Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lần 2 năm 2018 - 2019

Câu I. (4,0 điểm):      

1. Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x³ – x² - 1)²⁰²⁰, biết:

     2. Tính tổng:

Câu II. (4,0 điểm):

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các  điểm M(1;); N(3;0); K(4;). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC sao cho M, N, K lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA.
2. Giải phương trình: .

Câu III. (4,0 điểm):

1. Tìm các số nguyên dương  x, y, z thỏa mãn: .
2. Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho: là số nguyên. Chứng minh rằng: (x⁴y⁴⁴ – 1) chia hết cho (y + 1).

Câu IV. (6,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) và dây cung AH < R. Qua H vẽ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O; R). Vẽ đường tròn (A; R) cắt đường thẳng d tại B và C sao cho H nằm giữa B và C. Vẽ HM vuông góc với OB (MOB), vẽ HN vuông góc với OC (NOC).

1)    Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định.

2)    Chứng minh: OB.OC = 2R².

3)    Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi.

Câu V. (2,0 điểm): Cho các số thực dương  thỏa mãn điều kiện  

Chứng minh rằng:  

-------------Hết------------