Luyện tập Diện tích hình thoi (có đáp án)

Cập nhật lúc: 23:49 17-12-2018 Mục tin: LỚP 8


Bài viết này cung cấp cho các em các kiến thức về cách tính diện tích hình thoi cũng như các loại tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau. Từ đó các em sẽ có nền tảng để giải quyết các bài toán như vẽ hình, tính diện tích hình cho trước, so sánh diện tích các hình,...Các bài toán đều có hướng dẫn giải kèm theo để các em so sánh và đối chiếu kết quả.

  LUYỆN TẬP DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT

(CÓ ĐÁP ÁN)

Bài 1. a) Hãy vẽ một tứ giác có độ dài hai đường chéo là: 3,6 cm, 6cm và hai đường chéo đó vuông góc với nhau. Có thể vẽ được bao nhiêu tứ giác như vậy? Hãy tính diện tích mỗi tứ giác vừa vẽ.

b) Hãy tính diện tích hình vuông có độ dài đường chéo là d.

Lời giải:

(Ghi chú: Bài này áp dụng công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc và diện tích hình thoi. Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.)

 bai-32

a) Có thể vẽ được vô số tứ giác theo yêu cầu từ đề bài. Chẳng hạn tứ giác ABCD ở hình trên có:

AC = 6cm

BD = 3,6cm

AC ⊥ BD tại H với H là điểm tùy ý thuộc đoạn AC và BD

S.tứgiác vừa vẽ: SABCD = SABC + SACD =1/2AC.BH + 1/2AC.DH = 1/2AC.(BH +DH) =1/2 AC. BD = 1/2. 6. 3,6 = 10,8 (cm2)

b) S.hìnhvuông có độ dài đường chéo là d

Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau, nên  S = 1/2d.d = 1/2.d2

Bài 2: Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng đường chéo của một hình thoi cho trước và có diện tích bằng diện tích của hình thoi đó. Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.

Lời giải:

Cho hình thoi ABCD, vẽ hình chữ nhật có một cạnh là đường chéo BD, cạnh kia bằng IC (bằng nửa AC).

bai-33

Khi đó ΔACF = ΔABI, ΔCDE = ΔDIA (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒  SBCF = SABI, SCDE = SDIA

Ta có: SBDEF = SBCD + SBCF + SCDE = SBCD + SABI + SDIA = SABCD

SABCD = SBDEF = BD.DE =BD.IC = BD.1/2.AC = 1/2.AC.BD

Vậy Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.

Bài 3. Cho một hình chữ nhật. Vẽ tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật. Vì sao tứ giác này là một hình thoi? So sánh diện tích hình chữ nhật, từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.

Lời giải:

Cho hình chữ nhật ABCD; M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC, CD, DA.
* Chứng minh MNPQ là hình thoi

bai-34

Ta có  MN = PQ  = 1/2BD

NP = MQ = 1/2 AC

Mà AC = BD

⇒ MN = NP = PQ = QM nên tứgiác MNPQ là hìnhthoi (Có 4 cạnh bằng nhau)

* Theo bài 2 (các em tham khảo ở trên), ta có SMNPQ = SABNQ và SMNPQ = SNQDC

Vì vậy SABCD = SABNQ + SNQDC = 2SMNPQ

* Ta có SABCD =2SMNPQ ⇒ SMNPQ = 1/2SABCD = 1/2AB.BC = 1/2NQ.MP

 Bài 4. Tính diện tích hình thoi có cạnh dài 6cm và một trong các góc của nó có số đo là 60o.

Lời giải:

Cho hình_thoi ABCD có cạnh AB = 6cm, ∠A = 600

bai-35

+ ABCD là hình_thoi  ⇒ ΔBAD cân tại A. Mà ∠A = 600 nên ΔABD là tam giác đều ⇒ BD = AB = 6cm

+ AC ⊥ BD và BI = ID = 3cm

Trong tam giác vuông AIB áp dụng định lý pitago

AI2 = AB2 – IB2 = 36 – 9 = 27 ⇒ AI = √27 (cm)

Suy ra: AC = 2AI = 2√27 (cm)

Vậy SABCD = 1/2AC.BD = 1/2.2√27 .6 = 12√27 (cm2)

 Bài 5. Cho một hình thoi và một hình vuông có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? Vì sao?

