Luyện tập Diện tích tam giác (có đáp án)

  LUYỆN TẬP DIỆN TÍCH TAM GIÁC

(CÓ ĐÁP ÁN)

I. LÝ THUYẾT

1. Định lý: Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.

S = 1/2 a.h

2. Hệ quả

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tỉ số hai cạnh góc vuông.

S = 1/2 b.c

II. BÀI TẬP

Bài 1. Giải thích vì sao diện tích của tam giác được tô đậm trong hình 128, 129, 130 bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng.

Lời giải:

Ở mỗi hình 128, 129, 130: hình tam giác và hình chữ nhật đều có cùng đáy a và cùng chiều cao h

Diện tích hình chữ nhật là: a.h

Diện tích tam giác là: (ah)/2

=> Diện tích của tam giác bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng.

Bài 2: Cho ΔAOB vuông tại O với đường cao OM (h.131). Hãy giải thích vì sao ta có đẳng thức: AB. OM = OA. OB.

HD: Ta có cách tính S.ΔAOB với đường cao OM và cạnh đáy AB:

S = 1/2OM.AB ⇒ OM.AB = 2S

Ta lại có cách tính S.ΔAOB vuông với hai cạnh góc vuông OA, OB là

S = 1/2OA.OB ⇒OA.OB = 2S

Suy ra AB. OM = OA. OB (cùng bằng 2S)

Bài 3. Cho ΔABC và đường trung tuyến AM(h. 132). Chứng minh rằng: S_AMB = S_AMC

Lời giải:

Từ A Kẻ đường cao AH  vuông góc với BC ( H∈ BC)

Ta có :

S_AMB = ½. BM. AH

S_AMC = ½. CM. AH

mà BM = CM (vì AM là đường trung tuyến)

Vậy  S_AMB = S_AMC

 Bài 4. a) Xem hình 133. Hãy chỉ ra các tam giác có cùng diện tích (lấy ô vuông làm đơn vị diện tích)

b) Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì có bằng nhau hay không?

Lời giải:

a) Các tam giác số 1, 3, 6 có cùng diện tích là 4 ô vuông

Các tam giác số 2, 8 có cùng diện tích là 3 ô vuông.

Các tam giác số 4, 5, 7 không có cùng diện tích với các tam giác nào khác (diện tích tam giác số 4 là 5 ô vuông, tam giác số 5 là 4, 5 ô vuông, tam giác số 7 là 3,5 ô vuông).

b) Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì không nhất thiết bằng nhau.

Vì diện tích của tam giác là nửa tích của độ dài đáy với chiều cao tương ứng của đáy, nên chỉ cần tích của đáy với chiều cao bằng nhau thì hai tam giác đó có diện tích bằng nhau, hai cạnh còn lại có thể khác nhau.

- Ví dụ như các tam giác 1, 3, 6 có cùng diện tích nhưng không bằng nhau.

 Bài 5. Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng cạnh của một tam giác cho trước và có diện tích bằng diện tích của tam giác đó. Từ đó suy ra một cách chứng minh khác về công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải:

Cho Δ ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AH, ta vẽ hình chữ nhật BCDE có CD = IH (Hình bên)

Khi đó:

ΔAIM = ΔBEM vì AI = BE (=1/2AH), ∠AMI = ∠BME(đối đỉnh) (Cạnh góc vuông – góc nhọn) ⇒ S_AIM = S_BEM

Tương tư: ΔAIN = ΔCDN ⇒S_AIN = S_CDN

Vì vậy S_BEM + S_BMNC + S_CDN = S_AIM +S_BMNC + S_AIN hay S_BCDE = S_ABC

Từ kết quả trên, tao có S_ABC = S_BCDE = CD.BC =IH.BC =1/2AH.BC

Ta đã tìm được công thức tính SΔ bằng một phương pháp khác.

 Bài 6. Tính x sao cho diện tích hình chữ nhật. ABCD gấp ba lần diện tích tam giác ADE (h.134).

Lời giải:

Ta có AD = BC = 5cm

S.∆ADE: S_ADE = 1/2. 2.5 = 5(cm)

S ABCD: S_ABCD = 5x

Theo đề bài ta có

S_ABCD= 3S_ADE nên 5x = 3.5

Vậy x = 3cm

Bài 7. ΔPAF được vẽ trên giấy kẻ ô vuông (h.135).

Hãy chỉ ra:

a) Một điểm I sao cho S_PIF = S_PAF

b) Một điểm O sao cho S_POF = 2. S_PAF

c) Một điểm N sao cho S_PNF =1/2 S_PAF

Lời giải:

Cần chú ý rằng Δ trên đều có chung đỉnh P nên nếu lấy các cạnh đối diện với đỉnh P đều nằm trên đường thẳng AF thì ta có đường cao vẽ từ P của các Δ này chính là đường cao ứng với cạnh AF của ΔAPF. Khi đó

a) Để S_PIF = S_PAF thì có thể lấy điểm I nằm trên đường thẳng AF sao cho I khác A và FA = FI hay F là trung điểm của AI.

b) Để S_POF = 2.S_PAF thì có thể lấy điểm O nằm trên đường thẳng AF sao cho OF= 2AF hay là A là trung điểm của OF.

c) S_PNF =1/2S_PAF thì có thể lấy N nằm trên đường thẳng AF sao cho NF =1/2AF hay N là trung điểm của AF.

Bài 8. Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra một số vị trí của điểm M nằm trong tam giác đó sao cho: S_AMB + S_BMC = S_MAC

Lời giải:

Lấy điểm N bất kỳ thuộc cạnh AC, gọi M là trung điểm của BN. Khi đó:

+) S_AMB = S_AMN (Vì cùng chung đường cao AI và MB = MN)

+) S_BMC = S_CMN (Vì cùng chung đường cao CK và MB = MN)

Vậy S_AMB + S_BMC = S_AMN + S_CMN = S_MAC

Từ kết quả trên tra có thể chọn lựa được vô số điểm M thỏa mãn điều kiện bài toán. Chẳng hạn: Mà là trung điểm của trung tuyến vẽ từ B, của đường cao vẽ từ B,..

Bài 9.

Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b.

Lời giải:

Ta tính S ABC.

+ Vẽ đường cao AH của ΔABC, vì ΔABC cân tại A nên H là trung điểm của BC

⇒ HB =1/2.BC = a/2

+ Xét Δ vuông AHB, ta có

 \(\begin{array}{l}A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {b^2} - {(\frac{a}{b})^2} = {b^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{4{b^2} - {a^2}}}{4}\\\Rightarrow AH = \sqrt {\frac{{4{b^2} - {a^2}}}{4}} \\\Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BC.AH = \frac{1}{2}.a.\sqrt {\frac{{4{b^2} - {a^2}}}{4}} = \frac{a}{2}.\sqrt {\frac{{4{b^2} - {a^2}}}{4}} (dvdt)\end{array}\)

Bài 10. Tính diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng a.

Lời giải:

Gọi h là chiều cao của tam giác đều cạnh a.

Theo định lí Pitago ta có: