Ôn tập chương II - Phân thức đại số (tiếp) - Có đáp án

Cập nhật lúc: 21:47 12-12-2018 Mục tin: LỚP 8


Các em sẽ được ôn tập lại tổng hợp kiến thức về chương 2 - phân thức đại số trong bài viết này. Qua các bài tập như chứng minh phân thức bằng nhau, rút gọn phân thức, tính toán...các em sẽ được củng cố và có cơ hội để luyện tập kĩ năng làm bài của mình. Ngoài ra các bài toán đều có hướng dẫn kèm theo để các em so sánh kết quả.

  

ÔN TẬP CHƯƠNG II - PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (TIẾP THEO)

(CÓ ĐÁP ÁN)

Bài 1. Thực hiện các phép tính :

\[\begin{array}{l}a.\left( {\frac{9}{{{x^3} - 9x}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right):\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 3x}} - \frac{x}{{3x + 9}}} \right)\\b.\left( {\frac{2}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}}} \right).\frac{{{x^2} + 4x + 4}}{8}\\c.\left( {\frac{{3x}}{{1 - 3x}} + \frac{{2x}}{{3x + 1}}} \right):\frac{{6{x^2} + 10x}}{{1 - 6x + 9{x^2}}}\\d.\left( {\frac{x}{{{x^2} - 25}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + 5x}}} \right):\frac{{2x - 5}}{{{x^2} + 5x}} + \frac{x}{{5 - x}}\\e.\left( {\frac{{{x^2} + xy}}{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}} + \frac{y}{{{x^2} + {y^2}}}} \right):\left( {\frac{1}{{x - y}} - \frac{{2xy}}{{{x^3} - {x^2}y + x{y^2} - {y^3}}}} \right)\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\left( {\frac{9}{{{x^3} - 9x}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right):\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 3x}} - \frac{x}{{3x + 9}}} \right)\\ = \left[ {\frac{9}{{x(x + 3)(x - 3)}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right]:\left[ {\frac{{x - 3}}{{x(x + 3)}} - \frac{x}{{3(x + 3)}}} \right]\\= \frac{{9 + x(x - 3)}}{{x(x + 3)(x - 3)}}:\frac{{3(x - 3) - {x^2}}}{{3x(x + 3)}} = \frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{x(x + 3)(x - 3)}}.\frac{{3x(x + 3)}}{{3x - 9 - {x^2}}}\\ = \frac{{3({x^2} - 3x + 9)}}{{(3 - x)({x^2} - 3x + 9)}} = \frac{3}{{3 - x}}\\b.\left( {\frac{2}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}}} \right).\frac{{{x^2} + 4x + 4}}{8} = \frac{{2(x + 2) - 2(x - 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}}.\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{8}\\ = \frac{8}{{(x - 2)(x + 2)}}.\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{8} = \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}c.\left( {\frac{{3x}}{{1 - 3x}} + \frac{{2x}}{{3x + 1}}} \right):\frac{{6{x^2} + 10x}}{{1 - 6x + 9{x^2}}} = \frac{{3x\left( {3x + 1} \right) + 2x\left( {1 - 3x} \right)}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}:\frac{{2x\left( {3x + 5} \right)}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{ = \frac{{9{x^2} + 3x + 2x - 6{x^2}}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}.\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{2x\left( {3x + 5} \right)}} = \frac{{x\left( {3x + 5} \right)}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}.\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{2x\left( {3x + 5} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{1 - 3x}}{{2\left( {1 + 3x} \right)}}}\end{array}\\d.\left( {\frac{x}{{{x^2} - 25}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + 5x}}} \right):\frac{{2x - 5}}{{{x^2} + 5x}} + \frac{x}{{5 - x}}\\ = \left[ {\frac{x}{{(x + 5)(x - 5)}} - \frac{{x - 5}}{{x(x + 5)}}} \right]:\frac{{2x - 5}}{{x(x + 5)}} + \frac{x}{{5 - x}}\\= \frac{{{x^2} - {{(x - 5)}^2}}}{{x(X + 5)(x - 5)}}.\frac{{x(x + 5)}}{{2x - 5}} + \frac{x}{{5 - x}}\\ = \frac{{5(2x - 5)}}{{(x - 5)(2x - 5)}} - \frac{x}{{x - 5}}\\ = \frac{{5 - x}}{{x - 5}} =  - 1\\e.\left( {\frac{{{x^2} + xy}}{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}} + \frac{y}{{{x^2} + {y^2}}}} \right):\left( {\frac{1}{{x - y}} - \frac{{2xy}}{{{x^3} - {x^2}y + x{y^2} - {y^3}}}} \right)\\ = \left[ {\frac{{{x^2} + xy}}{{({x^2} + {y^2})(x + y)}} + \frac{y}{{{x^2} + {y^2}}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{x - y}} - \frac{{2xy}}{{({x^2} + {y^2})(x - y)}}} \right]\\= \frac{{{x^2} + xy + y(x + y)}}{{({x^2} + {y^2})(x + y)}}:\frac{{{x^2} + {y^2} - 2xy}}{{({x^2} + {y^2})(x - y)}}\\ = \frac{{{{(x + y)}^2}}}{{({x^2} + {y^2})(x + y)}}.\frac{{({x^2} + {y^2})(x - y)}}{{{{(x - y)}^2}}} = \frac{{x + y}}{{x - y}}\end{array}\]

