Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

Bài 1. Cho đường tròn  và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến  tới đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Từ điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt  lần lượt ở P và Q. Biết \(AM\bot BM\).

a) Tứ giác MAOB là hình gì ? Vì sao ?

b) Tính chu vi \(\Delta MPQ\);                                                     

c) Tính góc \(\widehat{POQ}\).

Bài 2. Cho \(\Delta ABC\) cân ở A. Vẽ đường tròn tâm D đường kính BC cắt AC và AB lần lượt ở E và F. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng :

a) Bốn điểm A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn.

b) DE là tiếp tuyến của đường tròn nói trong câu a).

Bài 3. Cho đường tròn (O; 5cm), đường kính AB, tiếp tuyến Bx. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho \(\widehat{BAC}=30^o\), tia AC cắt Bx ở E.

a) Chứng minh rằng: \(BC^2=AC.CE\) ;                                                     b) Tính độ dài đoạn BE.

Bài 4. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến xy của nửa đường tròn. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A và điểm B trên xy. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống AB. Chứng minh :

a) C là trung điểm của MN;                                                          b) \(CH^2=AM.BN\)

Bài 5. Cho đường tròn  và đường thẳng (d) không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d).

Bài 6. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn; A, B là các tiếp điểm sao cho \(\widehat{AMB}=90^0\). Qua điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt MA và MB lần lượt ở P và Q. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{3}(MA+MB)<PQ<\dfrac{1}{2}(MA+MB)\)..

Bài 7. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, hai tiếp tuyến Ax, By.  Trên Ax, By lấy theo thứ tự hai điểm C và D. Biết AC+BD=CD. Chứng minh rằng :

a) \(\widehat{COD}=90^o\);

b) Đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta COD\), còn đường thẳng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 8. Cho \(\widehat{xOy}\) khác góc bẹt. Chứng minh rằng: Có thể tìm được vô số các điểm B và C trên hai cạnh Ax, Ay sao cho chu vi \(\Delta ABC\) luôn luôn bằng 2l (với l là một độ dài cho trước).

Bài 9. Cho đường tròn (O; 6cm) và dây AB=10cm. Gọi M là một điểm trên đường thẳng AB và M nằm bên ngoài đường tròn (O). Tìm khoảng cách từ M đến đến trung điểm của AB khi góc xen giữa hai tiếp tuyến kẻ từ M bằng :

a) \(60^o\).                                                                                                            b) \(90^o\).

Bài 10. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Qua điểm C trên nửa đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax ở M. Kẻ \(CH \bot AB\) cắt BM ở I. Chứng minh: I là trung điểm của CH.

Bài 11. Cho \(\Delta ABC\) có BC=10cm, CA=12cm và AB=14cm. Tính khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác.

Bài 12. Cho \(\Delta ABC\) có BC<AC, trung tuyến CD. Đường tròn nội tiếp các tam giác \(\Delta ACD\) tiếp xúc với CD lần lượt ở E và F. Chứng minh rằng: 2EF=AC-BC.

Bài 13. Cho \(\Delta ABC\) vuông ở A. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt ở D và E.

a) Tứ giác ADOE là hình gì ? Vì sao ?

b) Tính bán kính đường tròn (O), biết AB=5cm; AC=12cm.

Bài 14. Cho \(\Delta ABC\) có BC=a, CA=b và AB=c. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp, S là diện tích của tam giác. Chứng minh: \(S=\dfrac{r(a+b+c)}{2}\).

Bài 15. Đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) tiếp xúc với cạnh BC tại D. Chứng minh rằng: điều kiện cần và đủ để \(\Delta ABC\) vuông ở A là: AB.AC=2BD.DC.

Bài 16. Cho \(\Delta ABC\) vuông ở A. Gọi r, R theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác. Chứng minh: AB+AC=2(r+R).

Bài 17. Cho \(\Delta ABC\) vuông ở A có BC=a, CA=b và AB=c. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác. Chứng minh: \(\dfrac{r}{a} \le \dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\).

Bài 18. Cho \(\Delta ABC\) vuông ở A có AB=7,5cm, CA=10,5cm và BC=9cm. Gọi \(O_1\) là đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc với cạnh BC, tiếp xúc với phần kéo dài của các cạnh AB, AC lần lượt ở D, E, F. Tính độ dài các đoạn thẳng: AE, À, BE, CF.

Bài 19. Cho tam giác đều ABC. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB, AC. Gọi D là trung điểm của BC. Biết chu vi AMN bằng nửa chu vi ABC. Tính số đo góc \(\widehat{MDN}\)?

Bài 20. Một tam giác vuông nội tiếp một đường tròn đường kính 37dm và ngoại tiếp một đường tròn bán kính 5dm. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác đó.

Bài 21. Cho đường tròn (O; 5cm) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Biết \(\widehat{AMB}=60^o\).

a) Chứng minh: \(\Delta AMB\) là tam giác đều;                                     b) Tính chu vi \(\Delta AMB\);

c) Tia AO cắt đường tròn ở C. Tứ giác BMOC là hình gì ? Vì sao ?

Bài 22. Cho (O) nội tiếp \(\Delta ABC\). Các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M, N, S. 

a) Chứng minh: AB+AC-BC=2AM;

b) Cho AB=4cm, BC=7cm. CA=5cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AM, BM, CS.  

Bài 23. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB, dây cung AC. Các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau ở D.

a) Chứng minh: DO//AC;

b) Biết \(\widehat{BAC}=30^o\), R=2cm. Tính độ dài các đoạn BD, CD.

Bài 24. Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB, hai tiếp tuyến Ax, By trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Trên tia Ax lấy điểm C, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt By ở D.

a) Tứ giác ABDC là hình gì ? Vì sao ?

b) Chứng minh rằng: đường tròn ngoại tiếp \(\Delta COD\) tiếp xúc với đường thẳng AB tại O;

c) Chứng minh rằng: \(CA.DB=R^2\).

Bài 25. Cho \(\Delta ABC\) vuông ở A. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh AB, AC lần lượt ở D và E.

a) Tứ giác ADOE là hình gì ? Vì sao ?

b) Tính bán kính đường tròn (O) biết AB=5m, AC=12cm.

Bài 26. Một tam giác cân có cạnh đáy 16cm, cạnh bên 10cm. Tính độ dài các bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác và khoảng cách giữa các tâm của hai đường tròn đó.

Bài 27. Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi M là một điểm tùy ý trên đường tròn, xy là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Qua M kẻ \(MP \bot AB\), và \(MQ \bot xy\).

a) Tứ giác APMQ là hình gì ? Vì sao ?

b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh: \(OI \bot AM\);

c) Khi điểm M di chuyển trên đường tròn (O) thì điểm I chuyển động trên đường nào ? Vì sao ?

Bài 28. Cho góc nhọn xOy. Dựng đường tròn tâm I, bán kính 1,5cm tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy.