Chủ đề: Phương trình bậc hai và hệ thức vi-et

CHỦ ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VÀ HỆ THỨC VI- ET

I. Tóm tắt lý thuyết

1) Phương trình bậc 2 tổng quát: \(a{x^2} + bx + c = 0 \ \ \ \left( {a \ne 0} \right) \ \ \ (1)\)  

Phương trình có: \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)  

+) Nếu  phương trình (1) vô nghiệm.

+) Nếu  phương trình (1) có nghiệm kép:  

+) Nếu  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  

Trường hợp:  ta có:  . Khi đó:

+) Nếu \(\Delta  < 0\) phương trình (1) vô nghiệm.

+) Nếu \(\Delta  = 0\) phương trình (1) có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}\) 

+) Nếu \(\Delta  > 0\) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  \({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}};{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}.\)

2) Hệ thức Vi-ét:

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm  thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}}\\
{P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}}
\end{array}} \right.\)

Đảo lại: Nếu hai số thỏa mãn:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = {x_1} + {x_2}}\\
{P = {x_1}.{x_2}}
\end{array}} \right.\)

thì \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - S.x + P = 0\)  

Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm thường được vận dụng để giải toán:

1) \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2}\)                      

2) \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

3) \(x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2.x_2^2 = {\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}.{x_2}} \right)^2} - 2x_1^2.x_2^2\)

4) \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}.{x_2}} \)     

5) \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}.{x_2}}} = \dfrac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}.{x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}}\)  

6) \(\dfrac{1}{{x_1^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}} = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{x_1^2x_2^2}} = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}.{x_2}}}{{{{\left( {{x_1}.{x_2}} \right)}^2}}}\)       

7) \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}.{x_2}\)