Ôn tập chương II - Phân thức đại số (có đáp án)

  ÔN TẬP CHƯƠNG II - PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

(CÓ ĐÁP ÁN)

Bài 1. Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau:

\(\begin{array}{l}a.\frac{3}{{2x - 3}}\& \frac{{3x + 6}}{{2{x^2} + x - 6}}\\b.\frac{2}{{x + 4}}\& \frac{{2{x^2} + 6x}}{{{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{3}{{2x - 3}}\& \frac{{3x + 6}}{{2{x^2} + x - 6}}\\\frac{{3x + 6}}{{2{x^2} + x - 6}} = \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{2{x^2} + 4x - 3x - 6}} = \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{2x\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{3}{{2x - 3}}\\ \Rightarrow \frac{3}{{2x - 3}} = \frac{{3x + 6}}{{2{x^2} + x - 6}}\\b.\frac{2}{{x + 4}}\& \frac{{2{x^2} + 6x}}{{{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\\\frac{{2{x^2} + 6x}}{{{x^3} + 7{x^2} + 12x}} = \frac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {{x^2} + 7x + 12} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{{x^2} + 3x + 4x + 12}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right) + 4\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{2}{{x + 4}}\\ \Rightarrow \frac{2}{{x + 4}} = \frac{{2{x^2} + 6x}}{{{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\end{array}\)

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:

\(\begin{array}{l}a.\left( {\frac{{2x + 1}}{{2x - 1}} - \frac{{2x - 1}}{{2x + 1}}} \right):\frac{{4x}}{{10x - 5}}\\b.\left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right);\\c.\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}}.\left( {\frac{1}{{{x^2} - 2x + 1}} + \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right).\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\left( {\frac{{2x + 1}}{{2x - 1}} - \frac{{2x - 1}}{{2x + 1}}} \right):\frac{{4x}}{{10x - 5}}\\ = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.\frac{{10x + 5}}{{4x}}\\ = \frac{{4{x^2} + 4x + 1 - 4{x^2} + 4x - 1}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.\frac{{5\left( {2x + 1} \right)}}{{4x}}\\ = \frac{{8x.5\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right).4x}} = \frac{{10}}{{2x - 1}}\\b.\left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right)\\ = \left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + \frac{{{x^2}}}{x} - \frac{{2x}}{x}} \right)\\ = \left( {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right):\frac{{1 + {x^2} - 2x}}{x}\\ = \frac{{1 + x\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{x}{{{x^2} - 2x + 1}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)x}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x + 1}}\\c.\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}}.\left( {\frac{1}{{{x^2} - 2x + 1}} + \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right)\\ = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}}.\left( {\frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right)\\ = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}.\frac{{x + 1 - \left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}.\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}.\frac{{x + 1 - x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\end{array}\)

Bài 3. a) Cho biểu thức \(\frac{{xP}}{{x + P}} - \frac{{yP}}{{y - P}}\)

Thay \(P = \frac{{xy}}{{x - y}}\) vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức

b) Cho biểu thức \(\frac{{{P^2}{Q^2}}}{{{P^2} - {Q^2}}}\). Thay \(P = \frac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}};Q = \frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\) vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.

Giải:

\(\begin{array}{l}a.P = \frac{{xy}}{{x - y}}\\ \Rightarrow \frac{{xP}}{{x + P}} - \frac{{yP}}{{y - P}} = \frac{{\frac{{{x^2}y}}{{x - y}}}}{{x + \frac{{xy}}{{x - y}}}} - \frac{{\frac{{x{y^2}}}{{x - y}}}}{{y - \frac{{xy}}{{x - y}}}}\\ = \frac{{\frac{{{x^2}y}}{{x - y}}}}{{\frac{{{x^2} - xy + xy}}{{x - y}}}} - \frac{{\frac{{x{y^2}}}{{x - y}}}}{{\frac{{xy - {y^2} - xy}}{{x - y}}}} = \frac{{\frac{{{x^2}y}}{{x - y}}}}{{\frac{{{x^2}}}{{x - y}}}} - \frac{{\frac{{x{y^2}}}{{x - y}}}}{{\frac{{ - {y^2}}}{{x - y}}}}\\ = \left( {\frac{{{x^2}y}}{{x - y}}.\frac{{x - y}}{{{x^2}}}} \right) - \left( {\frac{{x{y^2}}}{{x - y}}.\frac{{x - y}}{{ - {y^2}}}} \right)\\ = \frac{{{x^2}y}}{{{x^2}}} - \frac{{x{y^2}}}{{ - {y^2}}} = y + x = x + y\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b.P = \frac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}};Q = \frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\\\Rightarrow \frac{{{P^2}{Q^2}}}{{{P^2} - {Q^2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}} \right)}^2}.{{\left( {\frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {\frac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{{2xy.2xy}}{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}}\right)}^2}}}{{\frac{{4{x^2}{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}}} - \frac{{4{x^2}{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}}}\\ = \frac{{\frac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}}\right)}^2}}}}}{{\frac{{4{x^2}{y^2}\left( {{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - {{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}} \right)}}{{{{\left( {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right)}^2}}}}}\\ = \frac{{\frac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}{{\frac{{4{x^2}{y^2}.({x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4} - {x^4} + 2{x^2}{y^2} - {y^4}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}\\ = \frac{{\frac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}{{\frac{{4{x^2}{y^2}.4{x^2}{y^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}} = \frac{{\frac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}{{\frac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}} = 1\end{array}\)

