Ôn tập chương 6 - Diện tích đa giác (có đáp án)

  LUYỆN TẬP DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT

(CÓ ĐÁP ÁN)

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H, I, E, K lần lượt là các trung điểm của BC, HC, DC, EC (h.159). Tính

a) Diện tích tam giác DBE

b) Diện tích tứ giác EHIK

Lời giải:

a) Ta có: S_DBE = 1/2 DE.BC

+ Vì E là trung điểm của DC nên DE = 1/2 DC

+ Khi đó: S_DBE = 1/4DC.BC = 1/4 .12. 6,8 = 20,4 (cm²)

b) Ta có S_EHIK = S_EHC – S_KIC

S_EHC = ½.EC.HC = ½. ½ DC. 1/2 BC = ½.6.3,4 = 10,2 (cm²)

S_KIC = ½. KC.IC = ½. ½. EC. ½. CH = 1/8. EC.HC = 1/8.6.3,4 = 2,55 (cm²)

Vậy S_EHIK = 10,2 – 2,55 = 7,65 (cm²)

Bài 2: Trên hình 160 (AC // BF), hãy tìm tam giác có diện tích bằng diện tích tứ giác ABCD.

Hình 160

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AF và BC, ta có:

S_ABCD = S_AOCD + S_ABO (1)

Ta có tam giác ADF có diện tích bằng diện tích tứ giác ABCD.

Thật vậy, do AC // BF nên S_ABC = S_AFC (vì có cùng đáy AC và cùng chiều cao là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song AC, BF).

⇔ S_ABO + S_AOC = S_CFO + S_AOC

Suy ra S_ABO = S_CFO

Do đó S_ADF = S_AOCD + S_CFO = S_AOCD + S_ABO (2)

Từ (1) và (2) suy ra: S_ADF = S_ABCD (đpcm)

Bài 3. Cho hình vuông ABCD có tâm đối xứng O, cạnh a. Một góc vuôn xOy có tia Ox cắt cạnh AB tại E, tia Oy cắt cạnh BC tại F (h.161). Tính diện tích tứ giác OEBF.

Lời giải:

Xét ΔAOE và ΔBOF có:
+ OA = OB ( do ABCD là hình vuông tâm đối xứng O)
+ góc: AOE + EOB = 90º ; BÒ + EOB = xOy = 90º
⇒ góc: AOE = BOF

+ Góc EAO = 45º và FBO = 45º (Vì ABCD là hình vuông)

⇒ 2 góc EAO và FBO bằng nhau

Suy ra: ΔAOE = ΔBOF (g.c.g) ⇒ S_AOE = S_BOF

* Ta có: S_OEBF = S_OEB + S_BOF = S_OEB + S_AOE = S_AOB

= 1/4 S_ABCD = ¼.a²

Bài 4. Gọi O là điểm nằm trong hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai tam giác ABO và CDO bằng tổng diện tích của hai tam giác BCO và DAO.

Lời giải:

Qua O vẽ OH ⊥ AB và OK ⊥ AD ⇒  OH ⊥ DC, OK ⊥ BC

Gọi I, L lần lượt là giao điểm của OK, OH với DC, BC. Ta có:

+ S_ABCD = AB.IH = BC.KL

+ S_ABO = 1/2 AB.OH và SCDO = 1/2 DC.OI

⇒ S_ABO + S_CDO = 1/2 AB.OH + 1/2 DC.OI

= 1/2 AB.OH + 1/2 AB.OI

= 1/2 AB (OH + OI) = 1/2 AB.IH = 1/2 S_ABCD (1)

+ S_BCO = 1/2 BC.OL và S_DAO = 1/2 AD.OK

⇒ S_BCO + S_DAO = 1/2 BC.OL + 1/2AD.OK

= 1/2 BC.OL + 1/2BC.OK

= 1/2BC(OL + OK) = 1/2 BC.KL = 1/2S_ABCD (2)

Từ (1) và (2) ta có: S_ABO + S_CDO = S_BCO + S_DAO

Bài 5. Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài là 6cm và 4cm. Một trong các đường cao có độ dài là 5cm. Tính độ dài đường cao kia.

