LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A. Một số kiến thức cơ bản:

Bình phương của một tổng: (A + B )² = A² + 2AB + B²

Bình phương của một hiệu: (A – B )² = A² – 2AB + B²

Hiệu của hai bình phương: A² – B² = (A +B ) (A-B)

B. Bài tập

Bài 1

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu;

a) x² + 2x + 1;                b) 9x² + y² + 6xy;

c) 25a² + 4b2 – 20ab;           d) x² – x + 1/4

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) x² + 2x + 1 = x²+ 2.x.1 + 12

= (x + 1)²

b) 9x² + y²+ 6xy = (3x)² + 2.3. x.y + y2 = (3x + y)²

c) 25a² + 4b²– 20ab = (5a)² – 2.5a.2b + (2b)² = (5a – 2b)²

Hoặc 25a² + 4b² – 20ab = (2b)² – 2.2b.5a + (5a)² = (2b – 5a)²

d) x² – x + 1/4

= x² – 2.x.1/2+ (1/2)²

=(x- 1/2)²

Hoặc x² – x + 1/4

= 1/4- x + x2 =(1/2)² – 2.1/2 x + x² = (1/2-x⁾²

Bài 2

Chứng minh rằng:

(10a + 5)² = 100a . (a + 1) + 25.

Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.

Áp dụng để tính: 25², 35², 65², 75².

Đáp án và hướng dẫn giải:

Ta có: (10a + 5)² = (10a)² + 2.10a.5 + 5²

= 100a² + 100a + 25

= 100a(a + 1) + 25.

Cách tính nhẩm bình thường của một số tận cùng bằng chữ số 5;

Ta gọi a là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5 => số đã cho có dạng 10a + 5 và ta được

(10a + 5)² = 100a(a + 1) + 25

Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a(a + 1) rồi viết 25 vào bên phải.

Áp dụng;

Để tính 25² ta tính 2(2 + 1) = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625.

Để tính 35² ta tính 3(3 + 1) = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225.

65² = (10.6 + 5)²= 100.6(6+1) +25= 600.7 +25 =4200 +25= 4225

75² =(10.7+5)2 = 100.7(7+1) +25 = 700.8 +25=5600 +25 = 5625

Bài 3

Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:

a) x² + 6xy + … = (… + 3y)²;

b) … – 10xy + 25y² = (… – …)²;

Hãy nêu một số đề bài tương tự.

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) x² + 6xy + … = (… + 3y)² nên x² + 2x . 3y + … = (…+3y)²

= x² + 2x . 3y + (3y)² = (x + 3y)²

Vậy: x² + 6xy +9y² = (x + 3y)²

b) …-2x . 5y + (5y)2 = (… – …)²;

x² – 2x . 5y + (5y)² = (x – 5y)²

Vậy: x² – 10xy + 25y² = (x – 5y)²

Bài 4

Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo.

Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng a – b (cho a > b). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

Diện tích của miếng tôn là (a + b)²

Diện tích của miếng tôn phải cắt là (a – b)².

Phần diện tích còn lại là (a + b)2 – (a – b)².

Ta có: (a + b)² – (a – b)² = a² + 2ab + b² – (a² – 2ab + b²)

= a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b²

= 4ab

Vậy phần diện tích hình còn lại là 4ab và không phụ thuộc vào vị trí cắt.

Bài 5

Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau:

x² + 2xy + 4y² = (x + 2y)²

Đáp án và hướng dẫn giải:

Nhận xét sự đúng, sai:

Ta có: (x + 2y)² = x² + 2 . x . 2y + 4y²

= x² + 4xy + 4y²

Nên kết quả x² + 2xy + 4y² = (x + 2y)² sai.

Bài 6

Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 9x² – 6x + 1;

b) (2x + 3y)² + 2.(2x + 3y) + 1.

Hãy nêu một đề bài tương tự.

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) 9x² – 6x + 1 = (3x)² – 2 . 3x . 1 + 1² = (3x – 1)²

Hoặc 9x² – 6x + 1 = 1 – 6x + 9x² = (1 – 3x)²

b) (2x + 3y) = (2x + 3y)² + 2 . (2x + 3y) . 1 + 1²

= [(2x + 3y) + 1]²

= (2x + 3y + 1)²

Đề bài tương tự. Chẳng hạn:

1 + 2(x + 2y) + (x + 2y)²

4x² – 12x + 9…

16x² y⁴ – 8xy² +1

Bài 7

Tính nhanh:

a) \(101^2\);                     b) \(199^2\);               c) \(47.53\).

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) 101² = (100 + 1)² = 100² + 2 . 100 + 1 = 10201

b) 199²= (200 – 1)² = 200² – 2 . 200 + 1 = 39601

c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 50² – 3² = 2500 – 9 = 2491.