Bài 2. Chứng minh đẳng thức:

\[\begin{array}{l}a.\left( {\frac{{{x^2} - 2x}}{{2{x^2} + 8}} - \frac{{2{x^2}}}{{8 - 4x + 2{x^2} - {x^3}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right) = \frac{{x + 1}}{{2x}}\\b.\left[ {\frac{2}{{3x}} - \frac{2}{{x + 1}}.\left( {\frac{{x + 1}}{{3x}} - x - 1} \right)} \right]:\frac{{x - 1}}{x} = \frac{{2x}}{{x - 1}}\\c.\left[ {\frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.\left( {\frac{1}{x} + 1} \right) + \frac{1}{{{x^2} + 2x + 1}}.\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)} \right]:\frac{{x - 1}}{{{x^3}}} = \frac{x}{{x - 1}}\end{array}\]

Giải:

 

 

Bài 3. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{\frac{x}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{x}}}{{\frac{x}{{x + 1}} - \frac{{x - 1}}{x}}}\\b.\frac{{\frac{5}{4} - \frac{5}{{x + 1}}}}{{\frac{{9 - {x^2}}}{{{x^2} + 2x + 1}}}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{\frac{x}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{x}}}{{\frac{x}{{x + 1}} - \frac{{x - 1}}{x}}} = \left( {\frac{x}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{x}} \right):\left( {\frac{x}{{x + 1}} - \frac{{x - 1}}{x}} \right)\\ = \frac{{{x^2} - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}}:\frac{{{x^2} - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x\left( {x - 1} \right)}}.\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{1} = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\\b.\frac{{\frac{5}{4} - \frac{5}{{x + 1}}}}{{\frac{{9 - {x^2}}}{{{x^2} + 2x + 1}}}} = \left( {\frac{5}{4} - \frac{5}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{{9 - {x^2}}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \right) = \frac{{5\left( {x + 1} \right) - 20}}{{4\left( {x + 1} \right)}}:\frac{{\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{5\left( {x - 3} \right)}}{{4\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)}} = \frac{{ - 5\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{4\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)}} = \frac{{ - 5\left( {x + 1} \right)}}{{4\left( {3 + x} \right)}}\end{array}\]

Bài 4: Tìm các giá trị của x để giá trị của mỗi phân thức sau bằng 0 :
\[\begin{array}{l}a.\frac{{98{x^2} - 2}}{{x - 2}}\\b.\frac{{3x - 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\\\left\{ \begin{array}{l}98{x^2} - 2 = 0\\x{\rm{ }}--{\rm{ }}2{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2(49{x^2} - 1) = 0\\x{\rm{ }} \ne {\rm{ }}2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}(7x - 1)(7x + 1) = 0\\x{\rm{ }} \ne {\rm{ }}2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 0\\7x - 1 = 0\end{array} \right.\\x{\rm{ }} \ne {\rm{ }}2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{7}\\x = \frac{{ - 1}}{7}\end{array} \right.\\b.\frac{{3x - 2}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \frac{{3x - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2 = 0\\{(x + 1)^2} \ne {\rm{ }}0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\x \ne  - 1\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{2}{3}\end{array}\]

