Hình bình hành. Đối xứng tâm

HÌNH BÌNH HÀNH. ĐỐI XỨNG TÂM

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa hình bình hành

2. Tính chất hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành (h.21) thì:

a) Các cạnh đối bằng nhau : AB = CD, AD = BC ;

b) Các góc đối bằng nhau : A = C; B = D ;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường : OA = OC,OB = OD.

3. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành

Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu có một trong các điều kiện sau :

a) Các cạnh đối song song (định nghĩa)

b) Các cạnh đối bằng nhau (đảo của tính chất 1)

c) Các góc đối bằng nhau (đảo của tính chất 2)

d) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (đảo của tính chất 3)

e) Hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

4. Bổ sung

Hai hình bình hành có một đường chéo chung thì các đường chéo của chúng

đồng quy tại trung điểm của đường chéo chung.

5. Hai điểm đối xứng qua một điểm

Hai điểm A và A' gọi là đối xứng nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của

đoạn thẳng AA' (h.22).

Quy ước : Điểm đối xứng của O qua O cũng là O.

6. Hai hình đối xứng nhau qua một điểm

• Hai hình F và F' gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua O với một điểm thuộc hình kia và ngược lại.
• Định lí

a) Hai đoạn thẳng AB và A'B' đối xứng với nhau qua tâm O nếu A đối xứng với

A'; B đối xứng với B' qua O (h.23).

Hình 23

b) Hai tam giác ABC và A'B'C' đối xứng với nhau qua tâm O nếu A đối xứng với A' ; B đối xứng với B' ; C     đối xứng với C' qua O (h.24).

7. Hình có tâm đối xứng

Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng qua O của mỗi điểm thuộc hình F cũng thuộc hình F.

Đặc biệt : Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo làm tâm đối xứng của hình (h.25).

8. Bổ sung

a) Nếu hai đoạn thẳng AB và A'B' đối xứng qua tâm O (O nằm ngoài đường

thẳng AB, A'B') thì AB // A'B' và AB = A'B (h.23).

b) Hai đường thẳng a và a' đối xứng với nhau qua tâm O nếu hai điểm của đường thẳng này đối xứng với hai điểm của đường thẳng kia qua O.

c) Một hình có thể không có, có một hoặc vô số tâm đối xứng.

d) Nếu ba điểm A, M, B thẳng hàng (M nằm giữa A và B) và A', M', B' lần

lượt là ba điểm đối xứng của chúng qua O thì ba điểm A', M', B' thẳng hàng

(M' nằm giữa A' và B').

B. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 10. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các tam giác đều ABE, ADF.

a) Chứng minh rằng ÀEFC đều.

b) Gọi M, N, K thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng BD, AF, AE. Tính số đo NMK.

Giải (h.26)

a) Đặt \(\widehat {{\rm{ABC}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{ADC}}}{\rm{  =  }}\alpha {\rm{  =  >  }}\widehat {{\rm{CBE}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{FDC}}}{\rm{  =  }}\alpha {\rm{  +  6}}{{\rm{0}}^0}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {{\rm{EAF}}}{\rm{  =  360^\circ   -  }}\left( {{\rm{60^\circ   +  60^\circ   +  }}\widehat {{\rm{DAB}}}{\rm{ }}} \right)}\\{{\rm{\;\;\;\;\;\;\;\; =  360^\circ   -  }}\left( {{\rm{120^\circ   +  180^\circ  -  }}\alpha } \right)}\\{{\rm{\;\;\;\;\;\;\;\; =  }}\alpha {\rm{  +  60^\circ }}}\\{{\rm{ =  >  }}\widehat {{\rm{EAF}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{FDC}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{CBE}}}{\rm{.}}}\end{array}\)

Mà FA = FD = BC ; AE = EB = CD

=> \(\Delta \)FAE = \(\Delta \)FDC = \(\Delta \)CBE (c.g.c)

=> CE = CF = EF

 => \(\Delta \)CEF đều.

b) Ta có : MN ; MK ; NK lần lượt là đường trung bình của tam giác ACF ;

ACE ; AEF nên MN = \(\frac{1}{2}\)CF ; MK = \(\frac{1}{2}\)CE ; NK = \(\frac{1}{2}\)EF.

