Luyện tập Đa giác - Đa giác đều (có đáp án)

  LUYỆN TẬP ĐA GIÁC – ĐA GIÁC ĐỀU

(CÓ ĐÁP ÁN)

Bài 1. Hãy vẽ một lục giác lồi và nêu cách nhận biết một đa giác lồi.

HD:

Cách nhận biết một đa giác lồi: Một đa giác lồi là một đa giác thỏa mãn 2 điều kiện sau:

– Các cạnh chỉ cắt nhau tại các đỉnh, nghĩa là không có hai cạnh nào cắt nhau tại một điểm mà không phải là đỉnh. Một đagiác thỏa mãn điều kiện này là đa giác đơn.

– Đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa một cạnh tùy ý của nó. Một đa giác đơn thỏa mãn thêm điều kiện này là đa giác lồi.

Bài 2: Cho ví dụ về đa giác không đều trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tất cả các cạnh bằng nhau.

b) Có tất cả các góc bằng nhau.

Lời giải:

a) Hình thoi có tất cả các cạnh bằng nhau nhưng các góc có thể không bằng nhau nên hình thoi không buộc phải là đa giác đều.

b) Hình chữ nhật có tất cả các góc bằng nhau nhưng các cạnh có thể không bằng nhau nên hình chữ nhật không buộc phải là đa giác đều.

Bài 3 trang 115. Cho hình thoi ABCD có ∠A = 60⁰ . Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng đa giác EBFGDH là lục giác đều.

Lời giải:

Vì ABCD là hình thoi, ∠A =60⁰ Nên ∠B= 120⁰và ∠D = 120⁰

+ Ta có: AB = AD và AE = EB, AH = HD ⇒ AE = AH ⇒ ΔAEH cân tại A.

Mà ∠A =60⁰ nên ΔAEH đều ⇒ ∠HEB = ∠EHD = 120⁰ (Góc ngoài của Δ đều AEH) và HE = AE = HD.

+ Tương tự: ΔFCG đều ⇒ ∠BFG = ∠FGD = 120⁰ và FG  = FC = BF.

Vậy lục giác EBFGDH có EB = BF = FG = DG = HD = HE.

Và ∠HEB = ∠B = ∠BFG = ∠FGD = ∠D = ∠DHE (cùng bằng 120⁰)

Suy ra EBFGDH là một lúc giác đều.

Bài 4. Điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng

Lời giải:

Bài 5. Tính số đo mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều, n- giác đều.

Lời giải:

Tổng số đo các góc của hình n giác bằng (n – 2).180⁰ (bằng tổng số đo các góc của số tam giác được tạo thành bởi các cạnh và các đường chéo xuất phát từ 1 đỉnh). Vậy số đo mỗi góc của n – đa giác đều là:  \(\frac{{(n - 2).180^\circ }}{n}\)

Áp dụng công thức trên, ta có:

– Số đo mỗi góc của ngũ giác đều là \(\frac{{(5 - 2).180^\circ }}{5} = 108^\circ \)
– Số đo mỗi góc của lục giác đều là \(\frac{{(6 - 2).180^\circ }}{6} = 120^\circ \)

Bài 6. Trong các hình dưới đây hình nào là đa giác lồi? Vì sao?

Lời giải:

Các hình c,e,g là các đa giác lồi vì đa giác nằm trên một nửa mặt phẳng với  bờ chứa bất kì cạnh nào của đa giác.

Các hình a,b,d không phải là đa giác lồi vì đa giác nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng chứa cạnh của đa giác.

Bài 7. Hãy vẽ một đa giác (lồi) mà các đỉnh là một điểm trong các điểm đã cho ở hình 181 (trên lưới kẻ ô vuông).

Giải:                                                             

Bài 8. Tính số đo của hình 8 cạnh đều, 10 cạnh đều, 12 cạnh đều.

Giải:

Áp dụng công thức tính số đo mỗi góc của đa giác đều có n cạnh bằng \(\frac{{\left( {n - 2} \right){{.180}^0}}}{n}\)

- Đa giác đều 8 cạnh ⇒ n = 8, số đo mỗi góc là : \(\frac{{\left( {8 - 2} \right){{.180}^0}}}{8} = {135^0}\)

- Đa giác đều 10 cạnh ⇒ n = 10, số đo mỗi góc là : \(\frac{{\left( {10 - 2} \right){{.180}^0}}}{{10}} = {144^0}\)

- Đa giác đều 12 cạnh ⇒ n = 12, số đo mỗi góc là : \(\frac{{\left( {12 - 2} \right){{.180}^0}}}{{12}} = {150^0}\)

Bài 9.

a. Vẽ hình và tính số đường chéo của ngũ giác, lục giác

b. Chứng minh rằng hình n – giác có tất cả \(\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\)  đường chéo.

Giải:                                                      

a. Từ mỗi đỉnh của ngũ giác vẽ được hai đường chéo. Ngũ giác có 5 đỉnh ta kẻ được 5.2 = 10 đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy ngũ giác có tất cả 5 đường chéo.

Từ mối đỉnh của lục giác vẽ được 3 đường chéo. Lục giác có 6 đỉnh ta kẻ được 6.3 = 18 đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy lục giác có tất cả là 9 đường chéo.

b. Từ mỗi đỉnh của n – giác nối với các đỉnh còn lại ta được n – 1 đoạn thẳng , trong đó có hai đoạn thẳng là cạnh của hình n – giác (hai đoạn thẳng nối với hai đỉnh kề nhau). Vậy qua mỗi đỉnh của n – giác vẽ được n – 3 đường chéo. Hình n – giác có n đỉnh kẻ được n(n – 3 ) đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy hình n – giác có tất cả \(\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\) đường chéo.

Bài 10. Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một đa giác (lồi) có số đo là 360°.

Giải:                                                                      

Tổng số đo của góc trong và góc ngoài ở mỗi đỉnh của hình n – giác bằng 180°

Hình n – giác có n đỉnh nên tổng số đo các góc trong và góc ngoài của đa giác bằng n . 180°

Mặt khác ta biết tổng các góc trong của hình n – giác bằng (n – 2 ). 180°

Vậy tổng số đo các góc ngoài của hình n – giác là:

n . 180° - (n – 2) . 180° = n . 180° - n .180° +2. 180° = 360°

Bài 11. Đa giác nào có tổng số đo các góc (trong) bằng tổng số đo các góc ngoài ?

Giải:

Hình n – giác lồi có tổng số đo các góc trong bằng ( n – 2 ). 180° và tổng các góc ngoài bằng 360°

Đa giác lồi có tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài bằng 360°

⇒ (n – 2 ).180° = 360° ⇒ n = 4

Vậy tứ giác lồi có tổng các góc trong và góc ngoài bằng nhau.

Bài 12. Một đa giác (lồi) có nhiều nhất là bao nhiêu góc nhọn?

Giải:

Ta có: nếu góc của đa giác lồi là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng là góc tù. Nếu đa giác lồi có 4 góc nhọn thì tổng các góc ngoài của đa giác lớn hơn 360°, mâu thuẫn định lý tổng các góc ngoài của đa giác lồi bằng 360°.

Vậy đa giác lồi có nhiều nhất là 3 góc nhọn.