Lời giải:

 

Giả sử hình thoi ABCD và hình vuông MNPQ có cùng chu vi là 4a

Suy ra cạnh hình thoi và cạnh hình vuông đều có độ dài a

Ta có: SMNPQ = a2

Từ đỉnh góc tù A của hình thoi ABCD vẽ đường cao AH có độ dài h.

Khi đó SABCD = ah (áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành).

Nhưng h ≤ a (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

Nên ah ≤ a2

Vậy SABCD ≤ SMNPQ

Dấu "=" xảy ra khi h = a hay H trùng với D, nghĩa là hình thoi ABCD trở thành hình vuông.

 Bài 6. Trong những hình thoi có chu vi bằng nhau, hãy tìm hình thoi có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

 

Giả sử có hình thoi ABCD. Kẻ DH ⊥ AB.

Ta có: SABCD = AB.DH

Tam giác AHD vuông tại H nên: AH ≤ AD

Mà AB = AD (gt)

Nên: SABCD < AB2

Vậy SABCD có giá trị lớn nhất khi bằng AB2

Khi đó ABCD là hình vuông.

Vậy trong các hình thoi có chu vi bằng nhau thì hình vuông là hình có diện tích lớn nhất.

Bài 7. Tính diện tích hình thoi, biết cạnh của nó dài 6,2cm và một trong các góc của nó bằng 30o.

Lời giải:

 

Giả sử hình thoi ABCD có AB = 6,2cm; A = 30o

Từ B kẻ BH ⊥ AD (H ∈ AD)

Tam giác vuông AHB là một nửa tam giác đều cạnh AB nên:

BH = 1/2 AB = 3,1 (cm)

Vậy SABCD = BH.AD = 3,1.6,2 = 19,22 (cm2)

Bài 8. Cho hình thoi ABCD, biết AB = 5cm, AI = 3cm (I là giao điểm của hai đường chéo). Hãy tính điện tích hình thoi.

Lời giải:

 

Áp dụng Pi-ta-go vào tam giác vuông IAB, ta có: AB2 = AI2 + IB2

⇒ IB2 = AB2 - AI2 = 25 – 9 = 16

⇒ IB = 4(cm).

AC = 2AI = 2.3 = 6 (cm)

BD = 2IB = 2.4 = 8 (cm)

SABCD = 1/2 AC.BD = 1/2 .6.8 = 24 (cm2)

Bài 9.

a. Hãy vẽ một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau, biết độ dài hai đường chéo đó là a và 1/2 a . Hỏi vẽ được bao nhiêu hình như vậy.

b, Có thể vẽ được mấy hình thoi, biết độ dài hai đường chéo là a và 1/2 a.

c, Hãy tính điện tích các hình vẽ đó

Lời giải:

a, Vẽ được vô số hình tứ giác thỏa mãn yêu cầu

b, Vẽ được duy nhât một hình thm có 2 đường chéo là a và 1/2 a

c, Diện tích các hình vẽ đó là: S = 1/2 a. 1/2 a = 1/4 a2 (đvdt).


Bài 10. Hai đường chéo hình thoi có độ dài là 16 cm và 12 cm. Tính:

a, Diện tích hình thoi

b, Độ dài cạnh hình thoi

Lời giải:

 

a, Ta có: SABCD = 1/2 AC.BD = 1/2 .12.16 = 96 (cm2)

b, Trong tam giác vuông OAB, ta có:

AB2 = OA2 + OB2 = AC2 + BD2

= 62 + 82 = 100

AB = 10 (cm)

c, Kẻ AH ⊥ CD (H ∈ CD)

Ta có: SABCD = AH.CD ⇒ AH = SABCD / CD = 96/10 = 9,6 (cm)

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021