Chủ đề: Phương trình bậc hai và hệ thức vi-et

Cập nhật lúc: 22:53 12-11-2018 Mục tin: LỚP 9


Tài liệu tổng hợp lí thuyết và đưa ra các ví dụ về phương trình bậc 2 một ẩn cùng với hệ thức vi-et.

CHỦ ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VÀ HỆ THỨC VI- ET

I. Tóm tắt lý thuyết

1) Phương trình bậc 2 tổng quát: \(a{x^2} + bx + c = 0 \ \ \ \left( {a \ne 0} \right) \ \ \ (1)\)  

Phương trình có: \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)  

+) Nếu  phương trình (1) vô nghiệm.

+) Nếu  phương trình (1) có nghiệm kép:  

+) Nếu  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  

Trường hợp:  ta có:  . Khi đó:

+) Nếu \(\Delta  < 0\) phương trình (1) vô nghiệm.

+) Nếu \(\Delta  = 0\) phương trình (1) có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}\) 

+) Nếu \(\Delta  > 0\) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  \({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}};{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}.\)

2) Hệ thức Vi-ét:

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm  thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}}\\
{P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}}
\end{array}} \right.\)

Đảo lại: Nếu hai số thỏa mãn:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = {x_1} + {x_2}}\\
{P = {x_1}.{x_2}}
\end{array}} \right.\)

thì \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - S.x + P = 0\)  

Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm thường được vận dụng để giải toán:

1) \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2}\)                      

2) \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

3) \(x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2.x_2^2 = {\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}.{x_2}} \right)^2} - 2x_1^2.x_2^2\)

4) \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}.{x_2}} \)     

5) \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}.{x_2}}} = \dfrac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}.{x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}}\)  

6) \(\dfrac{1}{{x_1^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}} = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{x_1^2x_2^2}} = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}.{x_2}}}{{{{\left( {{x_1}.{x_2}} \right)}^2}}}\)       

7) \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}.{x_2}\)

Tham Gia Group Zalo 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021