Ôn tập chương 6 - Diện tích đa giác (có đáp án)

Cập nhật lúc: 00:33 18-12-2018 Mục tin: LỚP 8


Tất cả kiến thức của chương Diện tích đa giác các em sẽ được ôn tập lại trong bài viết này, thông qua các bài tập từ dễ đến khó, vận dụng kiến thức tính diện tích hình chữ nhật, tam giác, hình thang, hình bình hành và hình thoi. Các bài tập đều có đáp án rất thuận tiện để các em đối chiếu lại sau khi hoàn thành.

  LUYỆN TẬP DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT

(CÓ ĐÁP ÁN)

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H, I, E, K lần lượt là các trung điểm của BC, HC, DC, EC (h.159). Tính

a) Diện tích tam giác DBE

b) Diện tích tứ giác EHIK

 2016-01-06_133956

Lời giải:

a) Ta có: SDBE = 1/2 DE.BC

+ Vì E là trung điểm của DC nên DE = 1/2 DC

+ Khi đó: SDBE = 1/4DC.BC = 1/4 .12. 6,8 = 20,4 (cm2)

b) Ta có SEHIK = SEHC – SKIC

SEHC = ½.EC.HC = ½. ½ DC. 1/2 BC = ½.6.3,4 = 10,2 (cm2)

SKIC = ½. KC.IC = ½. ½. EC. ½. CH = 1/8. EC.HC = 1/8.6.3,4 = 2,55 (cm2)

Vậy SEHIK = 10,2 – 2,55 = 7,65 (cm2)

Bài 2: Trên hình 160 (AC // BF), hãy tìm tam giác có diện tích bằng diện tích tứ giác ABCD.

 2016-01-06_134931

Hình 160

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AF và BC, ta có:

SABCD = SAOCD + SABO (1)

Ta có tam giác ADF có diện tích bằng diện tích tứ giác ABCD.

Thật vậy, do AC // BF nên SABC = SAFC (vì có cùng đáy AC và cùng chiều cao là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song AC, BF).

⇔ SABO + SAOC = SCFO + SAOC

Suy ra SABO = SCFO

Do đó SADF = SAOCD + SCFO = SAOCD + SABO (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SADF = SABCD (đpcm)

Bài 3. Cho hình vuông ABCD có tâm đối xứng O, cạnh a. Một góc vuôn xOy có tia Ox cắt cạnh AB tại E, tia Oy cắt cạnh BC tại F (h.161). Tính diện tích tứ giác OEBF.

 2016-01-06_135659

Lời giải:

Xét ΔAOE và ΔBOF có:
+ OA = OB ( do ABCD là hình vuông tâm đối xứng O)
+ góc: AOE + EOB = 90º ; BÒ + EOB = xOy = 90º
⇒ góc: AOE = BOF

+ Góc EAO = 45º và FBO = 45º (Vì ABCD là hình vuông)

⇒ 2 góc EAO và FBO bằng nhau

Suy ra: ΔAOE = ΔBOF (g.c.g) ⇒ SAOE = SBOF

* Ta có: SOEBF = SOEB + SBOF = SOEB + SAOE = SAOB

= 1/4 SABCD = ¼.a2

Bài 4. Gọi O là điểm nằm trong hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai tam giác ABO và CDO bằng tổng diện tích của hai tam giác BCO và DAO.

Lời giải:

Qua O vẽ OH ⊥ AB và OK ⊥ AD ⇒  OH ⊥ DC, OK ⊥ BC

Gọi I, L lần lượt là giao điểm của OK, OH với DC, BC. Ta có:

+ SABCD = AB.IH = BC.KL

+ SABO = 1/2 AB.OH và SCDO = 1/2 DC.OI

⇒ SABO + SCDO = 1/2 AB.OH + 1/2 DC.OI

= 1/2 AB.OH + 1/2 AB.OI

= 1/2 AB (OH + OI) = 1/2 AB.IH = 1/2 SABCD (1)

+ SBCO = 1/2 BC.OL và SDAO = 1/2 AD.OK

⇒ SBCO + SDAO = 1/2 BC.OL + 1/2AD.OK

= 1/2 BC.OL + 1/2BC.OK

= 1/2BC(OL + OK) = 1/2 BC.KL = 1/2SABCD (2)

Từ (1) và (2) ta có: SABO + SCDO = SBCO + SDAO

Bài 5. Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài là 6cm và 4cm. Một trong các đường cao có độ dài là 5cm. Tính độ dài đường cao kia.