Suy ra MN = MK = NK => \(\Delta \)MNK đều => \(\widehat {{\rm{NMK}}}{\rm{  =  60^\circ }}{\rm{.}}\)

Nhận xét

• Câu a, có thể chứng minh \(\Delta \)CEF đều bằng cách chứng minh CE=CF và \(\widehat {{\rm{ECF}}}{\rm{  =  60^\circ }}{\rm{.}}\)
• Có thể làm được bài tương tự sau : Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các tam giác vuông cân ABE tại B, ADF tại D. Chứng minh rằng \(\Delta \)CEF vuông cân.
• Với kỹ thuật trên, có thể làm được bài toán đảo sau : Cho \(\Delta \)CEF đều có điểm A nằm trong tam giác. Trên nửa mặt phẳng bờ EF có chứa điểm A, dựng các tam giác đều ADF, AEB. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành. 

Ví dụ 11. Cho hình bình hành ABCD.

Gọi d là đường thẳng đi qua A và không cắt đoạn thẳng BD. Gọi \({\rm{BB}}_{\rm{1}}^{}{\rm{, CC}}_{\rm{1}}^{}{\rm{, DD}}_{\rm{1}}^{}\)là khoảng cách từ B ; C ; D đến đường thẳng d. Chứng minh rằng: \({\rm{ BB}}_1^{}{\rm{  +  DD}}_1^{}{\rm{  =  CC}}_1^{}\)

Giải (h.27)

Gọi AC cắt BD tại O ; kẻ \({\rm{OO}}_1^{}{\rm{\;}} \bot {\rm{d}}\)

Áp dụng tính chất đường trung bình trong hình thang \({\rm{BB}}_1^{}{\rm{D}}_1^{}{\rm{D  }} \) và \(\Delta {\rm{ACC}}_1^{}\)ta có : \({\rm{BB}}_1^{}{\rm{  +  DD}}_1^{}{\rm{ = 2}}{\rm{.OO}}_1^{}\)

\({\rm{           CC}}_1^{}{\rm{  =  2}}{\rm{.OO}}_1^{}.\)

\({\rm{Suy ra \, \, BB}}_1^{}{\rm{  +  DD}}_1^{}{\rm{  =  CC}}_1^{}\)

    Nhận xét. Vận dụng kĩ thuật trên, có thể giải được bài toán sau : Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng d không có điểm chung với hình bình hành. Gọi

\({\rm{AA}}_1^{}{\rm{, BB}}_1^{}{\rm{, CC}}_1^{}{\rm{ DD}}_1^{}\)là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng d.

Chứng minh rằng : \({\rm{AA}}_1^{}{\rm{ +  CC}}_1^{} = {\rm{BB}}_1^{}{\rm{  +  DD}}_1^{}\)

Ví dụ 12. Hai hình bình hành ABCD ; A'B'C'D có chung đỉnh D. Chứng minh rằng hai tam giác AB'C và A'BC' có cùng trọng tâm.

Giải (h.28)

• Trường hợp 1. B, D, B' thẳng hàng Dễ thấy, bạn đọc tự chứng minh.
• Trường hợp 2. B, D, B' không thẳng hàng

Gọi O, O' lần lượt là tâm hình bình hành ABCD; A'B'C'D.

Xét tam giác BDB' ta có BO', B'O là các đường trung tuyến, suy ra nếu G là trọng tâm tam giác thì GO' = \(\frac{1}{3}\)BO' ; GO = \(\frac{1}{3}\)B'O.

ü Xét tam giác AB'C có B'O là đường trung tuyến, GO = \(\frac{1}{3}\)B'O nên G là trọng tâm tam giác AB'C.          (1)

ü Xét tam giác A'BC' có BO' là đường trung tuyến, GO' = \(\frac{1}{3}\)BO' nên G là trọng tâm tam giác AB'C.          (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác AB'C và A'BC' có cùng trọng tâm G.

Nhận xét

• Bài này khi làm dễ sót trường hợp 1.
• Trường hợp 2, ta còn có ba tam giác AB'C, A'BC' và BDB' có cùng trọng tâm.
• Như vậy hai tam giác có chung một đỉnh và chung một đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh ấy thì có cùng trọng tâm.

