Chủ đề: Các bài toán hệ phương trình có chứa tham số

CHỦ ĐỀ . CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ

 Dạng 1. Biện luận về nghiệm của phương trình.

Ví dụ 1.Cho hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{mx + 4y = 20{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (1)}\\
{x + my = 10{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2)}
\end{array}} \right.\)

 (m là tham số)

Với giá trị nào của m hệ đã cho:

a)    Vô nghiệm

b)    Có nghiệm duy nhất

c)    Vô số nghiệm

Lời giải. Cách 1.  Với m = 0 hệ có nghiệm duy nhất:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 10}\\
{y = 5}
\end{array}} \right.\) 

Với m \( \ne 0\) hệ phương trình tương đương với: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = \dfrac{{ - m}}{4}x + 5{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (a)}\\
{y = \dfrac{{ - 1}}{m}x + \dfrac{{10}}{m}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (b)}
\end{array}} \right.\)

 Dễ thấy (a) và (b) là hai đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy, số nghiệm của hệ là số giao điểm của hai đường thẳng (a) và (b).

a) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi (a) và (b) song song tức là:

 \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{ - m}}{4} = \dfrac{{ - 1}}{m}}\\{5 \ne \dfrac{{10}}{m}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = - 2\)

Vậy m = - 2 thì hệ đã cho vô nghiệm.

b) Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (a) và (b) cắt nhau tức là:

\(\dfrac{{ - m}}{4} \ne \dfrac{{ - 1}}{m} \Leftrightarrow m \ne  \pm 2\)

c) Hệ đã cho có vô số nghiệm khi và chỉ khi (a) và (b) trùng nhau tức là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{{ - m}}{4} = \dfrac{{ - 1}}{m}}\\
{5 = \dfrac{{10}}{m}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = 2\)

 Vậy khi m = 2 hệ đã cho có vô số nghiệm.