Bài 4: Cho biểu thức \(\left( {\frac{{x + 1}}{{2x - 2}} + \frac{3}{{{x^2} - 1}} - \frac{{x + 3}}{{2x + 2}}} \right).\frac{{4{x^2} - 4}}{5}\)

a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định
b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x

Giải:

a) ĐKXĐ:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 = 2\left( {x - 1} \right) \ne 0\\{x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\\2x + 2 = 2\left( {x + 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow x \ne  \pm 1\)

b) Để chứng minh biểu thức không phục thuộc vào biến x ta phải chứng tỏ rằng có thể biến đổi biểu thức này thành một hằng số.
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{{x + 1}}{{2x - 2}} + \frac{3}{{{x^2} - 1}} - \frac{{x + 3}}{{2x + 2}}} \right).\frac{{4{x^2} - 4}}{5}\\ = \left( {\frac{{x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}} + \frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{x + 3}}{{2\left( {x + 1} \right)}}} \right)\\ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 6 - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{5}\\ = \frac{{{x^2} + 2x + 1 + 6 - {x^2} - 2x + 3}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{5}\\ = \frac{{10}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{5}\\ = \frac{{10.4.\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).5}} = \frac{{10.2}}{5} = 4\end{array}\)
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 5. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức \(\left( {\frac{{5x + 2}}{{{x^2} - 10x}} + \frac{{5x - 2}}{{{x^2} + 10x}}} \right).\frac{{{x^2} - 100}}{{{x^2} + 4}}\) được xác định. Tính giá trị của biểu thức tại x =20040

Giải:

ĐKXĐ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 10x = x\left( {x - 10} \right) \ne 0\\{x^2} + 10x = x\left( {x + 10} \right) \ne 0\\{x^2} + 4 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0;x - 10 \ne 0\\x \ne 0;x + 10 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow x \ne  - 10,\;x \ne 0,\;x \ne 10\)

\(\begin{array}{l}\left( {\frac{{5x + 2}}{{{x^2} - 10x}} + \frac{{5x - 2}}{{{x^2} + 10x}}} \right).\frac{{{x^2} - 100}}{{{x^2} + 4}}\\ = \left( {\frac{{5x + 2}}{{x\left( {x - 10} \right)}} + \frac{{5x - 2}}{{x\left( {x + 10} \right)}}} \right).\frac{{{x^2} - 100}}{{{x^2} + 4}}\\= \frac{{\left( {5x + 2} \right)\left( {x + 10} \right) + \left( {5x - 2} \right)\left( {x - 10} \right)}}{{x\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}.\frac{{\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{{x^2} + 4}}\\ = \frac{{5{x^2} + 52x + 20 + 5{x^2} - 52x + 20}}{{x\left( {{x^2} + 4} \right)}} = \frac{{10{x^2} + 40}}{{x\left( {{x^2} + 4} \right)}}\\ = \frac{{10\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{x\left( {{x^2} + 4} \right)}} = \frac{{10}}{x}\end{array}\)

x = 20040 => Giá trị biểu thức là 10/20040 = 1/2004

Bài 6. Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức \(\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 5x}}\) bằng 0.

Giải:

Giá trị của biểu thức được xác định khi x² -5x # 0 ⇔ x # 0 và x # 5

Ta có:  \(\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 5x}}\) = 0

⇒x² -10x +25 = 0  ⇔ (x-5)² = 0  ⇔ x=5 (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy không có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng 0.

Bài 7. Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số, rồi tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức cũng là số nguyên:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{3{x^2} - 4x - 17}}{{x + 2}}\\b.\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 3}}\end{array}\)

Giải:

a. Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{3{x^2} - 4x - 17}}{{x + 2}} = \frac{{\left( {3{x^2} + 6x} \right) - \left( {10x + 20} \right) + 3}}{{x + 2}}\\ = \frac{{3x\left( {x + 2} \right) - 10\left( {x + 2} \right) + 3}}{{x + 2}}\\ = 3x - 10 + \frac{3}{{x + 2}}\end{array}\)

Để x ∈ Z và P∈ Z thì x + 2 là ước của 3
Ước của 3 là: ±1; ±3 nên

x + 2 = -1 ⇒x = -3;
x + 2 = 1 ⇒x = -1;
x + 2 = -3 ⇒x = -5;
x + 2 =3 ⇒x = 1

Vậy x ∈ {-5;-3;-1;1}.

b. Ta có: \(\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 3}} = x + 2 + \frac{8}{{x - 3}}\)

Để x ∈ Z và Q ∈ Z thì x – 3 là ước của 8
Ước của 8 là: ±1; ±2; ±4; ±8 nên
x -3 = -1 ⇒ x = 2;
x -3 = 1 ⇒ x = 4;
x -3 = -2 ⇒ x = 1;
x -3 = 2 ⇒ x = 5;
x -3 = -4 ⇒ x = -1;
x -3 = 4⇒ x = 7;
x -3 = -8⇒ x = -5;
x -3 = 8 ⇒ x = 11;

Vậy x ∈{-5;-1;1;2;4;5;7;11}