Lời giải:

 2016-01-06_142304

Cho hình bình hành ABCD với AB = 6cm, AD = 4cm. Gọi AI, AH lần lượt là đường cao kẻ từ A đến CD, BC.

Ta có: SABCD = CD.AI = BC.AH

SABCD = 6.AI = 4.AH

Một đường cao có độ dài 5cm thì đó phải là AH vì AH < AB (5 < 6), không thể là AI vì AI < AD (AD = 4).

Vậy 6.AI = 4.5 = 20 => AI = 10/3 = 3,3333 (cm)

Vậy độ dài đường cao còn lại là 3,333 cm.

Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi M, N là các trung điểm tương ứng của AC, BC. Chứng minh rằng diện tích của hình thang ABNM bằng 3/4 diện tích của tam giác ABC.

Lời giải:

Ta có hình vẽ bên. Ta cần chứng minh SABMN = 3/4 SABC

+ AM = 1/2 AC (gt) ⇒ SABM = SBMC = 1/2 SABC (1)

+ BN = NC (gt) ⇒ SBMN = SMNC. Khi đó:

SBMC = 1/2SBMC = 1/2 . 1/2 SABC = 1/4 SABC (2)

Từ (1) và (2): SBCMN = SABM + SBMN

= ½.SABC + ¼.SABC = ¾.SABC

Bài 7. Vẽ ba đường trung tuyến của một tam giác (h.162). Chứng minh sáu tam giác 1, 2, 3, 4, 5, 6 có diện tích bằng nhau.

 

Lời giải:

 

Gọi diện tích các tam giác theo thứ tự là S1, S2, S3, S4, S5, S6.

Ta có:

+ AP = BP ⇒ S1 = S2 (Cùng đường cao và đáy bằng nhau) (1)

+ BM = MC ⇒  S3 = S4 (Cùng đường cao và đáy bằng nhau) (2)

+ CN = NA ⇒ S5 = S6  (Cùng đường cao và đáy bằng nhau) (3)

* S1 + S2 + S3 = S4 + S5 + S6 = 1/2 SABC

Kết hợp với (1) (2) (3) ta có 2 S1 + S3 = S4 + 2S6 ⇒ S1 = S6

Vậy S1 = S2 = S5 = S6 (5)

* S2 + S1 + S= S+ S4 + S5 = 1/2 SABC

Kết hợp với (1) (2) (3) ta có:

2S1 + S6 = 2S3 + S5  ⇒ S1 = S3

Vật: S1 = S3 = S4 (6)

Từ (5) và (6) ta có: S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6

Bài 8. Cho tam giác ABC với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng

 

Lời giải

 \(\begin{array}{l}{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}} = {S_{ABC}}\\\begin{array}{*{20}{c}}\Rightarrow &{{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}} = {S_{ABC}}}\\\Rightarrow &{\frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HABC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1}\end{array}\\\Rightarrow \frac{{HA'}}{{AA'}} + \frac{{HB'}}{{BB'}} + \frac{{HC'}}{{CC'}} = 1\end{array}\)

Bài 9.

Cho tam giác ABC.

a, Tính tỉ số đường cao BB’, CC’ xuất phát từ đỉnh B, C

b, Tại sao nếu AB < AC thì BB' < CC’

Lời giải:

 

 \(\begin{array}{l}a.{S_{ABC}} = \frac{{BB'.AC}}{2} = \frac{{CC'.AB}}{2}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{ \Rightarrow BB'.AC = CC'.AB}\\{}&{ \Rightarrow \frac{{BB'}}{{CC'}} = \frac{{AB}}{{AC}}}\end{array}\\b.AB < AC \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} < 1\\\Rightarrow \frac{{BB'}}{{CC'}} < 1 \Rightarrow BB' < CC'\end{array}\)

Bài 10. Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thắng l cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Biết MN = b. Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng l theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo).