Bài 5.  Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{2x - 3}}{{\frac{{x - 1}}{{x + 2}}}}\\b.\frac{{\frac{{2{x^2} + 1}}{x}}}{{x - 1}}\\c.\frac{{{x^2} - 25}}{{\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{x}}}\\d.\frac{{{x^2} - 25}}{{\frac{{{x^2} + 10x + 25}}{{x - 5}}}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\\\left\{ \begin{array}{l}x{\rm{ }}--{\rm{ }}1{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\\x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x{\rm{ }} \ne {\rm{ }}1\\x{\rm{ }} \ne  - 2\end{array} \right.\\b.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x{\rm{ }}--{\rm{ }}1{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\\x{\rm{ }} \ne 1\end{array} \right.\\c.\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 10x + 25 \ne 0\\x{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 5)^2} \ne 0\\x{\rm{ }} \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 5\\x \ne 0\end{array} \right.\\d.\\\left\{\begin{array}{l}{x^2} + 10x + 25 \ne 0\\x{\rm{ }}--{\rm{ }}5{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x + 5)^2} \ne 0\\x \ne 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 5\\x \ne 5\end{array} \right.\end{array}\]

Bài 6. Chú ý rằng nếu c > 0 thì \[{\left( {a + b} \right)^2} + c;{\left( {a - b} \right)^2} + c\] đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng :
a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức

\[\frac{{x + 2}}{{x - 1}}.\left( {\frac{{{x^3}}}{{2x + 2}} + 1} \right) - \frac{{8x + 7}}{{2{x^2} - 2}} > 0\]

b. Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3 , biểu thức :

\[\frac{{1 - {x^2}}}{x}.\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 3}} - 1} \right) + \frac{{3{x^2} - 14x + 3}}{{{x^2} + 3x}} < 0\]
Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{x + 2}}{{x - 1}}.\left( {\frac{{{x^3}}}{{2x + 2}} + 1} \right) - \frac{{8x + 7}}{{2{x^2} - 2}}\\ = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}.\frac{{{x^3} + 2x + 2}}{{2(x + 1)}} - \frac{{8x + 7}}{{2(x - 1)(x + 1)}}\\ = \frac{{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 - 8x - 7}}{{2(x - 1)(x + 1)}}\\ = \frac{{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} - 2x - 3}}{{2(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{({x^2} - 1)({x^2} + 2x + 3)}}{{2({x^2} - 1)}}\\ = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{2}\\{x^2} + 2x + 3 = {(x + 1)^2} + 3 > 0 \Rightarrow \frac{{x + 2}}{{x - 1}}.\left( {\frac{{{x^3}}}{{2x + 2}} + 1} \right) - \frac{{8x + 7}}{{2{x^2} - 2}} > 0\\b.\frac{{1 - {x^2}}}{x}.\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 3}} - 1} \right) + \frac{{3{x^2} - 14x + 3}}{{{x^2} + 3x}}\\ = \frac{{(1 - {x^2})({x^2} - x - 3)}}{{x(x + 3)}} + \frac{{3{x^2} - 14x + 3}}{{x(x + 3)}}\\ = \frac{{{x^2} - x - 3 - {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} - 14x + 3}}{{x(x + 3)}}\\ = \frac{{ - {x^4} + {x^3} + 7{x^2} - 15x}}{{x(x + 3)}} = \frac{{(x + 3)( - {x^2} + 4x - 5)}}{{x - 3}}\\=  - {x^2} + 4x - 5 =  - {(x - 2)^2} - 1 < 0\forall x\\ \Rightarrow \frac{{1 - {x^2}}}{x}.\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 3}} - 1} \right) + \frac{{3{x^2} - 14x + 3}}{{{x^2} + 3x}} < 0\end{array}\]

 

 

 

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021