Một số đề ôn thi vào lớp 10 - thpt chuyên

MỘT SỐ ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 – THPT CHUYÊN

ĐỀ SỐ 1.

Câu 1) Giải phương trình: \({x^2} + x + 6 + 2x\sqrt {x + 3}  = 4\left( {x + \sqrt {x + 3} } \right)\)

Câu 2) Cho \(a,b,c\) là ba số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = \sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c  = 2\).   Chứng minh rằng: \(\dfrac{{\sqrt a }}{{1 + a}} + \dfrac{{\sqrt b }}{{1 + b}} + \dfrac{{\sqrt c }}{{1 + c}} = \dfrac{2}{{\sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)} }}\).

Câu 3) Chứng minh: \({a_n} = {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n} + {\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n} - 2\) là số chính phương với mọi số tự nhiên lẻ.

Câu 4) Cho tam giác nhọn \(ABC\)  nội tiếp đường tròn \((O)\) có 3 đường cao \(AD,BE,CF\)  đồng quy tại điểm \(H\). Đường thẳng \(CH\) cắt \((O)\) tại điểm \(G\)  khác \(C\) . \(GD\)  cắt \((O)\) tại điểm \(K\)  khác \(G\).

a)     Chứng minh \(OA\) vuông góc với \(EF\).

b)    Chứng minh: \(AK\)  đi qua trung điểm \(M\)  của \(DE\).

c)     Gọi \(N\)  là trung điểm của \(DF\) , \(AN\)  cắt \((O)\) tại điểm \(L\)  khác \(A\) .Chứng minh 4 điểm \(M,L,N,K\)  cùng thuộc một đường tròn.

Câu 5) Cho \(a,b,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).

Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 + 2bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{1 + 2ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{1 + 2ab}} \ge \dfrac{3}{5}\).

Câu 6) Cho tập hợp \(M\) gồm \(1009\) số nguyên dương đôi một khác nhau và số lớn nhất trong \(M\) bằng \(2016\). Chứng minh rằng trong tập \(M\) có hai số, mà số này là bội của số kia.