Lời giải:

Gọi h1 và h2 là khoảng cách từ đỉnh B và đỉnh A đến đường thẳng l

Tổng khoảng cách là S.

Vì O là tâm đối xứng của hình vuông nên OM = ON (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra AM = CN

Mà: ∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị)

∠(DNS) = ∠(CNR) (đôi đỉnh)

Suy ra: ∠(AMP) = ∠(CNR)

Suy ra: ΔAPM = ΔCRN (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ CR = AP = h2

AM = CD ⇒ BM = DN

∠(BMQ) = ∠(DNS) (so le trong)

Suy ra: ΔBQM = ΔDSN (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ DS = BQ = h1

SBOA = 1/4 SAOB = 1/4 a2 (l)

SBOA = SBOM + SAOM = 1/2 .b/2 .h1 + 1/2 .b/2 .h2

Từ (1) va (2) suy ra h1 + h2 = a2b . Vậy : S = 2(h1 + h2) = 2a2b

Bài 11. Tam giác ABC có hai trung tuyến AM, BN vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo AM và BN.

Lời giải:

 

Tứ giác ẠBMN có hai đường chéo vuông góc.

Ta có: SABMN = 1/2 AM.BN

Δ ABM và Δ AMC có chung chiều cao kể từ A, cạnh đáy BM = MC nên: SABM = SAMC = 1/2 SABC

ΔMNA và ΔMNC có chung chiều cao kê từ M, cạnh đáy AN = NC nên: SMAN = SMNC = 1/2 SAMC = 1/4 SABC

SABMN = SABM + SMNA = 1/2 SABC + 1/4 SABC = 3/4 SABC

Vậy SABC = 4/3 SABMN = 4/3 .1/2 .AM.BN = 2/3 AM.BN

Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 2AB, AB = a. Ở phía ngoài tam giác, ta vẽ hình vuông BCDE, tam giác đều ABF và tam giác đều AGC.

a, Tính các góc B, C, cạnh AC và diện tích tam giác ABC.

b, Chứng minh rằng FA vuông góc với BE và CG. Tính diện tích các tam giác FAG và FBE.

 Lời giải:

 

a, Gọi M là trung điểm của BG, ta có:

AM = MB = 1/2 BC = a (tính chất tam giác vuông)

Suy ra MA = MB = AB = a

Suy ra ΔAMB đều ⇒ ∠(ABC) = 60o

Mặt khác: ∠(ABC) = ∠(ACB) (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: ∠(ACB) = 90o - ∠(ABC) = 90o – 60o = 30o

Trong tam giác vuông ABC, theo Pi-ta-go, ta có: BC2= AB2+ AC2

⇒ AC2 = BC2 - AB2 = 4a2 - a= 3a2 ⇒ AC = a√3

Vậy SABC = 1/2 .AB.AC = ½. a. a√3 = ½.a2. √3(dvdt)

b, Ta có: ∠(FAB) = ∠(ABC) = 60o

FA // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

BC ⊥ BE (vì BCDE là hình vuông)

Suy ra: FA ⊥ BE

BC ⊥ CD (vì BCDE là hình vuông)

Suy ra: FA ⊥ CD

Gọi giao điểm BE và FA là H, FA và CG là K.

⇒ BH ⊥ FA và FH = HA = a2 (tính chất tam giác đều)

∠(ACG) + ∠(ACB) + ∠(BCD) = 60o + 30o + 90o = 180o

⇒ G, C, D thẳng hàng

⇒ AK ⊥ CG và GK = KC = 1/2 GC = 1/2 AC = (a√3)/2

\(\begin{array}{l}{S_{FAG}} = \frac{1}{2}GK.AF = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}(dvdt)\\
{S_{FBE}} = \frac{1}{2}FH.BE = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.2a = \frac{1}{2}{a^2}(dvdt)\end{array}\)

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021