Ôn tập chương II - Phân thức đại số (có đáp án)

Cập nhật lúc: 13:34 12-12-2018 Mục tin: LỚP 8


Các em sẽ được ôn tập lại tổng hợp kiến thức về chương 2 - phân thức đại số trong bài viết này. Qua các bài tập như chứng minh phân thức bằng nhau, rút gọn phân thức, tính toán...các em sẽ được củng cố và có cơ hội để luyện tập kĩ năng làm bài của mình. Ngoài ra các bài toán đều có hướng dẫn kèm theo để các em so sánh kết quả.

  ÔN TẬP CHƯƠNG II - PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

(CÓ ĐÁP ÁN)

Bài 1. Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau:

\(\begin{array}{l}a.\frac{3}{{2x - 3}}\& \frac{{3x + 6}}{{2{x^2} + x - 6}}\\b.\frac{2}{{x + 4}}\& \frac{{2{x^2} + 6x}}{{{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{3}{{2x - 3}}\& \frac{{3x + 6}}{{2{x^2} + x - 6}}\\\frac{{3x + 6}}{{2{x^2} + x - 6}} = \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{2{x^2} + 4x - 3x - 6}} = \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{2x\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{3}{{2x - 3}}\\ \Rightarrow \frac{3}{{2x - 3}} = \frac{{3x + 6}}{{2{x^2} + x - 6}}\\b.\frac{2}{{x + 4}}\& \frac{{2{x^2} + 6x}}{{{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\\\frac{{2{x^2} + 6x}}{{{x^3} + 7{x^2} + 12x}} = \frac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {{x^2} + 7x + 12} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{{x^2} + 3x + 4x + 12}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right) + 4\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{2}{{x + 4}}\\ \Rightarrow \frac{2}{{x + 4}} = \frac{{2{x^2} + 6x}}{{{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\end{array}\)

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:

\(\begin{array}{l}a.\left( {\frac{{2x + 1}}{{2x - 1}} - \frac{{2x - 1}}{{2x + 1}}} \right):\frac{{4x}}{{10x - 5}}\\b.\left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right);\\c.\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}}.\left( {\frac{1}{{{x^2} - 2x + 1}} + \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right).\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\left( {\frac{{2x + 1}}{{2x - 1}} - \frac{{2x - 1}}{{2x + 1}}} \right):\frac{{4x}}{{10x - 5}}\\ = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.\frac{{10x + 5}}{{4x}}\\ = \frac{{4{x^2} + 4x + 1 - 4{x^2} + 4x - 1}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.\frac{{5\left( {2x + 1} \right)}}{{4x}}\\ = \frac{{8x.5\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right).4x}} = \frac{{10}}{{2x - 1}}\\b.\left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right)\\ = \left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + \frac{{{x^2}}}{x} - \frac{{2x}}{x}} \right)\\ = \left( {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right):\frac{{1 + {x^2} - 2x}}{x}\\ = \frac{{1 + x\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{x}{{{x^2} - 2x + 1}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)x}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x + 1}}\\c.\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}}.\left( {\frac{1}{{{x^2} - 2x + 1}} + \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right)\\ = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}}.\left( {\frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right)\\ = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}.\frac{{x + 1 - \left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}.\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}.\frac{{x + 1 - x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\end{array}\)

Bài 3. a) Cho biểu thức \(\frac{{xP}}{{x + P}} - \frac{{yP}}{{y - P}}\)

Thay \(P = \frac{{xy}}{{x - y}}\) vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức

b) Cho biểu thức \(\frac{{{P^2}{Q^2}}}{{{P^2} - {Q^2}}}\). Thay \(P = \frac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}};Q = \frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\) vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.

Giải:

\(\begin{array}{l}a.P = \frac{{xy}}{{x - y}}\\ \Rightarrow \frac{{xP}}{{x + P}} - \frac{{yP}}{{y - P}} = \frac{{\frac{{{x^2}y}}{{x - y}}}}{{x + \frac{{xy}}{{x - y}}}} - \frac{{\frac{{x{y^2}}}{{x - y}}}}{{y - \frac{{xy}}{{x - y}}}}\\ = \frac{{\frac{{{x^2}y}}{{x - y}}}}{{\frac{{{x^2} - xy + xy}}{{x - y}}}} - \frac{{\frac{{x{y^2}}}{{x - y}}}}{{\frac{{xy - {y^2} - xy}}{{x - y}}}} = \frac{{\frac{{{x^2}y}}{{x - y}}}}{{\frac{{{x^2}}}{{x - y}}}} - \frac{{\frac{{x{y^2}}}{{x - y}}}}{{\frac{{ - {y^2}}}{{x - y}}}}\\ = \left( {\frac{{{x^2}y}}{{x - y}}.\frac{{x - y}}{{{x^2}}}} \right) - \left( {\frac{{x{y^2}}}{{x - y}}.\frac{{x - y}}{{ - {y^2}}}} \right)\\ = \frac{{{x^2}y}}{{{x^2}}} - \frac{{x{y^2}}}{{ - {y^2}}} = y + x = x + y\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b.P = \frac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}};Q = \frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\\\Rightarrow \frac{{{P^2}{Q^2}}}{{{P^2} - {Q^2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}} \right)}^2}.{{\left( {\frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {\frac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{{2xy.2xy}}{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}}\right)}^2}}}{{\frac{{4{x^2}{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}}} - \frac{{4{x^2}{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}}}\\ = \frac{{\frac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}}\right)}^2}}}}}{{\frac{{4{x^2}{y^2}\left( {{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - {{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}} \right)}}{{{{\left( {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right)}^2}}}}}\\ = \frac{{\frac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}{{\frac{{4{x^2}{y^2}.({x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4} - {x^4} + 2{x^2}{y^2} - {y^4}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}\\ = \frac{{\frac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}{{\frac{{4{x^2}{y^2}.4{x^2}{y^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}} = \frac{{\frac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}{{\frac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}} = 1\end{array}\)

