Ôn tập chương II - Phân thức đại số (tiếp) - Có đáp án

ÔN TẬP CHƯƠNG II - PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (TIẾP THEO)

(CÓ ĐÁP ÁN)

Bài 1. Thực hiện các phép tính :

\[\begin{array}{l}a.\left( {\frac{9}{{{x^3} - 9x}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right):\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 3x}} - \frac{x}{{3x + 9}}} \right)\\b.\left( {\frac{2}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}}} \right).\frac{{{x^2} + 4x + 4}}{8}\\c.\left( {\frac{{3x}}{{1 - 3x}} + \frac{{2x}}{{3x + 1}}} \right):\frac{{6{x^2} + 10x}}{{1 - 6x + 9{x^2}}}\\d.\left( {\frac{x}{{{x^2} - 25}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + 5x}}} \right):\frac{{2x - 5}}{{{x^2} + 5x}} + \frac{x}{{5 - x}}\\e.\left( {\frac{{{x^2} + xy}}{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}} + \frac{y}{{{x^2} + {y^2}}}} \right):\left( {\frac{1}{{x - y}} - \frac{{2xy}}{{{x^3} - {x^2}y + x{y^2} - {y^3}}}} \right)\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\left( {\frac{9}{{{x^3} - 9x}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right):\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 3x}} - \frac{x}{{3x + 9}}} \right)\\ = \left[ {\frac{9}{{x(x + 3)(x - 3)}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right]:\left[ {\frac{{x - 3}}{{x(x + 3)}} - \frac{x}{{3(x + 3)}}} \right]\\= \frac{{9 + x(x - 3)}}{{x(x + 3)(x - 3)}}:\frac{{3(x - 3) - {x^2}}}{{3x(x + 3)}} = \frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{x(x + 3)(x - 3)}}.\frac{{3x(x + 3)}}{{3x - 9 - {x^2}}}\\ = \frac{{3({x^2} - 3x + 9)}}{{(3 - x)({x^2} - 3x + 9)}} = \frac{3}{{3 - x}}\\b.\left( {\frac{2}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}}} \right).\frac{{{x^2} + 4x + 4}}{8} = \frac{{2(x + 2) - 2(x - 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}}.\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{8}\\ = \frac{8}{{(x - 2)(x + 2)}}.\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{8} = \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}c.\left( {\frac{{3x}}{{1 - 3x}} + \frac{{2x}}{{3x + 1}}} \right):\frac{{6{x^2} + 10x}}{{1 - 6x + 9{x^2}}} = \frac{{3x\left( {3x + 1} \right) + 2x\left( {1 - 3x} \right)}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}:\frac{{2x\left( {3x + 5} \right)}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{ = \frac{{9{x^2} + 3x + 2x - 6{x^2}}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}.\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{2x\left( {3x + 5} \right)}} = \frac{{x\left( {3x + 5} \right)}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}.\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{2x\left( {3x + 5} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{1 - 3x}}{{2\left( {1 + 3x} \right)}}}\end{array}\\d.\left( {\frac{x}{{{x^2} - 25}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + 5x}}} \right):\frac{{2x - 5}}{{{x^2} + 5x}} + \frac{x}{{5 - x}}\\ = \left[ {\frac{x}{{(x + 5)(x - 5)}} - \frac{{x - 5}}{{x(x + 5)}}} \right]:\frac{{2x - 5}}{{x(x + 5)}} + \frac{x}{{5 - x}}\\= \frac{{{x^2} - {{(x - 5)}^2}}}{{x(X + 5)(x - 5)}}.\frac{{x(x + 5)}}{{2x - 5}} + \frac{x}{{5 - x}}\\ = \frac{{5(2x - 5)}}{{(x - 5)(2x - 5)}} - \frac{x}{{x - 5}}\\ = \frac{{5 - x}}{{x - 5}} =  - 1\\e.\left( {\frac{{{x^2} + xy}}{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}} + \frac{y}{{{x^2} + {y^2}}}} \right):\left( {\frac{1}{{x - y}} - \frac{{2xy}}{{{x^3} - {x^2}y + x{y^2} - {y^3}}}} \right)\\ = \left[ {\frac{{{x^2} + xy}}{{({x^2} + {y^2})(x + y)}} + \frac{y}{{{x^2} + {y^2}}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{x - y}} - \frac{{2xy}}{{({x^2} + {y^2})(x - y)}}} \right]\\= \frac{{{x^2} + xy + y(x + y)}}{{({x^2} + {y^2})(x + y)}}:\frac{{{x^2} + {y^2} - 2xy}}{{({x^2} + {y^2})(x - y)}}\\ = \frac{{{{(x + y)}^2}}}{{({x^2} + {y^2})(x + y)}}.\frac{{({x^2} + {y^2})(x - y)}}{{{{(x - y)}^2}}} = \frac{{x + y}}{{x - y}}\end{array}\]