C. BÀI TẬP

1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E ; F ; G ; H theo thứ tự nằm trên cạnh AB, BC, CD, DA sao cho BE = DG ; BF = DH. Chứng minh rằng :

a) EFGH là hình bình hành.

b) Bốn đoạn AC, BD, EG và FH đồng quy.

2. Cho tứ giác ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn AF, GE, BF và DE. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.

3. Giả sử P là điểm bất kì nằm trong mặt phẳng của tam giác đều ABC cho trước. Trên các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A', B’ ; C’ ; sao cho PA', PB' và PC' theo thứ tự song song với AB, BC và CA.

a) Tìm mối liên hệ giữa độ dài các cạnh của tam giác A'B'C' với các khoảng cách từ P đến các đỉnh của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng có một điểm P duy nhất sao cho tam giác A'B'C' đều.

b) Chứng minh với mọi điểm P nằm trong tam giác ABC có :

\(\widehat {{\rm{BPC}}}{\rm{  -  }}\widehat {{\rm{B'A'C'}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{CPA}}}{\rm{  -  }}\widehat {{\rm{C'B'A'}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{APB}}}{\rm{  -  }}\widehat {{\rm{A'C'B'}}}{\rm{  =  }}\alpha \) và giá trị của \(\alpha \)không phụ thuộc vào vị trí của P.

4. Cho \(\Delta \)ABC, M là một điểm nằm trong tam giác. Lần lượt vẽ các hình bình hành MBDC, MAED. Chứng minh rằng khi điểm M di động thì đường thẳng ME luôn đi qua một điểm cố định

5. Cho hai điểm cố định B và C. Một điểm A thay đổi trên một trong hai nửa mặt phẳng bờ BC sao cho A, B, C không thẳng hàng. Dựng hai tam giác vuông cân ADB và ACE với DA = DB ; EA = EC sao cho điểm D nằm khác phía điểm C đối với đường thẳng AB và điểm E nằm khác phía điểm B đối với đường thẳng AC. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng đường thẳng AM luôn đi qua một điểm cố định.

6. Cho ABC cân (AC = BC). Gọi \({\rm{A}}_{\rm{1}}^{}{\rm{, B}}_1^{}{\rm{ }}{\rm{,C}}_1^{}\)lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC và AB. Lấy các điểm \({\rm{A}}_{\rm{2}}^{}{\rm{, B}}_{\rm{2}}^{}\)tương ứng đối xứng qua AB của\({\rm{A}}_1^{}{\rm{ và  B}}_1^{}\). \({\rm{CA}}_{\rm{2}}^{}\)và \({\rm{A}}_{\rm{1}}^{}{\rm{C}}_{\rm{1}}^{}\)cắt nhau tại M, \({\rm{CB}}_{\rm{2}}^{}{\rm{ và  B}}_1^{}{\rm{C}}_1^{}\) cắt nhau tại N. Gọi P là giao điểm của AN và BM. Chứng minh rằng AP = BP. 

7. Gọi M là trung điểm cạnh BC của hình bình hành ABCD, N là giao điểm của AM và BD, P là giao điểm của AD và CN. Chứng minh rằng :

a) AP = AD.

b) CP = BD khi và chỉ khi AB = AC.

8. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AD, BC. Đường chéo AC cắt đoạn BE, DF tại P, Q.

a) Chứng minh rằng : AP = PQ = QC.

b) Lấy M bất kì thuộc đoạn DC. Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua tâm E, F. Chứng minh rằng I, K thuộc đường thẳng AB.

c) Chứng minh : AI + AK không đổi khi M di chuyển trên cạnh CD.

9. Chứng minh rằng : Nếu trên cạnh đáy AD của hình thang ABCD tìm được điểm E sao cho chu vi \(\Delta \)ABE, \(\Delta \)BCE, \(\Delta \)CDE bằng nhau thì BC = \(\frac{1}{2}\)AD.

10. Tứ giác ABCD có \(\widehat {\rm{B}}{\rm{  =  }}\widehat {\rm{D}}\) và đường chéo BD đi qua trung điểm O của AC. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.