GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Cập nhật lúc: 14:14 13-09-2018 Mục tin: LỚP 10


Dạng 1: Phương trình đối xứng (hay phương trình quy hồi): Dạng 2 : Phương trình \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e\) trong đó \(a + b = c + d\) Dạng 3: Phương trình \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e{x^2}\), trong đó \(ab = cd\). Dạng 4 : Phương trình \({\left( {x + a} \right)^4} + {\left( {x + b} \right)^4} = c\). Nguồn: Nguyễn Tiến

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Dạng 1: Phương trình đối xứng (hay phương trình quy hồi):

\(a{x^4} \pm b{x^3} \pm c{x^2} \pm kbx + {k^2}a = 0\,\,\left( {k > 0} \right)\)

Với dạng này ta chia hai vế cho \({x^2}\,\,\left( {x \ne 0} \right)\) ta được:

\(a\left( {{x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}}} \right) \pm b\left( {x + \frac{k}{x}} \right) + c = 0\)

Đặt \(t = x + \frac{k}{x}\) với \(\left| t \right| \ge 2\sqrt k \) ta có : \({x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{k}{x}} \right)^2} - 2k = {t^2} - 2k\), thay vào ta được phương trình : \(a\left( {{t^2} - 2k} \right) \pm t + c = 0\)

Dạng 2 : Phương trình \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e\)  trong đó \(a + b = c + d\)

Phương trình \( \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab} \right]\left[ {{x^2} + \left( {c + d} \right)x + cd} \right] = e\)

Đặt \(t = {x^2} + \left( {a + b} \right)x\) ta có \(\left( {t + ab} \right)\left( {t + cd} \right) = e\)

Dạng 3: Phương trình \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e{x^2}\), trong đó \(ab = cd\). Với dạng nàu ta chia hai vế của phương trình cho \({x^2}\,\,\left( {x \ne 0} \right)\). Phương trình tương đương:

\(\begin{array}{l}\left[ {{x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab} \right]\left[ {{x^2} + \left( {c + d} \right)x + cd} \right] = {{\rm{?}}^2}\\ \Leftrightarrow \left[ {x + \frac{{ab}}{x} + a + b} \right]\left[ {x + \frac{{cd}}{x} + c + d} \right] = e\end{array}\)

Đặt \(t = x + \frac{{ab}}{x} = x + \frac{{cd}}{x}\). Ta có phương trình \(\left( {t + a + b} \right)\left( {t + c + d} \right) = e\)

Dạng 4 : Phương trình \({\left( {x + a} \right)^4} + {\left( {x + b} \right)^4} = c\). Đặt \(x = t - \frac{{a + b}}{2}\) ta đưa về phương trình trùng phương.

Bài 1 : Giải các phương trình

\(\begin{array}{l}1)\,\,2{x^4} - 5{x^3} + 6{x^2} - 5x + 2 = 0\\2)\,\,{\left( {x + 1} \right)^4} + {\left( {x + 3} \right)^4} = 0\\3)\,\,x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 24\\4)\,\,\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x - 6} \right) + 6{x^2} = 0\end{array}\)

Lời giải 

1) Ta thấy \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho \({x^2}\) ta được :

\(2\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - 5\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 6 = 0\). Đặt \(t = x + \frac{1}{x}\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right) \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 2 = {t^2} - 2\)

Có \(2\left( {{t^2} - 2} \right) - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Với \(t = 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

2) Đặt \(x = t - 2\) ta được \({\left( {t - 1} \right)^4} + {\left( {t + 1} \right)^4} = 2 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - 2\).

Chú ý : Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác : Trước hết ta có bất đẳng thức :

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021