PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ

A. Giải và biện luận phương trình

Ví dụ minh họa

Bài 1: Với tham số ở hệ phương trình bậc hai

Cho phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\) (1) với m là tham số. Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1).

Giải

Bước 1:

+) Nếu \(m = 0\) thay vào (1) ta có \(4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\)

Bước 2 :

+) Nếu \(m \ne 0\). Lập biệt số \(\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - m\left( {m - 3} \right) =  - m + 4\)

\(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow  - m + 4 < 0 \Leftrightarrow m > 4:\) Phương trình (1) vô nghiệm

\(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow  - m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4:\) Phương trình (1) có nghiệm kép

\({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a} = \frac{{m - 2}}{m} = \frac{{4 - 2}}{4} = \frac{1}{2}\)

\(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow  - m + 4 > 0 \Leftrightarrow m < 4:\) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

\({x_1} = \frac{{m - 2 - \sqrt { - m + 4} }}{m};\,\,{x_2} = \frac{{m - 2 + \sqrt { - m + 4} }}{m}\)

Vậy :

\(m > 4:\) Phương trình (1) vô nghiệm

\(m = 4:\) Phương trình (1) có nghiệm kép \(x = \frac{1}{2}\)

\(0 \ne m < 4:\) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{m - 2 - \sqrt { - m + 4} }}{m};\,\,{x_2} = \frac{{m - 2 + \sqrt { - m + 4} }}{m}\)

\(m = 0:\) Phương trình (1) có nghiệm đơn \(x = \frac{3}{4}\).

Bài 2 : Với hệ số của phương trình bậc hai đã cho khác 0

Cho phương trình \({x^2} + 2x + m - 1 = 0\,\,\left( 2 \right)\) (m là tham số). Biện luận theo m số nghiệm của phương trình.

Giải

Ta có : \(\Delta ' = {1^2} - \left( {m - 1} \right) = 2 - m\)

\(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow 2 - m < 0 \Leftrightarrow m > 2:\) Phương trình (2) vô nghiệm.