Lời giải:

Cho hình bình hành ABCD với AB = 6cm, AD = 4cm. Gọi AI, AH lần lượt là đường cao kẻ từ A đến CD, BC.

Ta có: S_ABCD = CD.AI = BC.AH

S_ABCD = 6.AI = 4.AH

Một đường cao có độ dài 5cm thì đó phải là AH vì AH < AB (5 < 6), không thể là AI vì AI < AD (AD = 4).

Vậy 6.AI = 4.5 = 20 => AI = 10/3 = 3,3333 (cm)

Vậy độ dài đường cao còn lại là 3,333 cm.

Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi M, N là các trung điểm tương ứng của AC, BC. Chứng minh rằng diện tích của hình thang ABNM bằng 3/4 diện tích của tam giác ABC.

Lời giải:

Ta có hình vẽ bên. Ta cần chứng minh S_ABMN = 3/4 S_ABC

+ AM = 1/2 AC (gt) ⇒ S_ABM = S_BMC = 1/2 S_ABC (1)

+ BN = NC (gt) ⇒ S_BMN = S_MNC. Khi đó:

SBMC = 1/2_SBMC = 1/2 . 1/2 S_ABC = 1/4 S_ABC (2)

Từ (1) và (2): S_BCMN = S_ABM + S_BMN

= ½.S_ABC + ¼.S_ABC = ¾.S_ABC

Bài 7. Vẽ ba đường trung tuyến của một tam giác (h.162). Chứng minh sáu tam giác 1, 2, 3, 4, 5, 6 có diện tích bằng nhau.

Lời giải:

Gọi diện tích các tam giác theo thứ tự là S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₆.

Ta có:

+ AP = BP ⇒ S₁ = S₂ (Cùng đường cao và đáy bằng nhau) (1)

+ BM = MC ⇒  S₃ = S₄ (Cùng đường cao và đáy bằng nhau) (2)

+ CN = NA ⇒ S₅ = S₆  (Cùng đường cao và đáy bằng nhau) (3)

* S₁ + S₂ + S₃ = S₄ + S₅ + S₆ = 1/2 S_ABC

Kết hợp với (1) (2) (3) ta có 2 S₁ + S₃ = S₄ + 2S₆ ⇒ S₁ = S₆

Vậy S₁ = S₂ = S₅ = S₆ (5)

* S₂ + S₁ + S₆ = S₃ + S₄ + S₅ = 1/2 S_ABC

Kết hợp với (1) (2) (3) ta có:

2S₁ + S₆ = 2S₃ + S₅  ⇒ S₁ = S₃

Vật: S₁ = S₃ = S₄ (6)

Từ (5) và (6) ta có: S₁ = S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆

Bài 8. Cho tam giác ABC với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng

Lời giải

 \(\begin{array}{l}{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}} = {S_{ABC}}\\\begin{array}{*{20}{c}}\Rightarrow &{{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}} = {S_{ABC}}}\\\Rightarrow &{\frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HABC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1}\end{array}\\\Rightarrow \frac{{HA'}}{{AA'}} + \frac{{HB'}}{{BB'}} + \frac{{HC'}}{{CC'}} = 1\end{array}\)

Bài 9.

Cho tam giác ABC.

a, Tính tỉ số đường cao BB’, CC’ xuất phát từ đỉnh B, C

b, Tại sao nếu AB < AC thì BB' < CC’

Lời giải:

 \(\begin{array}{l}a.{S_{ABC}} = \frac{{BB'.AC}}{2} = \frac{{CC'.AB}}{2}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{ \Rightarrow BB'.AC = CC'.AB}\\{}&{ \Rightarrow \frac{{BB'}}{{CC'}} = \frac{{AB}}{{AC}}}\end{array}\\b.AB < AC \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} < 1\\\Rightarrow \frac{{BB'}}{{CC'}} < 1 \Rightarrow BB' < CC'\end{array}\)

Bài 10. Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thắng l cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Biết MN = b. Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng l theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo).

