e\)  trong đó \(a + b = c + d\)

Phương trình \( \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab} \right]\left[ {{x^2} + \left( {c + d} \right)x + cd} \right] = e\)

Đặt \(t = {x^2} + \left( {a + b} \right)x\) ta có \(\left( {t + ab} \right)\left( {t + cd} \right) = e\)

Dạng 3: Phương trình \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e{x^2}\), trong đó \(ab = cd\). Với dạng nàu ta chia hai vế của phương trình cho \({x^2}\,\,\left( {x \ne 0} \right)\). Phương trình tương đương:

\(\begin{array}{l}\left[ {{x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab} \right]\left[ {{x^2} + \left( {c + d} \right)x + cd} \right] = {{\rm{?}}^2}\\ \Leftrightarrow \left[ {x + \frac{{ab}}{x} + a + b} \right]\left[ {x + \frac{{cd}}{x} + c + d} \right] = e\end{array}\)

Đặt \(t = x + \frac{{ab}}{x} = x + \frac{{cd}}{x}\). Ta có phương trình \(\left( {t + a + b} \right)\left( {t + c + d} \right) = e\)

Dạng 4 : Phương trình \({\left( {x + a} \right)^4} + {\left( {x + b} \right)^4} = c\). Đặt \(x = t - \frac{{a + b}}{2}\) ta đưa về phương trình trùng phương.

Bài 1 : Giải các phương trình

\(\begin{array}{l}1)\,\,2{x^4} - 5{x^3} + 6{x^2} - 5x + 2 = 0\\2)\,\,{\left( {x + 1} \right)^4} + {\left( {x + 3} \right)^4} = 0\\3)\,\,x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 24\\4)\,\,\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x - 6} \right) + 6{x^2} = 0\end{array}\)

Lời giải 

1) Ta thấy \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho \({x^2}\) ta được :

\(2\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - 5\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 6 = 0\). Đặt \(t = x + \frac{1}{x}\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right) \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 2 = {t^2} - 2\)

Có \(2\left( {{t^2} - 2} \right) - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Với \(t = 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

2) Đặt \(x = t - 2\) ta được \({\left( {t - 1} \right)^4} + {\left( {t + 1} \right)^4} = 2 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - 2\).

Chú ý : Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác : Trước hết ta có bất đẳng thức :