Phương pháp giải phương trình bậc hai không chứa tham số

PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ

A. Xác định phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình bậc hai.

Phương pháp: Học sinh xác định đúng dạng của phương trình bậc hai là \(a{x^2} + bx + c = 0\) và các hệ số a, b, c tương ứng với điều kiện \(a \ne 0\).

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai? Chỉ rõ các số a, b, c của mỗi phương trình ấy.

\(\begin{array}{l}a)\,\,{x^2} - 5 = 0\\b)\,\,{x^3} + 3{x^2} - 6 = 0\\c)\,\,\sqrt 2 {x^2} - 5x + \frac{1}{2} = 0\\d)\,\,{x^2} + 3x = 0\\e)\,\,2x - 5 = 0\\f)\,\, - 3{x^2} = 2x - 4 = 0\end{array}\)

Giải

Phương trình bậc hai là các phương trình a, c, d, f.

Phương trình \(\sqrt 2 {x^2} - 5x + \frac{1}{2} = 0\) có các hệ số \(a = \sqrt 2 ,\,\,b =  - 5,\,\,c = \frac{1}{2}\)

Phương trình \({x^2} + 3x = 0\) có các hệ số \(a = 1,\,\,b = 3,\,\,c = 0\).

Phương trình \( - 3{x^2} + 2x - 4 = 0\) có các hệ số \(a =  - 3,\,\,b = 2,\,\,c =  - 4\)

Lưu ý: Dạng toán này đơn giản nhưng cần khắc sâu cho học sinh trung bình, yếu phải chỉ rõ được đúng các hệ số khi giải bài toán bằng công thức nghiệm thay số chính xác.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Chỉ rõ hệ số a, b, c trong các phương trình sau:

\(\begin{array}{l}6{x^2} + 9x + 1 = 0\\8{x^2} - 12x + 3 = 0\\2{x^2} - 3x - 2 = 0\\2{x^2} - \left( {4 - \sqrt 5 } \right)x - 2\sqrt 5  = 0\\5{x^2} + 3x - 2 = 0\\{x^2} - x\sqrt {11}  = 0\\\frac{1}{2}{x^2} + \frac{3}{4}x = 0\\ - {x^2} + 3x - 4 = 0\end{array}\)

B. Giải phương trình dạng tổng quát \(a{x^2} + bx + c = 0\)

Phương pháp 1: Đưa phương trình về dạng phương trình tích rồi giải phương trình tích đó (Lớp 8).

Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm tổng quat (hoặc công hức nghiệm thu gọn) để giải phương trình bậc hai.

Phương pháp 3: Giải phương trình bẳng phương pháp nhẩm nghiệm.

            Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{c}{a}\)

            Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm \({x_1} =  - 1;\,\,{x_2} =  - \frac{c}{a}\)

Bài tập minh họa

Bài 1: Giải phương trình sau:

\(\begin{array}{l}a)\,\,3{x^2} + 5x - 2 = 0\\b)\,\,5{x^2} - 6x + 1 = 0\end{array}\)

Giải

a) Phương pháp 1: Đưa về phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

\(\begin{array}{l}3{x^2} + 5x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{3}\\x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2;\frac{1}{3}} \right\}\)

Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai.

Ta có \(a = 3;\,\,b = 5;\,\,c =  - 2 \Rightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac = {5^2} - 4.3.\left( { - 2} \right) = 25 + 24 = 49 > 0\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{ - 5 + \sqrt {49} }}{{2.3}} = \frac{{ - 5 + 7}}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\\{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{ - 5 - \sqrt {49} }}{{2.3}} = \frac{{ - 5 - 7}}{6} = \frac{{ - 12}}{6} =  - 2\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2;\frac{1}{3}} \right\}\)

b) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

\(\begin{array}{l}5{x^2} - 6x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 5x - x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 5x\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {5x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}\\x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;\frac{1}{5}} \right\}\).

Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn (Công thức nghiệm tổng quát) để giải:

Ta có \(a = 5;\,\,b =  - 6 \Rightarrow b' = \frac{b}{2} =  - 3;\,c = 1\)

\(\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( { - 3} \right)^2} - 5.1 = 4 > 0\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 4 }}{5} = \frac{{3 + 2}}{5} = 1\\{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 4 }}{5} = \frac{{3 - 2}}{5} = \frac{1}{5}\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;\frac{1}{5}} \right\}\).

