Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm 2015 - 2016

Câu 1 (4,0 điểm).

Cho \(x = \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt 2 }}\)

Tính giá trị của biểu thức \(P = {(1 + 3{x^3} - {x^5})^{2016}}\)

Câu 2 (4,0 điểm).

Cho parabol \((P):y = \dfrac{1}{4}{x^2}\) và điểm A(0;1).

a. Vẽ parabol (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

b. Chứng minh rằng nếu điểm M nằm trên (P) thì độ dài đoạn MA bằng khoảng cách từ M đến đường thẳng \(y=-1\).

(Biết khoảng cách giữa hai điểm \(C({x_C};{y_C}),D\left( {{x_D};{y_D}} \right)\) bất kỳ trên mặt phẳng tọa độ Oxy được tính theo công thức \(CD = \sqrt {{{\left( {{x_D} - {x_C}} \right)}^2} + {{\left( {{y_D} - {y_C}} \right)}^2}} \)

Câu 3 (4,0 điểm).

Cho phương trình \({x^3} + b{x^2} + cx + 1 = 0\) trong đó b, c là các số nguyên. Biết phương trình có nghiệm \(x_0=2+\sqrt{5}\). Tìm b, c và các nghiệm còn lại của phương trình.

Câu 4 (3,0 điểm).

Tìm x,y biết: \(\sqrt {2\left( {\sqrt x  + y - 2} \right)}  = \sqrt {\sqrt x .y} \)