Luyện tập Diện tích hình thoi (có đáp án)

  LUYỆN TẬP DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT

(CÓ ĐÁP ÁN)

Bài 1. a) Hãy vẽ một tứ giác có độ dài hai đường chéo là: 3,6 cm, 6cm và hai đường chéo đó vuông góc với nhau. Có thể vẽ được bao nhiêu tứ giác như vậy? Hãy tính diện tích mỗi tứ giác vừa vẽ.

b) Hãy tính diện tích hình vuông có độ dài đường chéo là d.

Lời giải:

(Ghi chú: Bài này áp dụng công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc và diện tích hình thoi. Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.)

a) Có thể vẽ được vô số tứ giác theo yêu cầu từ đề bài. Chẳng hạn tứ giác ABCD ở hình trên có:

AC = 6cm

BD = 3,6cm

AC ⊥ BD tại H với H là điểm tùy ý thuộc đoạn AC và BD

S.tứgiác vừa vẽ: S_ABCD = S_ABC + S_ACD =1/2AC.BH + 1/2AC.DH = 1/2AC.(BH +DH) =1/2 AC. BD = 1/2. 6. 3,6 = 10,8 (cm²)

b) S.hìnhvuông có độ dài đường chéo là d

Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau, nên  S = 1/2d.d = 1/2.d²

Bài 2: Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng đường chéo của một hình thoi cho trước và có diện tích bằng diện tích của hình thoi đó. Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.

Lời giải:

Cho hình thoi ABCD, vẽ hình chữ nhật có một cạnh là đường chéo BD, cạnh kia bằng IC (bằng nửa AC).

Khi đó ΔACF = ΔABI, ΔCDE = ΔDIA (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒  S_BCF = S_ABI, S_CDE = S_DIA

Ta có: S_BDEF = S_BCD + S_BCF + S_CDE = S_BCD + S_ABI + S_DIA = S_ABCD

S_ABCD = S_BDEF = BD.DE =BD.IC = BD.1/2.AC = 1/2.AC.BD

Vậy Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.

Bài 3. Cho một hình chữ nhật. Vẽ tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật. Vì sao tứ giác này là một hình thoi? So sánh diện tích hình chữ nhật, từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.

Lời giải:

Cho hình chữ nhật ABCD; M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC, CD, DA.
* Chứng minh MNPQ là hình thoi

Ta có  MN = PQ  = 1/2BD

NP = MQ = 1/2 AC

Mà AC = BD

⇒ MN = NP = PQ = QM nên tứgiác MNPQ là hìnhthoi (Có 4 cạnh bằng nhau)

* Theo bài 2 (các em tham khảo ở trên), ta có S_MNPQ = S_ABNQ và S_MNPQ = S_NQDC

Vì vậy S_ABCD = S_ABNQ + S_NQDC = 2S_MNPQ

* Ta có S_ABCD =2_SMNPQ ⇒ S_MNPQ = 1/2S_ABCD = 1/2AB.BC = 1/2NQ.MP

 Bài 4. Tính diện tích hình thoi có cạnh dài 6cm và một trong các góc của nó có số đo là 60^o.

Lời giải:

Cho hình_thoi ABCD có cạnh AB = 6cm, ∠A = 60⁰

+ ABCD là hình_thoi  ⇒ ΔBAD cân tại A. Mà ∠A = 60⁰ nên ΔABD là tam giác đều ⇒ BD = AB = 6cm

+ AC ⊥ BD và BI = ID = 3cm

Trong tam giác vuông AIB áp dụng định lý pitago

AI² = AB² – IB² = 36 – 9 = 27 ⇒ AI = √27 (cm)

Suy ra: AC = 2AI = 2√27 (cm)

Vậy S_ABCD = 1/2AC.BD = 1/2.2√27 .6 = 12√27 (cm²)

 Bài 5. Cho một hình thoi và một hình vuông có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? Vì sao?

Lời giải:

Giả sử hình thoi ABCD và hình vuông MNPQ có cùng chu vi là 4a

Suy ra cạnh hình thoi và cạnh hình vuông đều có độ dài a

Ta có: S_MNPQ = a²

Từ đỉnh góc tù A của hình thoi ABCD vẽ đường cao AH có độ dài h.

Khi đó S_ABCD = ah (áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành).

Nhưng h ≤ a (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

Nên ah ≤ a²

Vậy S_ABCD ≤ S_MNPQ

Dấu "=" xảy ra khi h = a hay H trùng với D, nghĩa là hình thoi ABCD trở thành hình vuông.

 Bài 6. Trong những hình thoi có chu vi bằng nhau, hãy tìm hình thoi có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Giả sử có hình thoi ABCD. Kẻ DH ⊥ AB.

Ta có: S_ABCD = AB.DH

Tam giác AHD vuông tại H nên: AH ≤ AD

Mà AB = AD (gt)

Nên: S_ABCD < AB²

Vậy S_ABCD có giá trị lớn nhất khi bằng AB²

Khi đó ABCD là hình vuông.

Vậy trong các hình thoi có chu vi bằng nhau thì hình vuông là hình có diện tích lớn nhất.

Bài 7. Tính diện tích hình thoi, biết cạnh của nó dài 6,2cm và một trong các góc của nó bằng 30^o.

Lời giải:

Giả sử hình thoi ABCD có AB = 6,2cm; A = 30^o

Từ B kẻ BH ⊥ AD (H ∈ AD)

Tam giác vuông AHB là một nửa tam giác đều cạnh AB nên:

BH = 1/2 AB = 3,1 (cm)

Vậy S_ABCD = BH.AD = 3,1.6,2 = 19,22 (cm²)

Bài 8. Cho hình thoi ABCD, biết AB = 5cm, AI = 3cm (I là giao điểm của hai đường chéo). Hãy tính điện tích hình thoi.

Lời giải:

Áp dụng Pi-ta-go vào tam giác vuông IAB, ta có: AB² = AI² + IB²

⇒ IB2 = AB² - AI² = 25 – 9 = 16

⇒ IB = 4(cm).

AC = 2AI = 2.3 = 6 (cm)

BD = 2IB = 2.4 = 8 (cm)

S_ABCD = 1/2 AC.BD = 1/2 .6.8 = 24 (cm²)

Bài 9.

a. Hãy vẽ một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau, biết độ dài hai đường chéo đó là a và 1/2 a . Hỏi vẽ được bao nhiêu hình như vậy.

b, Có thể vẽ được mấy hình thoi, biết độ dài hai đường chéo là a và 1/2 a.

c, Hãy tính điện tích các hình vẽ đó

Lời giải:

a, Vẽ được vô số hình tứ giác thỏa mãn yêu cầu

b, Vẽ được duy nhât một hình thm có 2 đường chéo là a và 1/2 a

c, Diện tích các hình vẽ đó là: S = 1/2 a. 1/2 a = 1/4 a² (đvdt).

Bài 10. Hai đường chéo hình thoi có độ dài là 16 cm và 12 cm. Tính:

a, Diện tích hình thoi

b, Độ dài cạnh hình thoi

Lời giải:

a, Ta có: S_ABCD = 1/2 AC.BD = 1/2 .12.16 = 96 (cm²)

b, Trong tam giác vuông OAB, ta có:

AB² = OA² + OB² = AC² + BD²

= 6² + 8² = 100

AB = 10 (cm)

c, Kẻ AH ⊥ CD (H ∈ CD)

Ta có: S_ABCD = AH.CD ⇒ AH = S_ABCD / CD = 96/10 = 9,6 (cm)