LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ

A. Kiến thức cơ bản:

1. Phương pháp:

• Ta vận dụng phương pháp nhóm hạng tử khi không thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung hay bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
• Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thế phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.
• Ta áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.

2. Chú ý:

• Với một đa thức, có thể có nhiều cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp.
• Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích đến cuối cùng (không còn phân tích được nữa).
• Dù phân tích bằng cách nào thì kết quả cũng là duy nhất.
• Khi nhóm các hạng tử, phải chú ý đến dấu của đa thức.

B. Bài tập

Bài 1

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – xy + x – y;                          b) xz + yz – 5(x + y);

c) 3x² – 3xy – 5x + 5y.

Đáp án và hướng dẫn giải

a) x² – xy + x – y = (x² – xy) + (x – y)

= x(x – y) + (x -y)

= (x – y)(x + 1)

b) xz + yz – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y)

= (x + y)(z – 5)

c) 3x² – 3xy – 5x + 5y = (3x² – 3xy) – (5x – 5y)

= 3x(x – y) -5(x – y) = (x – y)(3x – 5).

Bài 2

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² + 4x – y² + 4;                   b) 3x² + 6xy + 3y² – 3z²;

c) x² – 2xy + y² – z² + 2zt – t².

Đáp án và hướng dẫn giải bài

a) x² + 4x – y² + 4 = (x² + 4x + 4) – y²

= (x + 2)2 – y2 = (x + 2 – y)(x + 2 + y)

b) 3x² + 6xy + 3y² – 3z² = 3[(x² + 2xy + y²) – z²]

= 3[(x + y)2 – z2] = 3(x + y – z)(x + y + z)

c) x² – 2xy + ^y2 – z² + 2zt – t² = (x² – 2xy + y²) – (z² – 2zt + t²)

= (x – y)² – (z – t)²

= [(x – y) – (z – t)] . [(x – y) + (z – t)]

= (x – y – z + t)(x – y + z – t)

Bài 3

Tính nhanh:

a) 37,5 . 6,5 – 7,5 . 3,4 – 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5

b) 45² + 40² – 15² + 80 . 45.

Đáp án và hướng dẫn giải

a) 37,5 . 6,5 – 7,5 . 3,4 – 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5

= (37,5 . 6,5 + 3,5 . 37,5) – (7,5 . 3,4 + 6,6 . 7,5)

= 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6)

= 37,5 . 10 – 7,5 . 10

= 375 – 75 = 300.

b) 45² + 40² – 15² + 80 . 45 = 45² +2 . 40 . 45 + 40² – 15²

= (40 + 45)² – 15² = 85² – 15² = (85 – 15)(85 + 15) = 70 . 100 = 7000.

Bài 4

Tìm x, biết:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0;                     b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

(x – 2)(x + 1) = 0

Hoặc x – 2 = 0 => x = 2

Hoặc x + 1 = 0 => x = -1

Vậy x = -1; x = 2

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

5x(x – 3) – (x – 3) = 0

(x – 3)(5x – 1) = 0

Hoặc x – 3 = 0 => x = 3

Hoặc 5x – 1 = 0 => x = 1/5.

Vậy x = 1/5; x = 3

Bài 5: Phân tích thành nhân tử:

a, x² – x – y² – y

b, x² – 2xy + y² - z²

Lời giải:

a, x² – x – y² – y

= (x² – y²) – (x + y)

= (x + y)(x – y) – (x + y)

= (x + y)(x – y – 1)

b, x2 – 2xy + y² - z²

= (x² – 2xy + y2) – z²

= (x – y)² – z²

= (x – y + z)(x – y – z)

Bài 6: Phân tích thành nhân tử:

a, 5x – 5y + ax – ay

b, a³ – a²x – ay + xy

1. xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz

Lời giải:

a, 5x – 5y + ax – ay = (5x – 5y) + (ax – ay)

= 5(x – y) + a(x – y) = (x – y)(5 + a)

b, a³ – a2x – ay + xy = (a³ – a²x) – (ay – xy)

= a²(a – x) – y(a – x) = (a – x)(a² – y)

1. xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz

= x²y + xy² + yz(y + z) + x²z + xz² + xyz + xyz

= (x²y + x²z) + yz(y + z) + (xy² + xyz) + (xz² + xyz)

= x²(y + z) + yz(y + z) + xy(y+ z) + xz(y + z)

= (y + z)( x² + yz + xy + xz) = (y + z)[(x² + xy) + (xz + yz)]

= (y + z)[x(x + y) + z(x + y)] = (y + z)(x+ y)(x + z)

Bài 7: Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức:

a, x² – 2xy – 4z² + y2 với x = 6; y = -4; z= 45

b, 3(x – 3)(x + 7) + (x – 4)² + 48 với x = 0,5

Lời giải:

a, x² – 2xy – 4z² + y² = (x² – 2xy + y²) – 4z²

= (x – y)² – (2z)² = (x – y + 2z)(x – y – 2z)

Thay x = 6; y = -4; z= 45 vào biểu thức ta được:

(6 + 4 + 90)(6 + 4 – 90) = 100.(-80) = -8000

b, 3(x – 3)(x + 7) + (x – 4)² + 48

= 3(x² + 7x – 3x – 21) + x² – 8x + 16 + 48

= 3x² + 12x – 63 + x² – 8x + 64 = 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)²

Thay x = 0,5 vào biểu thức ta được:

(2.0,5 + 1)² = (1 + 1)² = 4