Hình thang cân. Đối xứng trục

HÌNH THANG CÂN. ĐỐI XỨNG TRỤC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa hình thang cân

    Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau (h.14).

2. Tính chất của hình thang cân

    Trong hình thang cân :

    - Hai cạnh bên bằng nhau ;

    - Hai đường chéo bằng nhau.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

4. Hai điểm đối xứng qua một đưòng thẳng

Hai điểm A và A' gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng AA' (h.15).

Quy ước : Nếu B\( \in \)d thì điểm đối xứng với B qua d chính là B. 

5. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng

• Hai hình F và F' gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua d với một điểm thuộc hình kia và ngược lại.

-        Hai đoạn thẳng AB và A'B' đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu A đối xứng với A'; B đối xứng với B' qua d (h.16a).

-        Hai tam giác ABC và A'B'C' đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu A đối xứng với A'; B đối xứng với B'; C đối xứng với C' qua đường thẳng d (h.16b).

Hình 16

•         Định lí : Nếu hai đoạn thẳng (hai góc, hai tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

6. Hình có trục đối xứng

Đường thẳng d là trục đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng qua d của mỗi điểm thuộc hình F cũng thuộc hình F.

Đặc biệt : Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của một hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân (h.17).

7. Bổ sung

- Hai đường thẳng a và a' đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu hai điểm của đường thẳng này đối xứng với hai điểm của đường thẳng kia qua đường thẳng d.

- Một hình có thể không có, có một, có nhiều hoặc vô số trục đối xứng.

- Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C) và A', B', C' lần lượt là ba điểm đối xứng của chúng qua đường thẳng d thì ba điểm A', B', C' thẳng hàng (B' nằm giữa A' và C) (h.18).

B. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 8. Cho ABC vuông tại A có điểm H chuyển động trên BC. Gọi E, F lần lượt 1à điểm đối xứng của H qua AB ; AC.

a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng.

b) Chứng minh BEFC là hình thang.

c) Tìm vị trí của H trên BC để BEFC là hình thang vuông.

Giải (h.19)

a) Theo tính chất đối xứng trục, ta có :

                \(\widehat {{\rm{A}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{; }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{3}}^{}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{4}}^{}}{\rm{.}}\)

Mà \(\widehat {{\rm{EAF}}}{\rm{  = }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{3}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{4}}^{}} = 2.(\widehat {{\rm{A}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{3}}^{}}) = {180^0}\) => E, A, F thẳng hàng.

b) Theo tính chất đối xứng trục, ta có :

                 \(\widehat {{\rm{B}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{B}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{; }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{2}}^{}}\)

Nên \(\widehat {{\rm{EBC}}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{FCB}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{B}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{B}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  =  2}}{\rm{.(}}\widehat {{\rm{B}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{)  =  18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}{\rm{.}}\)Mà          hai góc ở vị

trí trong cùng phía nên BE // CF hay BCFE là hình thang.

c) Theo tính chất đối xứng : \(\widehat {{\rm{BEA}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{BHA}}}\)

BEFC là hình thang vuông \({\rm{ <  =  >  }}\widehat {{\rm{BEA}}}{\rm{  =  9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}{\rm{  <  =  >  }}\widehat {{\rm{BHA}}}{\rm{  =  9}}{{\rm{0}}^0}\) hay AH là đường cao.

Ví dụ 9. Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác. Điểm M nằm trong tam giác. Các điểm N, X, Y theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua AD, AB, AC. Chứng minh rằng AN là đường trung trực của đoạn XY.