Lời giải:

Gọi h1 và h2 là khoảng cách từ đỉnh B và đỉnh A đến đường thẳng l

Tổng khoảng cách là S.

Vì O là tâm đối xứng của hình vuông nên OM = ON (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra AM = CN

Mà: ∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị)

∠(DNS) = ∠(CNR) (đôi đỉnh)

Suy ra: ∠(AMP) = ∠(CNR)

Suy ra: ΔAPM = ΔCRN (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ CR = AP = h2

AM = CD ⇒ BM = DN

∠(BMQ) = ∠(DNS) (so le trong)

Suy ra: ΔBQM = ΔDSN (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ DS = BQ = h1

S_BOA = 1/4 S_AOB = 1/4 a² (l)

S_BOA = S_BOM + S_AOM = 1/2 .b/2 .h1 + 1/2 .b/2 .h2

Từ (1) va (2) suy ra h1 + h2 = a2b . Vậy : S = 2(h1 + h2) = 2a²b

Bài 11. Tam giác ABC có hai trung tuyến AM, BN vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo AM và BN.

Lời giải:

Tứ giác ẠBMN có hai đường chéo vuông góc.

Ta có: S_ABMN = 1/2 AM.BN

Δ ABM và Δ AMC có chung chiều cao kể từ A, cạnh đáy BM = MC nên: S_ABM = S_AMC = 1/2 SABC

ΔMNA và ΔMNC có chung chiều cao kê từ M, cạnh đáy AN = NC nên: S_MAN = S_MNC = 1/2 SAMC = 1/4 SABC

S_ABMN = S_ABM + S_MNA = 1/2 SABC + 1/4 SABC = 3/4 SABC

Vậy S_ABC = 4/3 S_ABMN = 4/3 .1/2 .AM.BN = 2/3 AM.BN

Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 2AB, AB = a. Ở phía ngoài tam giác, ta vẽ hình vuông BCDE, tam giác đều ABF và tam giác đều AGC.

a, Tính các góc B, C, cạnh AC và diện tích tam giác ABC.

b, Chứng minh rằng FA vuông góc với BE và CG. Tính diện tích các tam giác FAG và FBE.

 Lời giải:

a, Gọi M là trung điểm của BG, ta có:

AM = MB = 1/2 BC = a (tính chất tam giác vuông)

Suy ra MA = MB = AB = a

Suy ra ΔAMB đều ⇒ ∠(ABC) = 60^o

Mặt khác: ∠(ABC) = ∠(ACB) (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: ∠(ACB) = 90^o - ∠(ABC) = 90^o – 60o = 30^o

Trong tam giác vuông ABC, theo Pi-ta-go, ta có: BC²= AB²+ AC²

⇒ AC² = BC² - AB² = 4a² - a² = 3a² ⇒ AC = a√3

Vậy SABC = 1/2 .AB.AC = ½. a. a√3 = ½.a². √3(dvdt)

b, Ta có: ∠(FAB) = ∠(ABC) = 60^o

FA // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

BC ⊥ BE (vì BCDE là hình vuông)

Suy ra: FA ⊥ BE

BC ⊥ CD (vì BCDE là hình vuông)

Suy ra: FA ⊥ CD

Gọi giao điểm BE và FA là H, FA và CG là K.

⇒ BH ⊥ FA và FH = HA = a2 (tính chất tam giác đều)

∠(ACG) + ∠(ACB) + ∠(BCD) = 60^o + 30^o + 90^o = 180^o

⇒ G, C, D thẳng hàng

⇒ AK ⊥ CG và GK = KC = 1/2 GC = 1/2 AC = (a√3)/2

\(\begin{array}{l}{S_{FAG}} = \frac{1}{2}GK.AF = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}(dvdt)\\
{S_{FBE}} = \frac{1}{2}FH.BE = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.2a = \frac{1}{2}{a^2}(dvdt)\end{array}\)