Phương pháp 3: Giải bằng cách nhẩm nghiệm

Ta có \(a = 5;\,\,b =  - 6;\,\,c = 1\) và \(a + b + c = 5 + \left( { - 6} \right) + 1 = 0\) vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là \({x_1} = 1\) và \({x_2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{5}\).

Những lưu ý khi giải phương trình bậc 2

+) Nếu gặp hằng đẳng thức 1 và 2 thì đưa phương trình dạng tổng quát giải bình thường (không cần giải theo công thức) VD: \({x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

+) Phải sắp xếp đúng thứ tự các hạng tử để lập thành phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) rồi mới áp dụng công thức:

VD: \(x\left( {x - 5} \right) = 24 \Leftrightarrow {x^2} - 5x = 24 \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 24 = 0\). Áp dụng công thức giải tiếp….

+) Không phải lúc nào x cũng là ẩn số mà có thể là ẩn t, ẩn b, ẩn a… tùy vào cách ta chọn biến:

VD: \({b^2} - 10b + 16 = 0 \Leftrightarrow \) áp dụng giải tiếp với ẩn là b………….

+) Phương trình bậc 2 chứa căn ở các hệ số a, b, c thì ở \(\sqrt \Delta  \) ta buộc phải rút căn bậc hai.

VD: \({x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3  = 0\,\,\left( {a = 1;\,\,b =  - \left( {2 + \sqrt 3 } \right);\,\,c = 2\sqrt 3 } \right)\)

\(\Delta  = {\left[ { - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \right]^2} - 4.1.2\sqrt 3  = 7 - 4\sqrt 3  \Leftrightarrow \sqrt \Delta   = .....\)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1:

\(\begin{array}{l}a)\,\,{x^2} - 5x + 6 = 0\\b)\,\,{x^2} - 2x - 1 = 0\\c)\,\,{x^2} - 2x + 10 = 0\\d)\,9{x^2} + 12x + 4 = 0\end{array}\)

Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:

\(\begin{array}{l}a)\,\,{x^2} + 1 - \sqrt 2 x - \sqrt 2  = 0\\b)\,\,2{x^2} + \sqrt 3  - 2x - \sqrt 3  = 0\\c)\,\,{x^2} + x - 6 = 0\\d)\,\,{x^2} - 9x + 20 = 0\end{array}\)

Bài 3: Giải các phương trình sau:

\(\begin{array}{l}a)\,\,{x^2} - 2\sqrt 5 x + 5 = 0\\b)\,\,{x^2} - 9x + 10 = 0\\c)\,\,2{x^2} - 3x + 5 = 0\\d)\,\,{x^2} - 6x + 14 = 0\\e)\,\,{\left( {x + 3} \right)^2} = 16\\f)\,\,{x^2} - 8x + 15 = 0\\g)\,\,2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 x + 1\\h)\,\, - 4{x^2} - 4x + 1 = 0\\i)\,\,7{x^2} - 8x + 9 = 0\\j)\,\,16{x^2} - 40x + 25 = 0\\k)\,\,2{x^2} - \sqrt 2 x - 2 = 0\\l)\,\,{x^2} - 8x + 19 = 0\\m)\,\,{x^2} - \left( {2\sqrt 3  - 1} \right)x - 2\sqrt 3  = 0\\n)\,\,2{x^2} - 3x - 27 = 0\\o)\,\,7{x^2} - 8x - 9 = 0\\p)\,\,{x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3x + \sqrt 2 \\q)\,\, - {x^2} - 3x - 10\sqrt 3  = 0\\r)\,\,{x^2} - 3x = 0\end{array}\)

