LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ - PHẦN II

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ - PHẦN II

A. Một số kiến thức cơ bản:

Bình phương của một tổng: (A + B )² = A² + 2AB + B²

Bình phương của một hiệu: (A – B )² = A² – 2AB + B²

Hiệu của hai bình phương: A² – B² = (A +B ) (A-B)

Lập phương của một tổng: (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

Lập phương của một hiệu: (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

B. Bài tập

Bài 1

Chứng minh rằng:

(a + b)² = (a – b)² + 4ab;

(a – b)² = (a + b)² – 4ab.

Áp dụng:

a) Tính (a – b)², biết a + b = 7 và a . b = 12.

b) Tính (a + b)², biết a – b = 20 và a . b = 3.

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) (a + b)² = (a – b)² + 4ab

Biến đổi vế trái:

(a + b)² = a² +2ab + b² = a² – 2ab + b² + 4ab

= (a – b)² + 4ab

Vậy (a + b)² = (a – b)2 + 4ab

Hoặc biến đổi vế phải:

(a – b)2 + 4ab = a² – 2ab + b² + 4ab = a² + 2ab + b²

= (a + b)²

Vậy (a + b)² = (a – b)² + 4ab

b) (a – b)² = (a + b)² – 4ab

Biến đổi vế phải:

(a + b)² – 4ab = a² +2ab + b² – 4ab

= a² – 2ab + b² = (a – b)²

Vậy (a – b)² = (a + b)² – 4ab

Áp dụng: Tính:

a) (a – b)² = (a + b)² – 4ab = 7² – 4 . 12 = 49 – 48 = 1

b) (a + b)² = (a – b)² + 4ab = 20² + 4 . 3 = 400 + 12 = 412

Bài 2

Tính giá trị của biểu thức 49x² – 70x + 25 trong mỗi trường hợp sau:

a) x = 5;                       b) x = 1/7.

Đáp án và hướng dẫn giải:

49x² – 70x + 25 = (7x)² – 2 . 7x . 5 + 5² = (7x – 5)²

a) Với x = 5: (7 . 5 – 5)² = (35 – 5)² = 302 = 900

b) Với x = 1/7: (7 . 1/7 – 5)² = (1 – 5)² = (-4)² = 16

Bài 7: (Bài tập SGK trang 12 toán lớp 8)

Tính:

a) (a + b + c)²;                     b) (a + b – c)²;

c) (a – b – c)²

Bài giải:

a) (a + b + c)² = [(a + b) + c]² = (a + b)² + 2(a + b)c + c²

= a²+ 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac.

b) (a + b – c)² = [(a + b) – c]² = (a + b)² – 2(a + b)c + c²

= a² + 2ab + b² – 2ac – 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2ab – 2bc – 2ac.

c) (a – b –c)² = [(a – b) – c]² = (a – b)² – 2(a – b)c + c²

= a² – 2ab + b² – 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² – 2ab + 2bc – 2ac.

Bài 3

Tính:

a) (2x² + 3y)³;                 b) (1/2 x – 3)³

Bài giải:

a) (2x² + 3y)³ = (2x²)³ + 3(2x²)².3y + 3.2x².(3y)² + (3y)³

= 8x⁶ + 3.4x⁴.3y + 3.2x².9y² + 27y³

= 8x⁶ + 36x⁴y + 54x²y² + 27y³

b) (1/2x – 3)³ = (1/2x)³– 3 (1/2x)².3 + 3 (1/2x). 3² – 3³

= 1/8 x³ – 3 . 1/4 x² . 3 + 3 . 1/2 x . 9 – 27

= 1/8 x³ – 9/4 x² + 27/2 x – 27

Bài 4

Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) – x³ + 3x² – 3x + 1; b) 8 – 12x + 6x² – x³.

Bài giải:

a) – x³ + 3x²– 3x + 1 = 1 – 3.1².x + 3.1.x² – x³

= (1 – x)³

b) 8 – 12x + 6x² – x³ = 2³ – 3.2². x + 3.2.x² – x³

= (2 – x)³

Bài 5

Tính giá trị của biểu thức:

a) x³ + 12x² + 48x + 64 tại x = 6;

b) x³ – 6x² + 12x- 8 tại x = 22.

Bài giải:

a) x³ + 12x² + 48x + 64 = x³ + 3.x².4 + 3.x.4² + 4³ = (x + 4)³

Với x = 6: (6 + 4)3 = 103 = 1000

b) x³ – 6x² + 12x- 8 = x3 – 3.x².2 + 3.x.2² – 2³ = (x – 2)³

Với x = 22: (22 – 2)³ = 20³ = 8000

Bài 6

Đố: Đức tính đáng quý.

Hãy viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương hoặc lập phương của một tổng hoặc một hiệu, rồi điền chữ cùng dòng với biều thức đó vào bảng cho thích hợp. Sau khi thêm dấu, em sẽ tìm ra một trong những đức tính quý báu của con người.

x³ – 3x² + 3x – 1      N

16 + 8x + x²             U

3x² + 3x + 1 + x³         H

1 – 2y + y²          Â

Bài giải:

Ta có:

N: x³ – 3x² + 3x – 1 = x³ – 3.x².1+ 3.x.12 – 13 = (x – 1)³

U: 16 + 8x + x2= 42 + 2 . 4 . x + x2 = (4 + x)² = (x + 4)²

H: 3x² + 3x + 1 + x³ = x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³ = (1 + x)³

Â: 1 – 2y + y² = 12 – 2 . 1 . y + y² = (1 – y)² = (y – 1)²

Nên:

Vậy: Đức tính đáng quý là “NHÂN HẬU”

Chú ý: Có thế khai triển các biểu thức (x – 1)³, (x + 1)³, (y – 1)², (x + 4)² … để tìm xem kết quả ứng với chữ nào và điền vào bảng.