LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

A. Kiến thức cơ bản 

1. Qui tắc:

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

2. Chú ý: Trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, thường ta phân tích trước để rút gọn cho nhanh.

B. Bài tập.

Bài 1

Không làm tính chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đơn thức B không:

A = 15xy² + 17xy³ + 18y²

B = 6y².

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

A chia hết cho B vì mỗi hạng tử của A đều chia hết cho B (mỗi hạng tử của A đều có chứa nhân tử y với số mũ lớn hơn hay bằng 2 bằng với số mũ của y trong B).

Bài 2

Làm tính chia:

a) (-2x⁵ + 3x² – 4x³) : 2x²;

b) (x³ – 2x²y + 3xy²) : (-1/2x);

c) (3x²y² + 6x²y³ – 12xy) : 3xy.

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

a) (-2x⁵ + 3x² – 4x³) : 2x² = (-2/2)x⁵ – 2 + 3/2x² – 2 + (-4/2)x³ – 2 = – x³ + 3/2 – 2x.

b) (x³ – 2x²y + 3xy²) : (-1/2x) = (x³ : – 1/2x) + (-2x²y : – 1/2x) + (3xy² : – 1/2x) = -2x²+ 4xy – 6y² = -2x(x + 2y + 3y²)

c) (3x²y² + 6x²y³ – 12xy) : 3xy = (3x²y² : 3xy) + (6x²y² : 3xy) + (-12xy : 3xy) = xy + 2xy² – 4.

Bài 3

Làm tính chia:

[3(x – y)⁴ + 2(x – y)³ – 5(x – y)²] : (y – x)²

(Gợi ý, có thế đặt x – y = z rồi áp dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức)

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

[3(x – y)⁴ + 2(x – y)³ – 5(x – y)²] : (y – x)²

= [3(x – y)⁴ + 2(x – y)³ – 5(x – y)²] : [-(x – y)]²

= [3(x – y)⁴ + 2(x – y)³ – 5(x – y)²] : (x – y)²

= 3(x – y)⁴ : (x – y)² + 2(x – y)³ : (x – y)² + [– 5(x – y)² : (x – y)²]

= 3(x – y)² + 2(x – y) – 5

Bài 4

Ai đúng, ai sai?

Khi giải bài tập: “Xét xem đa thức A = 5x⁴ – 4x³ + 6x²y có chia hết cho đơn thức B = 2x² hay không”,

Hà trả lời: “A không chia hết cho B vì 5 không chia hết cho 2”,

Quang trả lời: “A chia hết cho B vì mọi hạng tử của A đều chia hết cho B”.

Cho biết ý kiến của em về lời giải của hai bạn.

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

Ta có: A : B = (5x⁴ – 4x³ + 6x²y) : 2x²

= (5x² : 2x²) + (– 4x³ : 2x²) + (6x²y : 2x²)

= 5/2x² – 2x + 3y

Như vậy A chia hết cho B vì mọi hạng tử của A đều chia hết cho B.

Vậy: Quang trả lời đùng, Hà trả lời sai.

Bài 5: Thực hiện phép tính:

a, (7.3⁵ – 3⁴ + 3⁶) : 3⁴

b, (16³ – 64²) : 8³

Lời giải:

a, (7.3⁵ – 3⁴ + 3⁶) : 3⁴

= (7.3⁵ : 3⁴) + (– 3⁴ : 3⁴ + (3⁶ : 3⁴)

= 7.3 – 1 + 3²

= 2¹ – 1 + 9 = 29

b, (16³ – 64²) : 8³

= [(2.8)³ – (82)²] : 8³

= (2³.8³ – 8⁴) : 8³

= (2³.8³ : 8³) + (- 8⁴ : 8³)

= 2³ – 8 = 8 – 8 = 0

Bài 6: Làm tính chia:

a, (5x⁴ – 3x³ + x²) : 3x²

b, (5xy² + 9xy – x²y²) : (- xy)

c, (x³y³ - 1/2 x²y³ – x³y²) : 1/3 x²y²

Lời giải:

a, (5x⁴ – 3x³ + x²) : 3x²

= (5x⁴ : 3x²) + (– 3x³ : 3x² ) + (x² : 3x²) = 53 x² – x + 13

b, (5xy² + 9xy – x²y²) : (- xy)

= [5xy² : (- xy)] + [9xy : (- xy)] + [(- x²y²) : (- xy)] = - 5y – 9 + xy

c, (x³y³ - 1/2 x²y³ – x³y²) : 1/3 x²y²

= (x³y³ : 1/3 x²y²) + (- 1/2 x²y³ : 1/3 x²y²) + (– x³y² : 13 x²y²)

= 3xy - 3/2 y – 3x

Bài 7: Tìm n để mỗi phép chia sau là phép chia hết (n là số tự nhiên)

a, (5x³ – 7x² + x) : 3xⁿ

b, (13x⁴y³ – 5x³y³ + 6x²y²) : 5xⁿyⁿ

Lời giải:

a, Vì đa thức (5x³ – 7x² + x) chia hết cho 3xⁿ nên hạng tử x chia hết cho 3xⁿ ⇒ 0 ≤ n ≤ 1. Vậy n ∈ {0; 1}

b, Vì đa thức (13x⁴y³ – 5x³y³ + 6x²y²) chia hết cho 5xnyn nên hạng tử 6x²y² chia hết cho 5xⁿyⁿ ⇒ 0 ≤ n ≤ 2. Vậy n ∈ {0;1;2}

Bài 8: Làm tính chia:

a, [5(a – b)³ + 2(a – b)²] : (b – a)²

b, 5(x – 2y)³ : (5x – 10y)

c, (x³ + 8y³) : (x + 2y)

Lời giải:

a, [5(a – b)³ +2(a – b)²] : (b – a)²

= [5(a – b)³ +2(a – b)²] : (a - b)² = 5(a – b) + 2

b, 5(x – 2y)³ : (5x – 10y) = 5(x – 2y)³ : 5(x – 2y) = (x – 2y)²

c, (x³ + 8y³) : (x + 2y) = [x³ + (2y)³] : (x + 2y)

= (x + 2y)(x² – 2xy + 4y²) : (x + 2y) = x² – 2xy + 4y²