Giải

Trường hợp 1. Xét \(\widehat {{\rm{MAB}}}{\rm{ }} \le {\rm{ }}\widehat {{\rm{MAC}}}\) (h.20)

• Đặt\(\widehat {{\rm{MAB}}}{\rm{  =  }}\alpha \);\(\widehat {{\rm{MAD}}}{\rm{  =  }}\beta \). Ta có :

                 \(\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {{\rm{XAB}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{NAC}}}{\rm{  =  }}\alpha {\rm{ ; }}\widehat {{\rm{NAD}}}{\rm{  =  }}\beta }\\{\widehat {{\rm{YAC}}}{\rm{  =  }}\alpha {\rm{  +  2}}{\rm{.}}\beta {\rm{, suy ra}}}\\{\widehat {{\rm{NAY}}}{\rm{  =  2}}{\rm{.}}\alpha {\rm{  +  2}}{\rm{.}}\beta {\rm{  =  }}\widehat {{\rm{NAX}}}{\rm{\;\;\;\;\;}}\left( {\rm{1}} \right)}\end{array}\)

                 Mặt khác : AX = AY = AN     (2)

   Từ (1) và (2) suy ra AN là đường trung trực của đoạn XY.

Trường hợp 2. Xét \(\widehat {{\rm{MAB}}}{\rm{  >  }}\widehat {{\rm{MAC}}}\). Tương tự trường hợp 1. 

  Nhận xét: Dựa vào bài trên, có thể chứng minh được bài sau :

Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trong tam giác. Điểm Y đối xứng với M qua AC ; điểm X đối xứng với M qua AB. Điểm N nằm trong tam giác sao cho AN là đường trung trực của đoạn X,Y. Chứng minh rằng: \(\widehat {{\rm{MAB}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{NAC}}}\).

 C. BÀI TẬP

1. Bạn Việt nói "trong các đỉnh của hai tam giác đối xứng trục luôn có bốn đỉnh tạo thành các đỉnh của một hình thang cân". Bạn Nam nói "chưa chắc !"

Ai đúng, ai sai, tại sao ?

2. Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tia Ax và Ay sao

cho \(\widehat {{\rm{xAB}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{yAC}}}{\rm{  =  }}\frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAC}}}\). Trên tia Ax và Ay lấy hai điểm M và N thoả mãn AM = AN và \(\widehat {{\rm{ABM}}}{\rm{  <  }}\widehat {{\rm{ABC}}}\). Trong tam giác dựng \(\Delta \)PBC sao cho \(\widehat {{\rm{PBC}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{ABM}}}{\rm{;}}\) \(\widehat {{\rm{PCB}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{ACN}}}\). Chứng minh rằng P luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

3. Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng của M qua AB, F là điểm đối xứng của N qua AC.

a) Chứng minh rằng A là trung điểm của EF.

b) Xác định vị trí của M để EF có độ dài ngắn nhất.

4. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên AB, AC lấy M và N sao cho AM + AN = AB. Chứng minh rằng trung điểm của AB, AC, MN thẳng hàng.

5. Trên tia phân giác ngoài của góc tại đỉnh c tam giác ABC, ta lấy điểm M (M khác C). Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB.

6. Cho điểm A nằm trong góc xOy. Dựng ABC có điểm B\( \in \)Ox, C\( \in \)Oy sao cho ABC có chu vi nhỏ nhất.

7. Cho tứ giác ABCD có góc ngoài của tứ giác tại đỉnh C bằng góc ACB. Chứng minh rằng : AB + DB > AC + DC.

8. Cho ABC nhọn có \(\widehat {\rm{A}}{\rm{  =  70^\circ }}{\rm{.}}\)AH là đường cao. Gọi M, N là điểm đối xứng của H qua AB và AC. Gọi I, K là giao điểm của MN với AB, AC.

a) Tính \(\widehat {{\rm{IHK}}}.\)

b) Chứng minh CI\( \bot \)AB ; BK\( \bot \)AC.

9. Chứng minh rằng, trong tam giác ABC, đường cao \({\rm{h}}_{\rm{a}}^{}\)không lớn hơn \(\sqrt {{\rm{p}}{\rm{.(p  -  a)}}} \) trong đó BC = a, p là nửa chu vi tam giác. 

10. Cho ABC, các điểm E, F thuộc đường phân giác AD sao cho\(\widehat {{\rm{ABE }}}{\rm{ =  }}\widehat {{\rm{DBF}}}\). Vẽ điểm I đối xứng với E qua AB, điểm H đối xứng với E qua AC, điểm K đối xứng với F qua BC. Chứng minh :

a) FH = FI, FI = KE.

b) \(\widehat {{\rm{ACE}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{DCF}}}{\rm{.}}\)