Lý thuyết và bài tập đối xứng trục (có lời giải)

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP ĐỐI XỨNG TRỤC

A. LÝ THUYẾT

A. Lý thuyết

1. Hai điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng

Định nghĩa: Hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Nếu điểm M∈d">M∈d thì điểm đối xứng với M qua d cũng chính là điểm M.

2. Hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng

Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.

Hình đối xứng qua một đường thẳng d của:

– Một đường thẳng là một đường thẳng.

– Một đoạn thẳng là một đoạn thẳng.

– Một góc là một góc bằng nó.

– Một tam giác là một tam giác bằng nó.

– Một đường tròn là một đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho.

3. Hình có trục đối xứng

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H.

Một số hình có trục đối xứng quen thuộc:

– Một đoạn thẳng có trục đối xứng là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

– Một góc có trục đối xứng là tia phân giác của góc.

– Hai đường thẳng giao nhau có trục đối xứng là hai đường thẳng chứa các phân giác của các góc do hai đường thẳng tạo nên; hai trục đối xứng này vuông góc với nhau.

– Tam giác cân có một trục đối xứng là đường cao cũng là phân giác, trung tuyến, thuộc cạnh đáy. Tam giác đều có ba trục đối xứng.

– Hình thang cân có trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy.

Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Vẽ hình đối xứng với các hình đã cho qua trục d (h.58).

Lời giải:

Vẽ hình:

Bài 2. Cho góc xOy có số đo 50^o, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy.

a) So sánh các độ dài OB và OC

b) Tính số đo góc BOC

Lời giải:

a) Ox là đường trung trực của AB => OA = OB

Oy là đường trung trực của AC => OA = OC

=> OB = OC

b) ΔAOB cân tại O (vì OA = OB)

Tam giác AOB cân tại O có OM là đường cao nên cũng là đường phân giác của góc AOB.

Bài 3: Tìm các hình có trục đối xứng trên hình 59.

Lời giải:

- Hình h không có trục đối xứng

- Hình có một trục đối xứng là: b, c, d, e, i

- Hình có hai trục đối xứng là: a

- Hình có năm trục đối xứng là: g

Bài 4: Thực hành. Cắt một tấm bìa hình tam giác cân, một tấm bìa hình thang cân. Hãy cho biết đường nào là trục đối xứng của mỗi hình, sau đó gấp mỗi tấm bìa để kiểm tra lại điều đó.

Lời giải:

- ΔABC cân tại A có trục đối xứng là đường phân giác AH của góc BAC (đường này đồng thời là đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến).

– Hình thang cân ABCD nhận đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy HK làm trục đối xứng.

Bài 5: Thực hành. Cắt một tấm bìa hình tam giác cân, một tấm bìa hình thang cân. Hãy cho biết đường nào là trục đối xứng của mỗi hình, sau đó gấp mỗi tấm bìa để kiểm tra lại điều đó.

Lời giải:

 - ΔABC cân tại A có trục đối xứng là đường phân giác AH của góc BAC (đường này đồng thời là đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến).

– Hình thang cân ABCD nhận đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy HK làm trục đối xứng.

Bài 6: a) Cho hai điểm A, B thuộc cùng một mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (h.60). Gọi C là điểm đối xứng với A qua d. Gọi D là giao điểm của đường thẳng d và đoạn thẳng BC. Gọi E là điểm bất kì của đường thẳng d (E khác D).

Chứng minh rằng AD + DB < AE + EB.

b) Bạn Tú đang ở vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước rồi đi đến vị trí B (h.60). Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là con đường nào?

Lời giải:

a) Vì A và C đối xứng qua d

=> d là trung trực của AC => AD = CD

Nên AD + DB = CD + DB = CB (1)

Và AE = CE (d là trung trực của AC)

Nên AE + EB = CE + EB (2)

Mà CB < CE + EB (3)

Nên từ (1), (2), (3) suy ra AD + DB < AE + EB

b) Theo câu a) con đường ngắn nhất mà bạn Tú phải đi là con đường ADB.

Bài 7. Trong các biển báo giao thông sau đây, biển nào có trục đối xứng?

a) Biển nguy hiểm: Đường hẹp hai bên (h.61a)

b) Biển nguy hiểm: Đường giao thông với đường sắt có rào chắn (h.61b)

c) Biển nguy hiểm: Đường ưu tiên gặp đường không ưu tiên bên phải (h.61c)

d) Biển nguy hiểm khác (d.61d)

Lời giải:

- Các biển báo ở hình a, b, d có trục đối xứng.

- Biển báo c không có trục đối xứng.

Bài 8: Các câu sau đúng hay sai?

a) Nếu ba điểm thẳng hàng thì ba điểm đối xứng với chúng qua một trục cũng đường thẳng hàng.

b) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một truc thì có chu vi bằng nhau.

c) Một đường tròn có vô số trục đối xứng.

d) Một đoạn thẳng chỉ có một trục đối xứng.

Lời giải:

a) Ta biết ba điểm thẳng hàng thì thuộc cùng một đường thẳng, khi đối xứng qua một trục cũng sẽ thuộc cùng một đường thẳng, nghĩa là chúng thẳng hàng. Do đó câu a) đúng.

b) Câu b) đúng vì hai tam giác đối xứng nhau qua trục thì bằng nhau nên chu vi của hai tam giác cũng bằng nhau.

c) Đúng vì mọi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn đều là trục đối xứng của đường tròn đó.

d) Ta biết trục đối xứng của đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. Ngoài ra, đường thẳng chứa đoạn thẳng đó cũng là một trục đối xứng. Do đó câu d) sai.

Bài 9: Đố.

a) Hãy tập cắt chữ D (h.62a) bằng cách gấp đôi tờ giấy. Kể tên một vài chữ cái khác (kiểu chữ in hoa) có trục đối xứng.

b) Vì sao ta có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H (h.62b)?

Lời giải:

a) Cắt được chữ D. Gấp đôi tờ giấy (theo chiều của nét thẳng của chữ D) ta được trục đối xứng ngang của chữ D.

Các chữ cái có trục đối xứng:

- Chỉ có một trục đối xứng dọc: A, M, T, U, V, Y

- Chỉ có một trục đối xứng ngang: B, C, D, Đ, E, K

- Có hai trục đối xứng dọc và ngang: H, I, O , X

b) Có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H vì chữ H có hai trục đối xứng vuông góc.