Bài 2. Chứng minh đẳng thức:

\[\begin{array}{l}a.\left( {\frac{{{x^2} - 2x}}{{2{x^2} + 8}} - \frac{{2{x^2}}}{{8 - 4x + 2{x^2} - {x^3}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right) = \frac{{x + 1}}{{2x}}\\b.\left[ {\frac{2}{{3x}} - \frac{2}{{x + 1}}.\left( {\frac{{x + 1}}{{3x}} - x - 1} \right)} \right]:\frac{{x - 1}}{x} = \frac{{2x}}{{x - 1}}\\c.\left[ {\frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.\left( {\frac{1}{x} + 1} \right) + \frac{1}{{{x^2} + 2x + 1}}.\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)} \right]:\frac{{x - 1}}{{{x^3}}} = \frac{x}{{x - 1}}\end{array}\]

Giải:

Bài 3. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{\frac{x}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{x}}}{{\frac{x}{{x + 1}} - \frac{{x - 1}}{x}}}\\b.\frac{{\frac{5}{4} - \frac{5}{{x + 1}}}}{{\frac{{9 - {x^2}}}{{{x^2} + 2x + 1}}}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{\frac{x}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{x}}}{{\frac{x}{{x + 1}} - \frac{{x - 1}}{x}}} = \left( {\frac{x}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{x}} \right):\left( {\frac{x}{{x + 1}} - \frac{{x - 1}}{x}} \right)\\ = \frac{{{x^2} - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}}:\frac{{{x^2} - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x\left( {x - 1} \right)}}.\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{1} = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\\b.\frac{{\frac{5}{4} - \frac{5}{{x + 1}}}}{{\frac{{9 - {x^2}}}{{{x^2} + 2x + 1}}}} = \left( {\frac{5}{4} - \frac{5}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{{9 - {x^2}}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \right) = \frac{{5\left( {x + 1} \right) - 20}}{{4\left( {x + 1} \right)}}:\frac{{\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{5\left( {x - 3} \right)}}{{4\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)}} = \frac{{ - 5\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{4\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)}} = \frac{{ - 5\left( {x + 1} \right)}}{{4\left( {3 + x} \right)}}\end{array}\]

Bài 4: Tìm các giá trị của x để giá trị của mỗi phân thức sau bằng 0 :
\[\begin{array}{l}a.\frac{{98{x^2} - 2}}{{x - 2}}\\b.\frac{{3x - 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\\\left\{ \begin{array}{l}98{x^2} - 2 = 0\\x{\rm{ }}--{\rm{ }}2{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2(49{x^2} - 1) = 0\\x{\rm{ }} \ne {\rm{ }}2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}(7x - 1)(7x + 1) = 0\\x{\rm{ }} \ne {\rm{ }}2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 0\\7x - 1 = 0\end{array} \right.\\x{\rm{ }} \ne {\rm{ }}2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{7}\\x = \frac{{ - 1}}{7}\end{array} \right.\\b.\frac{{3x - 2}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \frac{{3x - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2 = 0\\{(x + 1)^2} \ne {\rm{ }}0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\x \ne  - 1\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{2}{3}\end{array}\]