Bài 4: Cho biểu thức \(\left( {\frac{{x + 1}}{{2x - 2}} + \frac{3}{{{x^2} - 1}} - \frac{{x + 3}}{{2x + 2}}} \right).\frac{{4{x^2} - 4}}{5}\)

a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định
b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x

Giải:

a) ĐKXĐ:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 = 2\left( {x - 1} \right) \ne 0\\{x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\\2x + 2 = 2\left( {x + 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow x \ne  \pm 1\)

b) Để chứng minh biểu thức không phục thuộc vào biến x ta phải chứng tỏ rằng có thể biến đổi biểu thức này thành một hằng số.
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{{x + 1}}{{2x - 2}} + \frac{3}{{{x^2} - 1}} - \frac{{x + 3}}{{2x + 2}}} \right).\frac{{4{x^2} - 4}}{5}\\ = \left( {\frac{{x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}} + \frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{x + 3}}{{2\left( {x + 1} \right)}}} \right)\\ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 6 - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{5}\\ = \frac{{{x^2} + 2x + 1 + 6 - {x^2} - 2x + 3}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{5}\\ = \frac{{10}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{5}\\ = \frac{{10.4.\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).5}} = \frac{{10.2}}{5} = 4\end{array}\)
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 5. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức \(\left( {\frac{{5x + 2}}{{{x^2} - 10x}} + \frac{{5x - 2}}{{{x^2} + 10x}}} \right).\frac{{{x^2} - 100}}{{{x^2} + 4}}\) được xác định. Tính giá trị của biểu thức tại x =20040

Giải:

ĐKXĐ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 10x = x\left( {x - 10} \right) \ne 0\\{x^2} + 10x = x\left( {x + 10} \right) \ne 0\\{x^2} + 4 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0;x - 10 \ne 0\\x \ne 0;x + 10 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow x \ne  - 10,\;x \ne 0,\;x \ne 10\)

\(\begin{array}{l}\left( {\frac{{5x + 2}}{{{x^2} - 10x}} + \frac{{5x - 2}}{{{x^2} + 10x}}} \right).\frac{{{x^2} - 100}}{{{x^2} + 4}}\\ = \left( {\frac{{5x + 2}}{{x\left( {x - 10} \right)}} + \frac{{5x - 2}}{{x\left( {x + 10} \right)}}} \right).\frac{{{x^2} - 100}}{{{x^2} + 4}}\\= \frac{{\left( {5x + 2} \right)\left( {x + 10} \right) + \left( {5x - 2} \right)\left( {x - 10} \right)}}{{x\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}.\frac{{\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{{x^2} + 4}}\\ = \frac{{5{x^2} + 52x + 20 + 5{x^2} - 52x + 20}}{{x\left( {{x^2} + 4} \right)}} = \frac{{10{x^2} + 40}}{{x\left( {{x^2} + 4} \right)}}\\ = \frac{{10\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{x\left( {{x^2} + 4} \right)}} = \frac{{10}}{x}\end{array}\)

x = 20040 => Giá trị biểu thức là 10/20040 = 1/2004

Bài 6. Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức \(\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 5x}}\) bằng 0.

Giải:

Giá trị của biểu thức được xác định khi x2 -5x # 0 ⇔ x # 0 và x # 5

Ta có:  \(\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 5x}}\) = 0

⇒x2 -10x +25 = 0  ⇔ (x-5)2 = 0  ⇔ x=5 (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy không có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng 0.

Bài 7. Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số, rồi tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức cũng là số nguyên:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{3{x^2} - 4x - 17}}{{x + 2}}\\b.\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 3}}\end{array}\)

Giải:

a. Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{3{x^2} - 4x - 17}}{{x + 2}} = \frac{{\left( {3{x^2} + 6x} \right) - \left( {10x + 20} \right) + 3}}{{x + 2}}\\ = \frac{{3x\left( {x + 2} \right) - 10\left( {x + 2} \right) + 3}}{{x + 2}}\\ = 3x - 10 + \frac{3}{{x + 2}}\end{array}\)

Để x ∈ Z và P∈ Z thì x + 2 là ước của 3
Ước của 3 là: ±1; ±3 nên

x + 2 = -1 ⇒x = -3;
x + 2 = 1 ⇒x = -1;
x + 2 = -3 ⇒x = -5;
x + 2 =3 ⇒x = 1

Vậy x ∈ {-5;-3;-1;1}.

b. Ta có: \(\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 3}} = x + 2 + \frac{8}{{x - 3}}\)

Để x ∈ Z và Q ∈ Z thì x – 3 là ước của 8
Ước của 8 là: ±1; ±2; ±4; ±8 nên
x -3 = -1 ⇒ x = 2;
x -3 = 1 ⇒ x = 4;
x -3 = -2 ⇒ x = 1;
x -3 = 2 ⇒ x = 5;
x -3 = -4 ⇒ x = -1;
x -3 = 4⇒ x = 7;
x -3 = -8⇒ x = -5;
x -3 = 8 ⇒ x = 11;

Vậy x ∈{-5;-1;1;2;4;5;7;11}

 

 

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021