Đáp số

\(\begin{array}{l}a)\,\,x = \sqrt 5 \\b)\,\,{x_{1,2}} = \frac{{9 \pm 41}}{2}\end{array}\)

c) Vô nghiệm

d) Vô nghiệm

\(\begin{array}{l}e)\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 7\end{array} \right.\\f)\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 5\end{array} \right.\\g)\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\x = \frac{{ - 3\sqrt 3  + 3}}{6}\end{array} \right.\\h)\,\,{x_{1,2}} = \frac{{2 \pm \sqrt 2 }}{{ - 4}}\end{array}\)

i) Vô nghiệm

\(\begin{array}{l}j)\,\,x = \frac{5}{4}\\k)\,\,{x_{1,2}} = \frac{{\sqrt 2  \pm \sqrt 5 }}{4}\end{array}\)

l) Vô nghiệm

\(\begin{array}{l}m)\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 3  - 3\\x = \sqrt 3  + 1\end{array} \right.\\n)\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \frac{9}{2}\\x =  - 3\end{array} \right.\\o)\,\,{x_{1,2}} = \frac{{4 \pm \sqrt {79} }}{7}\\p)\,\,\left[ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 2  + 1\\x =  - \sqrt 2  + 2\end{array} \right.\end{array}\)

q) Vô nghiệm

\(r)\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\)

Bài 2: Giải các phương trình sau:

\(\begin{array}{l}a)\,\,3{x^2} - 11x + 8 = 0\\b)\,\,{x^2} - 1 + \sqrt 3 x + \sqrt 3  = 9\\c)\,\,3{x^2} - 19x - 22 = 0\\d)\,\,5{x^2} + 24x + 19 = 0\\e)\,\,3{x^2} + 19x - 22 = 0\\f)\,\,{x^2} - 10x + 21 = 0\\g)\,\, - 2018{x^2} + x + 2017 = 0\\h)\,\,{x^2} - 12x + 27 = 0\\i)\,\,5{x^2} - 17x + 12 = 0\\j)\,\,1 - \sqrt 2 {x^2} - 21 + \sqrt 2 x + 1 + 3\sqrt 2  = 0\\k)\,\,1 + \sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 3 x + \sqrt 3 01 = 0\end{array}\)

Đáp số:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{8}{3}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \sqrt 3 \end{array} \right.\\c)\,\,\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \frac{{22}}{3}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d)\,\,\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - \frac{{19}}{5}\end{array} \right.\\e)\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 22}}{3}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f)\,\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 7\end{array} \right.\\g)\,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - \frac{{2017}}{{2018}}\,\,\,\,\end{array} \right.\,\,\,\,h)\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 9\end{array} \right.\\i)\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{12}}{5}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,j)\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{1 + 3\sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }}\end{array} \right.\\k)\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - \frac{{\sqrt 3  - 1}}{{1 + \sqrt 3 }}\end{array} \right.\end{array}\)  

C. Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c.

Phương pháp:

Dạng khuyết b: đối với phương trình \(a{x^2} + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) ta biến đổi \( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{ - c}}{a}\). Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{{ - c}}{a} \ge 0\). Lúc này nghiệm của phương trình là \(x =  \pm \sqrt {\frac{{ - c}}{a}} \)

Dạng khuyết c: Đối với phương trình \(a{x^2} + bx = 0\) ta có thể biến đổi về phương trình tích \(a{x^2} + bx = 0 \Leftrightarrow x\left( {ax + b} \right) = 0\) để giải. Lúc này phương trình có 2 nghiệm là \(x = 0\) và \(x = \frac{{ - b}}{a}\).

Ví dụ minh họa: Giải phương trình:

\(\begin{array}{l}a)\,\,2{x^2} = 8\\b)\,\,{x^2} - 5x = 0\end{array}\)

Giải

\(a)\,\,2{x^2} = 8 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{8}{2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 4  = 2\\x =  - \sqrt 4  =  - 2\end{array} \right.\). Kết luận nghiệm

b) \({x^2} - 5x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5\end{array} \right.\). Kết luận nghiệm.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau:

\(\begin{array}{l}a)\,\,5{x^2} + 3x = 0\\b)\,\,2{x^2} - 6x = 0\\c)\,\,7{x^2} - 5x = 0\\d)\,\,4{x^2} - 16x = 0\\e)\,\, - 0,4{x^2} + 1,2x = 0\\f)\,\,3,4{x^2} + 8,2x = 0\end{array}\)