Bài 5.  Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{2x - 3}}{{\frac{{x - 1}}{{x + 2}}}}\\b.\frac{{\frac{{2{x^2} + 1}}{x}}}{{x - 1}}\\c.\frac{{{x^2} - 25}}{{\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{x}}}\\d.\frac{{{x^2} - 25}}{{\frac{{{x^2} + 10x + 25}}{{x - 5}}}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\\\left\{ \begin{array}{l}x{\rm{ }}--{\rm{ }}1{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\\x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x{\rm{ }} \ne {\rm{ }}1\\x{\rm{ }} \ne  - 2\end{array} \right.\\b.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x{\rm{ }}--{\rm{ }}1{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\\x{\rm{ }} \ne 1\end{array} \right.\\c.\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 10x + 25 \ne 0\\x{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 5)^2} \ne 0\\x{\rm{ }} \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 5\\x \ne 0\end{array} \right.\\d.\\\left\{\begin{array}{l}{x^2} + 10x + 25 \ne 0\\x{\rm{ }}--{\rm{ }}5{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x + 5)^2} \ne 0\\x \ne 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 5\\x \ne 5\end{array} \right.\end{array}\]

Bài 6. Chú ý rằng nếu c > 0 thì \[{\left( {a + b} \right)^2} + c;{\left( {a - b} \right)^2} + c\] đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng :
a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức

\[\frac{{x + 2}}{{x - 1}}.\left( {\frac{{{x^3}}}{{2x + 2}} + 1} \right) - \frac{{8x + 7}}{{2{x^2} - 2}} > 0\]

b. Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3 , biểu thức :

\[\frac{{1 - {x^2}}}{x}.\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 3}} - 1} \right) + \frac{{3{x^2} - 14x + 3}}{{{x^2} + 3x}} < 0\]
Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{x + 2}}{{x - 1}}.\left( {\frac{{{x^3}}}{{2x + 2}} + 1} \right) - \frac{{8x + 7}}{{2{x^2} - 2}}\\ = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}.\frac{{{x^3} + 2x + 2}}{{2(x + 1)}} - \frac{{8x + 7}}{{2(x - 1)(x + 1)}}\\ = \frac{{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 - 8x - 7}}{{2(x - 1)(x + 1)}}\\ = \frac{{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} - 2x - 3}}{{2(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{({x^2} - 1)({x^2} + 2x + 3)}}{{2({x^2} - 1)}}\\ = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{2}\\{x^2} + 2x + 3 = {(x + 1)^2} + 3 > 0 \Rightarrow \frac{{x + 2}}{{x - 1}}.\left( {\frac{{{x^3}}}{{2x + 2}} + 1} \right) - \frac{{8x + 7}}{{2{x^2} - 2}} > 0\\b.\frac{{1 - {x^2}}}{x}.\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 3}} - 1} \right) + \frac{{3{x^2} - 14x + 3}}{{{x^2} + 3x}}\\ = \frac{{(1 - {x^2})({x^2} - x - 3)}}{{x(x + 3)}} + \frac{{3{x^2} - 14x + 3}}{{x(x + 3)}}\\ = \frac{{{x^2} - x - 3 - {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} - 14x + 3}}{{x(x + 3)}}\\ = \frac{{ - {x^4} + {x^3} + 7{x^2} - 15x}}{{x(x + 3)}} = \frac{{(x + 3)( - {x^2} + 4x - 5)}}{{x - 3}}\\=  - {x^2} + 4x - 5 =  - {(x - 2)^2} - 1 < 0\forall x\\ \Rightarrow \frac{{1 - {x^2}}}{x}.\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 3}} - 1} \right) + \frac{{3{x^2} - 14x + 3}}{{{x^2} + 3x}} < 0\end{array}\]